精品解析：广东省广东实验中学附属江门学校2026届高三上学期第五次月考数学试题（港澳台）

中华人民共和国普通高等学校联合招收港澳台侨学生 省实江门学校2026届第五次月考 数学试题 命题人：路凤琪 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，求解集合，，再由集合交集的定义求解即可. 【详解】由题意可得，，所以，同理，所以， 所以由交集的定义可得. 故选：A. 2. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ） A. 5 km处 B. 4 km处 C. 3 km处 D. 2 km处 【答案】A 【解析】 【分析】设仓库到车站的距离为x km，由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0，根据x=10的费用，求出k1、k2，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设仓库到车站的距离为x km， 由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0． 由当x=10时，两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1=20，k2=， 故y1+y2=x≥2=8， 当且仅当x，即x=5时取等号， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数模型的应用，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 3. ．在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用复数的除法及乘法法则化简复数，利用复数的几何意义求出复数对应的点，据点坐标的符号判断所在象限． 解：∵ = = ∴复数对应的点为（﹣） ∴该点在第二象限 故选项为B 4. 在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为点为的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为，可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 5. 从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可求得点P的坐标，由，从而可得答案． 【详解】依题意，设， 则， ， ， 又，，， ，即， ． 设该椭圆的离心率为e，则， 椭圆的离心率． 故选C． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 6. 已知函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是(　　) A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上 的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出 结论． 【详解】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t， 等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t， ∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）， ∵x∈[﹣3，2]， ∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减， ∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19， ∴f（x）max﹣f（x）min=20， ∴t≥20， ∴实数t的最小值是20， 故答案为A 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键． 7. 已知是两个向量集合，则P∩Q等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的运算化简集合，然后通过列方程组求解. 【详解】易知， 所以由，解得， 所以， 故选：A. 8. 如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值． 【详解】解： ， ， ， ，即为等差数列． ， ，， 为以为首项，为公差的等差数列． ， ． 故选：． 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题． 9. 已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】根据题意设底面的外心为，O为球心，所以平面，因为平面， 所以，设是中点，因为，所以， 因为平面，平面，所以，因此， 因此四边形是平行四边形，故， 由余弦定理，得 ， 由正弦定理，得， 所以该外接球的半径满足， 故选：C． 【点睛】关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键. 10. 函数f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)+f(x)=ex(x-2)且f（3）=0，则不等式f(x)<0的解集为（ ） A. (0，2) B. (0，3) C. (2，3) D. (3，+∞) 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数g(x)=xf(x)，x∈(0，+∞)，利用导数求出函数的单调区间，由g（3）=0与g(0)=0即可求解. 【详解】令g(x)=xf(x)，x∈(0，+∞)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)=ex(x-2)， 可知当x∈(0，2)时，g(x)=xf(x)是减函数， 当x∈(2，+∞)时，g(x)=xf(x)是增函数. 又f（3）=0，所以g（3）=3f（3）=0. 在(0，+∞)上，不等式f(x)<0的解集就是xf(x)<0的解集， 又g(0)=0，所以f(x)<0的解集是(0，3)， 故选：B. 【点睛】本题考查了构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） 11. 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求得从中任取两个球共有种不同的取法，再求得取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从中任取两个球共有种不同的取法， 其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种不同的取法， 所以概率为. 故答案为：. 12. 设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】易得，再根据f（x）是奇函数，求得，然后由求解. 【详解】因为函数f（x）=， 所以， 又因为f（x）是奇函数， 所以， 又， 所以. 故答案为：-3 13. 已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________. 【答案】9. 【解析】 【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解. 【详解】因为f(x)＝|log3x|＝, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得, 则,所以0＜m2＜m＜1， 则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增， 所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝2， 解得m＝，则n＝3，所以＝9. 故答案为9 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 15. 设与为实系数多项式，以除得余式为，以除得余式5，则以除的余式为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，列出与的解析式，化简的解析式，进而得到余式，得到答案. 【详解】因为以除得余式为，以除得余式5， 可设， 则 ， 所以以除的余式为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 17. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （2）求T2n. 【答案】（1）是等比数列，；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由an·an＋1＝推出an＋1·an＋2＝，两式相除得，可得答案； （2）由an＋2＝an得到奇数项以为公比的等比数列；偶数项是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)可得答案. 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为an·an＋1＝， 所以an＋1·an＋2＝， 所以， 即an＋2＝an. 因为bn＝a2n＋a2n－1， 所以， 因为a1＝1，a1·a2＝， 所以a2＝，所以b1＝a1＋a2＝. 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列. 所以bn＝. （2）由（1）可知，an＋2＝an， 所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列， 所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) . 【点睛】本题考查了递推数列求通项及分组求数列的和问题，要求学生有较好的推理能力、计算能力. 18. 某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲，乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2）若新产品研发成功，预计企业可获得万元，若新产品研发成功，预计企业可获得利润万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列如下: 数学期望． 【解析】 【分析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率. (2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望. 【小问1详解】 解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为. 【小问2详解】 由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得: ;; ;; 所以的分布列如下: 则数学期望. 考点：分布列 数学期望 概率 19. 已知以为圆心的圆上有一个动点，，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线分别交曲线于四个点，求的取值范围. 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】试题分析：（I）利用线段垂直平分线的几何性质，易得满足椭圆的定义，从而求出轨迹的方程；（II）依题意，过做两条相互垂直的直线，那么我们可以设其中一条的斜率为，另一条的斜率就是，利用点斜式求出直线的方程，然后联立直线的方程和椭圆的方程求出弦长，最后求最值. 试题解析：（Ⅰ）连接，依题意得，所以 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，所以，， 所以的轨迹方程式. （Ⅱ）当直线，中有一条直线的斜率不存在时， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，设， 联立，整理得 ，所以 设直线的方程为，所以 所以 设，所以，所以 因为，所以，所以的取值范围是 考点：1、椭圆的定义；2、直线和椭圆的位置关系；3、弦长公式；4、最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华人民共和国普通高等学校联合招收港澳台侨学生 省实江门学校2026届第五次月考 数学试题 命题人：路凤琪 本试卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ） A. 5 km处 B. 4 km处 C. 3 km处 D. 2 km处 3. ．在复平面内，复数＋（1＋i）2对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是　　 A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是(　　) A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 7. 已知是两个向量集合，则P∩Q等于（ ） A. B. C. D. 8. 如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 函数f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)+f(x)=ex(x-2)且f（3）=0，则不等式f(x)<0的解集为（ ） A. (0，2) B. (0，3) C. (2，3) D. (3，+∞) 二、填空题：（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） 11. 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为_____ 12. 设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________. 13. 已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________. 14. 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 15. 设与为实系数多项式，以除得余式为，以除得余式5，则以除的余式为_____. 三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 17. 已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*. （1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （2）求T2n. 18. 某企业甲，乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品.设甲，乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率; （2）若新产品研发成功，预计企业可获得万元，若新产品研发成功，预计企业可获得利润万元，求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 19. 已知以为圆心的圆上有一个动点，，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线分别交曲线于四个点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $