第9章分式单元测试卷 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第9章分式单元测试卷 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握运算法则是解决问题．约分为最简分式即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 3．化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 4．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是牢记分式加减的步骤． 先通分，再将分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选C． 5．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，进而得到，当时，满足原方程无解，当时，，此时原方程有增根，即，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时方程的左边为0，右边不为0，即此时方程无解，符合题意； 当，即时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，a的值为0或1， 故选：C． 7．设，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的大小比较（用作差法或化简变形），解题的关键是通过将分式变形为“1减一个分式”的形式，结合的范围判断分式的大小． 将、、分别变形为、、，结合判断、、的大小，进而比较、、的大小． 【详解】解：， ，，， ， 即， ， 即， 故选：C． 8．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 由，且， ，， ，， ， ，， 原式， 故选：B． 9．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组，有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．先表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出的值，再表示出不等式组的解集，由不等式组最多有个整数解，即可得到的取值范围，从而得出满足条件的所有整数的值，进而得解． 【详解】解：方程 ，整理得 ， ， 为正整数且， 为的正因数，即，，，， ，，， 当时，，分母为零，故舍去， 可能值为，，， 不等式组 ， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 不等式组的解为 不等式组有解且最多有个整数解， ， 满足条件的所有整数有，， 满足条件的整数值之和为 故选：A． 10．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∵分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∴， ∵， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式的解集为 又∵该不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的整数的值为， 共计4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 2．若分式方程的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解是解题的关键；把代入分式方程中，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵分式方程的解是， ∴，即， 解得：， 故答案为：3． 3．已知是关于x的分式方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解的应用，熟练掌握分式方程的解的定义（使分式方程左右两边相等的未知数的值）是解题的关键．将方程的解代入分式方程，得到关于的方程，再求解这个方程． 【详解】解：∵ 是分式方程的解， ∴ 把代入方程，得， 解得． 故答案为：． 4．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．设原长方形的长为，宽为，则原面积为；长增加后为，宽减少后为，新面积为，计算比值即可. 【详解】解：设原长方形的长为，宽为， ， ， ， ． 故答案为：． 5．已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，利用换元法求解方程是解题的关键 令代入方程，整理得到，则和是方程的解，由此可求关于x的方程的解． 【详解】解：令， 方程可化为， 整理得， 方程的解为和， 和， 关于x的方程的解为和， 经检验，和是方程的解， 方程的解为和， 故答案为：和 6．关于分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于是解决此题的关键，先根据解分式方程的方法求出，当，即时，方程无解，再由分式方程无解可得：，即，求出的值，进而得出答案． 【详解】解： 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 当，即时，方程无解， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：， 综上所述，分式方程无解，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键在于分式运算中的通分与因式分解．首先括号内通分后合并，然后进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ， ， ． 2．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值． 由等式的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由得， ． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 4．先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，分式有意义的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 先利用分式的性质化简，再确定m的取值范围，再代入m值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵，且， ∴且， ∴当时，原式（答案不唯一，符合条件即可）． 5．先化简：；若结果等于，求出相应的值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简和乘方的意义，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算括号内的分式加法和把除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：原式， 由， 解得， 经检验，是方程的解 6．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 7．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 8．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）∵方程， ∴， ∴； （3）方程可化为， 设，方程变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章分式单元测试卷 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．化简：等于（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 5．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 6．若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 7．设，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组，有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数值之和为（ ） A． B． C． D． 10．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 2．若分式方程的解是，则 ． 3．已知是关于x的分式方程的解，则a的值为 ． 4．一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的 ． 5．已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为 ． 6．关于分式方程无解，则的值为 ． 三、解答题(每题9分,共8题.共72分) 1．化简：． 2．若，求的值． 3．解方程： (1) (2) 4．先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 5．先化简：；若结果等于，求出相应的值． 6．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 7．已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 8．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $