精品解析：河北保定市竞秀区2025-2026学年第一学期期末学业质量监测八年级数学试题

2025-2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 北京时间2025年10月23日20时28分06秒，台湾南投县发生4级地震，震源深度28千米．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ） A. 北纬 B. 东经 C. 台湾中部偏西方向 D. 北纬，东经 3. 下面关于的叙述不正确的是（ ） A. 2的平方根是 B. 面积是2的正方形的边长是 C. 的绝对值是 D. 的相反数是 4. 某奶茶店在试销期间对销售品种的销售数量进行了统计： 品种 奶茶 奶盖茶 水果茶 素茶 抹茶 五谷茶 销售数量/杯 20 70 380 100 80 30 若该店决定增加水果茶的进货量，则影响该决策的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 5. 在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则 和 满足的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（ ） A. 容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B. 当时间为时，容器中水的高度为 C. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 D. 时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 7. 下列图象中，以方程的解为坐标的点组成的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 9. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 10. 下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（ ） 已知：如图，直线 ， 相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A. “”表示平角的定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “⊕”表示对顶角相等 D. “⊕”表示同角的余角相等 11. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接 ，过点D作，交直线l于点E．若，求 的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ） A. 淇淇说得对，且 的另一个值是 B. 淇淇说的不对， 就得 C. 嘉嘉求的结果不对， 应得 D. 两人都不对， 应有3个不同值 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 若是关于的方程的一个解，则 的值是___________． 14. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 15. 某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 16. 如图，平面直角坐标系中，点 是直线上一点，其横坐标为1．以 为圆心， 的长为半径画弧，交直线于点 ，交轴于点 ；过点 作轴，交直线于点，交直线于点；以 为圆心，长为半径画弧，交轴于点；过点作轴，交直线于点，交直线于点；以 为圆心，长为半径画弧，交轴于点；过点作轴，交直线于点，交直线于点，按如此规律进行下去，线段___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 下面是嘉嘉进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成下面的问题： 计算： 解：原式………………① …………………………………② ………………………………………………③ （1）第①步运用的运算律是___________； （2）嘉嘉的解答过程是从第___________步开始出现错误的（写步骤序号）； （3）请你写出正确的解答过程． 18. 如图，已知 和关于轴对称，且点 的坐标为，点是网格内一点，且直线轴． （1）请在网格中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标：___________； （2）求点 的坐标，并在图中标出点 ； （3）连接，点 在轴上，且与的面积相等，则点 的坐标为___________． 19. 如图，点 是 上一点，，，，． （1）___________； （2）求证：直线； （3）若，求 的度数． 20. 某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路 ．下图是施工图纸，，其中 的长度不小心被污染了，但知道 比 长． （1）请你帮忙计算出 的长度； （2）判断的度数并说明理由； （3）求这片绿地（即四边形 ）的面积是多少？（小路忽略不计） 21. 省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程：；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： （1）甲六次测试的平均成绩为___________环； （2）请计算乙六次测试的平均成绩及方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． （4）如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线与交于点，直线是一次函数的图象． （1）求直线的表达式； （2）当直线把线段分为两部分时，求 的值； （3）若直线与直线不能围成三角形，直接写出 的值． 23. 下图中 是一自制天平，支点 和右侧托盘支点 固定不动，左侧托盘随支点 在横梁 段滑动．已知，，1个 物体和1个 物体的质量分别为5克，3克．当天平平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） （1）当左侧托盘放入5个 物体，右侧托盘放入3个 物体时，天平恰好平衡（如图1），则___________； （2）若右侧托盘放置一个的砝码，左侧托盘同时放 和 两种物体，当时天平恰好平衡，求物体 和 各放了多少个？请写出所有方案； （3）为测量小球的质量（单位：g），在右侧托盘中放置2个砝码．若左侧托盘放入一个小球和若干个物体 ，当时天平恰好平衡（如图2）；若向左侧托盘中再加入一个小球，当时，天平平衡．请求出小球的质量和放入物体 的数量． 24. 实验小组为了解某品牌电动汽车进行了两组实验． 实验一：探究汽车行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系．数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程 剩余电量 实验二：探究汽车电池充电时，汽车充电量与充电时间（分钟）之间的关系．发现：与成正比例，且时，． （1）直接写出与之间的关系式：___________；并指出一次项系数的实际意义． （2）求与之间的关系式． （3）该车从 地出发，前往 地，已知相距千米．车在行驶了千米时，在服务区一次性充电若干时间后以原速度继续行驶．行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系如下图所示． ①图中 ___________； ②若要用最短时间到达目的地，且到达时剩余电量为，问要在服务区充电多长时间？ ③直接写出：汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学业质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无理数是无限不循环小数，无理数不能表示为两个整数之比． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是无限循环小数，是有理数； B．是无理数； C．是分数，是有理数； D．是有限小数，是有理数； 故选：B． 2. 北京时间2025年10月23日20时28分06秒，台湾南投县发生4级地震，震源深度28千米．以下能够准确表示这次地震震中位置的是（ ） A. 北纬 B. 东经 C. 台湾中部偏西方向 D. 北纬，东经 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：A．北纬无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； B．东经无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； C．台湾中部偏西方向无法确定这次地震震中位置，故此选项不合题意； D．北纬，东经能确定这次地震震中位置，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下面关于的叙述不正确的是（ ） A. 2的平方根是 B. 面积是2的正方形的边长是 C. 的绝对值是 D. 的相反数是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根、绝对值、相反数等基本概念，根据平方根的定义，算术平方根的定义，绝对值的意义，相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．2的平方根有两个，即和，故选项A错误，符合题意； B．面积是2的正方形的边长是，故选项B正确，不符合题意； C．的绝对值是，故选项C正确，不符合题意； D．的相反数是，故选项D正确，不符合题意， 故选：A． 4. 某奶茶店在试销期间对销售品种的销售数量进行了统计： 品种 奶茶 奶盖茶 水果茶 素茶 抹茶 五谷茶 销售数量/杯 20 70 380 100 80 30 若该店决定增加水果茶的进货量，则影响该决策的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】影响增加水果茶进货量的决策应基于其销量最高的统计量，即众数． 本题考查了统计的歌特征量，熟练掌握歌特征量的特点是解题的关键． 【详解】解：统计量分析如下： A. 中位数：将各品种销量排序为20、30、70、80、100、380，中位数为，无法反映水果茶销量最高，不符合题意． B. 平均数：总销量为，平均数为，虽高于平均，但无法直接说明水果茶最畅销． C. 众数：众数是数据中出现次数最多的值，水果茶销量380杯为最高，是唯一众数，直接体现其最受欢迎． D. 方差：反映数据波动，但无法指明具体品种销量高低． 因此，水果茶销量显著高于其他品种，众数最能支持增加进货的决策， 故选：C． 5. 在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．根据加减消元法的原理，当两个方程相减后消去未知数，需满足的系数之差为0． 【详解】解：将方程组①和②相减，得到：， 化简后为：， 若可直接消去未知数，需使其系数为0，即：， 故选：C． 6. 嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（ ） A. 容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B. 当时间为时，容器中水的高度为 C. 当容器中水的高度为时，对应的时间为 D. 时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 7. 下列图象中，以方程的解为坐标的点组成的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程在坐标轴中的图象：根据一次函数与坐标轴的交点可确定图象的位置． 将方程转换成，找出直线与坐标轴的交点，即可确定以方程的解为坐标的点组成的图象． 【详解】解：将方程转换成， 当时，，过点； 当 时，，解得：，过点； 通过观察图像可知，选项C符合要求， 故选：C． 8. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的第一四分位数，第三四分位数的定义，分析解答即可； 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是19， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 9. 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选C． 10. 下面对括号内符号所代表的内容判断正确的是（ ） 已知：如图，直线 ，相交于点O，求证：． 证明：因为，（●）， 所以（⊕） A. “”表示平角的定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “⊕”表示对顶角相等 D. “⊕”表示同角的余角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，根据平角的定义和补角的性质解答即可． 【详解】解：因为，（平角的定义）， 所以（补角的性质）， 故选：A． 11. 意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴， ∴，故A正确． 故选：D． 12. 已知题目：“直线，直线，垂足为A，l交a于点B，点C在直线b上，且在直线l的左侧．在直线a上取一点D，连接，过点D作，交直线l于点E．若，求 的度数．”嘉嘉画出了如图所示的图形，并求出，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全”，下列判断正确的是（ ） A. 淇淇说得对，且 的另一个值是 B. 淇淇说的不对， 就得 C. 嘉嘉求的结果不对， 应得 D. 两人都不对， 应有3个不同值 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了平行线的性质，解题的关键是画出对应的图形． 根据题意分别画出对应的两种图形根据平行线的性质解答即可； 【详解】根据嘉嘉画出的图形， ， ∴， ∵， ， ， 当点D在如图所示位置时， ， ， ∵， ∴， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 若是关于的方程的一个解，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴代入方程得：， 即， 移项得：， ， 解得：． 故答案为：4． 14. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 15. 某校体育期末考核“仰卧起坐”和“米”两项，两项成绩分别按的比例算出期末成绩．已知小林这两项的考试成绩分别为分、分，则小林的体育期末成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，理解和掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， 小林的体育期末成绩为：（分）． 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，点 是直线上一点，其横坐标为1．以 为圆心， 的长为半径画弧，交直线于点 ，交轴于点 ；过点 作轴，交直线于点，交直线于点；以 为圆心，长为半径画弧，交轴于点；过点作轴，交直线于点，交直线于点；以 为圆心，长为半径画弧，交轴于点；过点作轴，交直线于点，交直线于点，按如此规律进行下去，线段___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标的规律，根据题意、归纳出规律坐标变化规律是解题的关键．根据题意可以求得点的坐标、点的坐标、点的坐标、点的坐标，然后归纳坐标变化的规律，从而可以求得点、的坐标，然后求出即可． 【详解】解：由题意可得，点 的坐标为，则， ∴，， 同理可得：点，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， …… 点的坐标为，点的坐标为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 下面是嘉嘉进行二次根式运算的过程，请仔细阅读，并完成下面的问题： 计算： 解：原式………………① …………………………………② ………………………………………………③ （1）第①步运用的运算律是___________； （2）嘉嘉的解答过程是从第___________步开始出现错误的（写步骤序号）； （3）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）乘法分配律 （2）② （3）过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）第①步将化为，运用了乘法分配律； （2）嘉嘉第②步在展开时错误地只计算了平方项而忽略了中间项，且将常数项误算为，因此错误从第②步开始； （3）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：第①步将化为，运用了乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； 【小问2详解】 解：嘉嘉第②步在展开时错误地只计算了平方项而忽略了中间项，且将常数项误算为，因此错误从第②步开始； 故答案为：②； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，已知 和关于轴对称，且点 的坐标为，点是网格内一点，且直线轴． （1）请在网格中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标：___________； （2）求点 的坐标，并在图中标出点 ； （3）连接，点 在轴上，且与的面积相等，则点 的坐标为___________． 【答案】（1）见解析， （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，写出点的坐标，掌握轴对称的性质、数形结合是解题的关键． （1）根据已知坐标确定原点的位置，然后画出平面直角坐标系，写出点C的坐标即可求解； （2）结合（1）中的坐标可求出，即可求解； （3）设，根据与的面积相等，构建关于y的方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是网格内一点，且直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴， 在图中表示为： 【小问3详解】 解：如图， 设， ∵与的面积相等， ∴， 解得或0， ∴M的坐标为或， 故答案为：或． 19. 如图，点 是 上一点，，，，． （1）___________； （2）求证：直线； （3）若，求 的度数． 【答案】（1）70 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：70； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 20. 某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路 ．下图是施工图纸，，其中 的长度不小心被污染了，但知道 比 长． （1）请你帮忙计算出 的长度； （2）判断的度数并说明理由； （3）求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是： （1）根据勾股定理构建关于 的方程求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形即可 （3）根据分割法求出绿地的面积即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， 又， 比 长， ∴， 解得， 即 的长度为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 又，， ∴，， ∴， ∴ 为直角三角形，且； 【小问3详解】 解： ， 即这片绿地（即四边形）的面积是． 21. 省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程：；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： （1）甲六次测试的平均成绩为___________环； （2）请计算乙六次测试的平均成绩及方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． （4）如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 【答案】（1）9 （2）平均成绩为9环，方差为 （3）推荐甲参加全国比赛更合适，见解析 （4）变小 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的计算，以及方差的意义，根据方差公式计算乙的平均和方差，比较甲和乙的方差大小判断稳定性，加入新数据后重新计算方差变化． （1）直接根据嘉嘉的方差计算过程可知，甲的平均成绩为9环． （2）乙的平均成绩为（环）；方差为各成绩与平均数差的平方和除以6； （3）甲乙平均成绩相同，但甲方差小于乙方差，方差小代表成绩更稳定，因此推荐甲参赛更合适． （4）新增成绩9环与原有平均数相同，离差平方和不变但总次数增加，根据方差公式，新方差小于原方差，故方差变小． 【小问1详解】 解：由方差的公式可得，， 从嘉嘉的计算过程可知，甲的平均成绩为9． 故答案为：9． 【小问2详解】 乙六次测试的平均成绩为， 方差为． 故答案为：平均成绩为9环，方差为． 【小问3详解】 甲的平均成绩为9环，方差为；乙的平均成绩为9环，方差为， ∵ 平均成绩相同， ∴ 比较方差，方差越小成绩越稳定， ∵， ∴ 甲的方差较小，成绩更稳定，推荐甲参加比赛更合适． 【小问4详解】 甲前六次成绩总和为，平均为9， 加入第七次成绩9，新总和为，新平均数为9； 前六次成绩的离差平方和为4，加入新成绩后，离差平方和增加，新离差平方和为4，新方差为． ∵， ∴方差变小． 故答案为：变小． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，直线与交于点，直线是一次函数的图象． （1）求直线的表达式； （2）当直线把线段分为两部分时，求 的值； （3）若直线与直线不能围成三角形，直接写出 的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数表达式、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的相交与平行问题，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求出点C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）分别求出和与x轴的交点坐标，然后结合“直线把线段分为两部分”构造关于k的方程求解即可； （3）分直线经过点C或直线∥或直线∥三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：对于直线，当 时，， 解得， ∴， ∴， 对于直线，当 时，， 解得， ∴直线与x轴交于， ∵直线把线段分为两部分， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：对于直线，当 时，， ∴直线与y轴交于， ∵直线与直线不能围成三角形， ∴分三种情况讨论：①当直线经过点 时， ∴， 解得； ②当时，； ③当时， ∴或或． 23. 下图中 是一自制天平，支点 和右侧托盘支点 固定不动，左侧托盘随支点 在横梁 段滑动．已知，，1个 物体和1个 物体的质量分别为5克，3克．当天平平衡时，左盘物体质量右盘物体质量．（不计托盘与横梁质量） （1）当左侧托盘放入5个 物体，右侧托盘放入3个 物体时，天平恰好平衡（如图1），则___________； （2）若右侧托盘放置一个的砝码，左侧托盘同时放 和 两种物体，当时天平恰好平衡，求物体 和 各放了多少个？请写出所有方案； （3）为测量小球的质量（单位：g），在右侧托盘中放置2个砝码．若左侧托盘放入一个小球和若干个物体 ，当时天平恰好平衡（如图2）；若向左侧托盘中再加入一个小球，当时，天平平衡．请求出小球的质量和放入物体 的数量． 【答案】（1）15 （2）方案一：物体 放了3个， 放了10个；方案二：物体 放了6个， 放了5个 （3）小球的质量为，放入物体 的数量为10个 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的应用、求不等式的解集，理解题意是解题的关键． （1）根据“左盘物体质量右盘物体质量”进行计算即可； （2）设物体 放了个， 放了个，根据题意列出方程，整理得到，结合是整数可求出的值，即可解答； （3）设小球的质量为，放入物体 的数量为个，根据天平两次平衡的情况，列出方程组，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 故答案为：15； 【小问2详解】 解：， 设物体 放了个， 放了个， 根据题意，得， 整理得：， ∴， ∵ ，， ∴， 解得， ∴， 又∵是整数，是整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴综上，方案一：物体 放了3个， 放了10个；方案二：物体 放了6个， 放了5个； 【小问3详解】 解：设小球的质量为，放入物体 的数量为个， 根据题意，得， 解得， 答：小球的质量为，放入物体 的数量为10个． 24. 实验小组为了解某品牌电动汽车进行了两组实验． 实验一：探究汽车行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系．数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程 剩余电量 实验二：探究汽车电池充电时，汽车充电量与充电时间（分钟）之间的关系．发现：与成正比例，且时，． （1）直接写出与之间的关系式：___________；并指出一次项系数的实际意义． （2）求与之间的关系式． （3）该车从 地出发，前往 地，已知相距千米．车在行驶了千米时，在服务区一次性充电若干时间后以原速度继续行驶．行驶过程中，仪表盘显示的剩余电量与行驶里程的关系如下图所示． ①图中 ___________； ②若要用最短时间到达目的地，且到达时剩余电量为，问要在服务区充电多长时间？ ③直接写出：汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程． 【答案】（1）；汽车每行驶，剩余电量减少 （2） （3）①；②分钟；③或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的应用，准确求出函数解析式并结合实际情况分类分析是解题的关键 （1）设，代入表格中两组对应值和求出 和，回代即得关系式，再结合实际解释一次项系数的意义即可； （2）设正比例函数，代入时，，求出比例系数 ，回代即得关系式； （3）①把代入（1）中所求的与的关系式，即可得出的值； ②先算后续行驶里程及对应耗电量，结合到达服务区时剩余电量求出充电后需达电量，再减去原有电量得到充电量，最后代入即可求出充电时间； ③分充电前和充电后两种情况，分别代入对应阶段的电量与里程关系式，计算出两种情况下的行驶里程即可． 【小问1详解】 解：设，代入和得 ， 解得， ∴与之间的关系式为， 故答案为：； 一次项系数的实际意义：汽车每行驶，剩余电量减少； 【小问2详解】 解：设，代入时，，得 ， 解得， ∴与之间的关系式为； 【小问3详解】 解：①把代入得 ， 故答案为：； ②从到，行驶里程为， 这段路程消耗的电量为：， 要使到达时剩余电量为，则充电后电量需为： ， 原有电量为，因此需要充入的电量为： ， 把代入，得 ， 解得， ∴要在服务区充电分钟； ③分两种情况讨论： 第一次出现汽车仪表盘显示的剩余电量为时： 把代入得 ， 解得， 即行驶的里程为时，汽车仪表盘显示的剩余电量为； 第二次出现汽车仪表盘显示的剩余电量为时： 充电后电量为，设从开始行驶后剩余，则： ， 解得， 总里程为， 即行驶的里程为时，汽车仪表盘显示的剩余电量为； 综上，汽车仪表盘显示的剩余电量为时该车行驶的里程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $