精品解析：河北省沧州市泊头市第二中学2026届高三上学期高考备考信息巩固训练（二）（1月月考）数学试题

2026届高考备考信息巩固训练（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i是虚数单位），则（ ） A 2 B. C. 1 D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线》中已奠定抛物线的几何定义基础，现代数学体系中，无论抛物线形态如何变化（标准或非标准），其上的“点到焦点与到准线的距离相等”的本质属性始终不变．若抛物线的焦点为，准线方程为，且经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知为球的直径，平面与球切于点，点，（异于点）均在球面上，直线，分别与平面交于，，是边长为的正三角形，设的中点为，若的面积是，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列选项中属于元素有（ ） A. e B. 2 C. 0 D. －3 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，函数在上单调递减，若且，则（ ） A. 函数具有周期性 B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则_____． 13. 的展开式中的系数为_____． 14. 已知，分别为双曲线左、右焦点，点到双曲线的一条渐近线的距离为，若过点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究职场人士每季度进行职业技能培训的时长（单位：小时）和他们的季度绩效评分（单位：分）的关系，某调研机构开展了调查，得到如下数据： 3 6 9 12 15 70 80 84 96 100 （1）若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程； （2）基于上述调查，某企业推行员工职业技能培训计划，经过一个季度的实施后，抽样调查了200位员工，按照参与职业技能培训与季度绩效提升情况得到如下列联表，请将表格补充完整，并依据的独立性检验，分析“参与职业技能培训与绩效提升”是否有关． 单位：人 绩效未提升 绩效提升 合计 参与职业技能培训 100 150 未参与职业技能培训 30 合计 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，， 其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知为数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数的图象在点处的切线与平行． （1）求实数及； （2）求的零点个数； （3）证明：． 19. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上与，不重合的一点，且的周长为6． （1）求椭圆的标准方程． （2）设直线交直线于点，直线交椭圆于点． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考备考信息巩固训练（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i是虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算及复数模的意义求解. 【详解】复数， 所以. 故选：D 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 3. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 故选：A. 4. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】求出点在圆外部满足的充要条件，据此求解即可. 【详解】若点圆外部， 则，解得或， 所以“”是“点在圆外部”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 5. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线》中已奠定抛物线的几何定义基础，现代数学体系中，无论抛物线形态如何变化（标准或非标准），其上的“点到焦点与到准线的距离相等”的本质属性始终不变．若抛物线的焦点为，准线方程为，且经过点，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】这道题的核心思路是利用抛物线的定义，将求点到焦点的距离转化为求点到准线的距离，再用点到直线的距离公式直接算出结果. 【详解】由抛物线的定义知，等于点到准线的距离， 所以. 故选：C． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合对数函数性质和基本不等式，求得，得到，再由对数函数和指数函数的性质，得到，，得到，即可求解. 【详解】由，，可得， 因为且，所以， 又因为，所以，即， 又因为，，所以， 综上可得，. 故选：D． 7. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到函数的图象关于直线对称，再求得，令，求得，结合基本不等式和余弦函数的性质，求得，得到单调递增，结合，得到函数单调性，把不等式转化为，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由函数， 可得， 即，所以函数的图象关于直线对称， 又由， 令， 则，所以单调递增， 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由，可得，所以， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A． 8. 已知为球的直径，平面与球切于点，点，（异于点）均在球面上，直线，分别与平面交于，，是边长为的正三角形，设的中点为，若的面积是，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设球的半径为，由直角，求得，，再由，得到，取的中点，在中，求得，再由，列出关于的方程，求得的值，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示， 直线平面，连接， 设球的半径为，因为为球的直径，所以， 又因为直角三角形，所以直角与相似， 所以，即，其中， 所以，， 因为，所以， 取的中点，连接，则必过点， 在中，，可得， 又因为，， 所以 ， 即，解得， 所以球的体积为. 故选:A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，集合，则下列选项中属于的元素有（ ） A. e B. 2 C. 0 D. －3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据解得，再根据补集的定义解得，再逐一判断即可. 【详解】由可得， 则， 因为，，， 故选：AB． 10. 已知函数，则（ ） A. 是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由周期的定义可判断A，由对称轴的概念可判断B，通过求导，确定函数单调区间，可判断CD. 【详解】， ， 所以是函数的一个周期，故A正确； 因为， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； ， 当时，，， 在区间上单调递增，故C正确； 当时，，在区间上单调递减，结合选项C可知，在一个周期内的最大值为， 所以函数的最大值为，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，函数在上单调递减，若且，则（ ） A. 函数具有周期性 B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对已知抽象函数求导，结合已知条件分析函数周期性，判断选项A；利用函数对称性判断选项B；利用函数对称性结合函数单调性判断选项C；运用基本不等式判断选项D． 【详解】对两边同时求导得，即， 函数的图象关于直线对称， ，而，即有， 已知条件没有充足的理由说明函数具有周期性，故A错误； ，， ，故B正确； ， ， 在上单调递减，且的图象关于直线对称， 在上单调递增， 又， ，故C正确； ， ， 当且仅当即时，等号成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，若角终边经过点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，可得点在单位圆上，所以， 又由. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项展开式，结合多项式的乘法求解. 【详解】的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为8． 故答案为：8 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，点到双曲线的一条渐近线的距离为，若过点的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据焦点到渐近线的距离为，求得，得到，由双曲线的定义，得到，再由，求得，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设双曲线，可得，渐近线方程为， 不妨取一条渐近线为，即， 因为点到双曲线的一条渐近线的距离为， 可得，即， 由双曲线的定义，可得，， 所以， 又由，可得， 在中，由余弦定理， 可得，即， 联立方程组，解得，可得， 所以双曲线的离心率为2． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究职场人士每季度进行职业技能培训的时长（单位：小时）和他们的季度绩效评分（单位：分）的关系，某调研机构开展了调查，得到如下数据： 3 6 9 12 15 70 80 84 96 100 （1）若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程； （2）基于上述调查，某企业推行员工职业技能培训计划，经过一个季度的实施后，抽样调查了200位员工，按照参与职业技能培训与季度绩效提升情况得到如下列联表，请将表格补充完整，并依据的独立性检验，分析“参与职业技能培训与绩效提升”是否有关． 单位：人 绩效未提升 绩效提升 合计 参与职业技能培训 100 150 未参与职业技能培训 30 合计 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，， 其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）表格见解析，有关 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，分别求得相应的数据，利用公式求得和的值，即可求解； （2）根据题意，补充完成的列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由表格中的数据，可得，， 且，， 所以，则， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 解：根据题意，补充的列联表： 绩效未提升 绩效提升 合计 参与职业技能培训 50 100 150 未参与职业技能培训 30 20 50 合计 80 120 200 零假设为：参与职业技能培训与绩效提升无关， 由表格数据，可得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们可以推断不成立， 即认为参与职业技能培训与绩效提升有关，此推断犯错误的概率不大于. 16. 已知为数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由计算得出数列是等差数列，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）根据分组求和结合等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 由题可得①， 所以②， ②－①得③， 所以④， ④－③得，所以， 所以数列是等差数列． 当时，由，解得， 又，故数列的公差为1， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 ． 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正三角形和等腰三角形的性质证明平面，再根据面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以 H 为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后通过向量公式计算出二面角的余弦值. 【小问1详解】 设与交于点，连接， 因为是正三角形，，所以为的中点， 因为，所以． 又因为平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，，又， 所以，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为， 由,得，令，则，， 所以平面的一个法向量为． ， 设平面的法向量为， 由，得，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数的图象在点处的切线与平行． （1）求实数及； （2）求的零点个数； （3）证明：． 【答案】（1）， （2）2个 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据计算； （2）研究的单调性即可； （3）研究的单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 由，得， 则，解得，经检验符合题意， 所以． 【小问2详解】 由，得，则， 令，， 则， 令，，显然在上单调递增， 且，，故存在唯一，使， 当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增． 所以， 因为，；，；， 所以在上存在唯一零点，在上存在唯一零点， 从而的零点个数为2，即的零点个数为2． 【小问3详解】 要证，即证，即证， 令，，则， 令， 则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因此，所以，即， 则在上单调递增， 因为，所以当时，，即， 则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 从而，得证． 19. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上与，不重合的一点，且的周长为6． （1）求椭圆的标准方程． （2）设直线交直线于点，直线交椭圆于点． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 分析】（1）根据条件列出方程组求解即可； （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理得出为定值，进而证明直线经过定点； （ii）根据（i）求出，再利用换元法和函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 由题意得，所以，， 故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）证明：由题意，，设，，， 设直线的方程为， 联立得， ， 所以 则， ， ，，直线的方程为， 当时，，即， 此时，， 所以， 化简得，解得或（此时直线过点，不合题意，舍去）， 即直线的方程为，经过定点． （ii）由（i）可知的面积 令，则，则， 又在上单调递增， 故当，即时，取得最小值为4，此时取得最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $