精品解析：山东省临沂第十八中学2025-2026学年高二上学期第4次月考数学试卷

2024级高二上学期第4次月考试卷 数 学 2026.1 一、单选题 1. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一般式中两直线平行的条件得到方程，解得即可. 【详解】因为直线，且， 所以，解得.经检验成立. 故选：B 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 4. 已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列公比为，由题可得，结合等比数列通项公式可得答案. 【详解】设等比数列公比为，则. 由题可得，则. 故选：A 5. 已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（    ） A. 抛物线 B. 射线 C. 抛物线和射线 D. 抛物线和直线 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可求，从而可求它们的和. 【详解】因为，故， 而 ， 而不共面，故，故， 故选：C 7. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 8. 已知数列中，若函数的导数为，则（    ） A. B. C. 0 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入结合已知计算求解. 【详解】因为函数，则的导数为， 所以， 又因为，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 已知曲线．（ ） A. 若，则E是一条直线 B. 若，则E是圆，其半径为 C. 若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若E的离心率是，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，B，C直接代入结合直线，圆和双曲线分析可判断，选项D根据离心率小于可知是椭圆，化为椭圆标准方程后结合的范围由可求解. 【详解】若时，E即，表示直线y轴，A正确； 若表示圆，其半径为，故B正确； 若表示双曲线，且焦点在y轴上，故C正确； 由题意，E是椭圆，则且 当时，，故，所以，解得， 当时，，故，所以，解得，故D错误． 故选：ABC． 10. 设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列不是等比数列 C. D. 数列是递增数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过构造法可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，选项A正确；根据选项A求出数列的通项公式，可得选项B错误；利用等比数列通项公式及前项和公式可得选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】由题意，可知， ∵，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由A得，，∴， 当时，， 当时，满足上式，∴， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误； ∵，∴，故选项C正确； ∵，∴， ∴数列是递增数列，故选项D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 函数在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 的图象与的图象关于对称. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求导得切线斜率判断A；构造新函数，并分析导函数符号验证B；分析与的单调性求最值，比较最值判断C；利用中心对称的代数特征推导对称点，可判断D. 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图像在处切线斜率相等，且，， 所以切线不重合，故切线互相平行，故A正确. 对于B，设，可得， 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，故B正确. 对于C，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 故在处取最小值； ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数，使得，故C错误； 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有，因为， 对应得，解得， 故与的图像关于点对称，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据单调性得出，最后结合基本不等式计算求解. 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 数列的通项公式为，前项和为，求数列的前10项和_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消法求解即可. 【详解】， 所以 . 故答案为： 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程，利用待定系数法求解； （2）由对称性确定点关于轴的对称点，进而设反射光线所在的直线方程为，由位置关系列出等式求解即可； 【小问1详解】 设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为. 【小问2详解】 由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：. 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）增区间是和，减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【小问1详解】 时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； 【小问2详解】 ， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 17. 已知单调递增等比数列满足， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比和首项，即可求解， （2）记偶数项的和为，奇数项的和为，根据错位相减法以及等差求和公式分别求解，，即可由分组求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， 由可得， 即，解得， 故 【小问2详解】 由（1）得，记偶数项的和为，奇数项的和为， 则， ， 则， 两式相减得， ， 则， 故. 18. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ∵，，∴四边形ABCD为直角梯形， 又∵，∴∠BAC=45°，AC=，∴∠CAD=45°， 又∵AD=2,∴CD=． ∴,∴, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,CD⊂平面ABCD, ∴CD⊥平面ACEF, 又∵AF⊂平面ACEF, ∴CD⊥AF （2） （3） 若ACEF为正方形，则与（2）同理可得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系. ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), 设,平面PBD的法向量为 ,则,令,则,, 平面ABD的法向量为, ∴,解得， 在线段AF上存在点P，使得二面角的余弦值为，线段AP的长为1. 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC⊥CD,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面ACEF,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF,AB,AD两两垂直，以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形ACEF为矩形，∴AF⊥AC, 又∵平面ACEF⊥平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,AF⊂平面ACEF, ∴AF⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD ∴AF,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以射线AB、AD、AF为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF⊥平面ABCD,AF//CE,∴CE⊥平面ABCD， 又∵，∴CE=CDtan30°=, ∴A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),F(0,0,),E(1,1,), ,由AC⊥CE,AC⊥CD,CE∩CD=C,∴AC⊥平面CDE, ∴平面CDE的法向量为, ∴直线DF与平面CDE所成的角的正弦值为 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为1，求弦长； （3）记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的焦距和虚半轴长求出实半轴长，即得其标准方程； （2）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解； （3）设直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，再由化简计算即得. 【小问1详解】 因为双曲线：的焦距为， 所以，解得， 由题意得，则， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 依题意，可设直线MN的方程为， 由，消去y得， 由韦达定理得， 所以； 【小问3详解】 如图所示，设直线的方程为，， 由，消去x得， 则，且， 则，可得， 又，则，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期第4次月考试卷 数 学 2026.1 一、单选题 1. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前3项积为8，，，则等于（ ） A. 4 B. C. 16 D. 2 5. 已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（    ） A. 抛物线 B. 射线 C. 抛物线和射线 D. 抛物线和直线 6. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列中，若函数的导数为，则（    ） A. B. C. 0 D. 64 二、多选题 9. 已知曲线．（ ） A. 若，则E是一条直线 B. 若，则E是圆，其半径为 C. 若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若E的离心率是，则 10. 设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列不是等比数列 C. D. 数列是递增数列 11. 已知函数，则下列说法正确的有（    ） A. 两个函数的图象在处的切线互相平行 B. 函数在上单调递增 C. 存在实数，使得 D. 的图象与的图象关于对称. 三、填空题 12. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 13. 若函数在区间单调递增，则的取值范围是________. 14. 数列的通项公式为，前项和为，求数列的前10项和_____． 四、解答题 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求的外接圆的方程； （2）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 16. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若时，恒成立，求实数a的取值范围． 17. 已知单调递增等比数列满足， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，，，，． （1）求证：； （2）若四边形ACEF为矩形，且，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值； （3）若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知双曲线：的焦距为，且左右顶点分别为,，过点的直线与双曲线的右支交于,两点. （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为1，求弦长； （3）记直线,的斜率分别为,,证明：是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $