第9章 分式 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第9章 分式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第9章（分式）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列有理式中，属于分式的是（   ） A． B．x C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的概念，熟练掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母是解决此题的关键．根据分式的定义解答即可． 【详解】解：分母含有字母，符合题意； x分母不含有字母，不符合题意； 分母不含有字母，不符合题意； 1分母不含有字母，不符合题意； 故选：A． 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解，根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， 经检验：是分式方程的解， 故选：B． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项错误，不符合题意；     C. ，此选项正确，符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴该分式的值扩大到原来的3倍． 故选：B． 5．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 6．若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 即 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 7．某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，找出等量关系是解题关键． 设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做天，余下的工程由甲队单独需要天完成，利用工作量=工作效率×工作时间即可得出方程． 【详解】设这项工程的规定时间是x天， ∵甲队单独施工恰好在规定时间内完成，乙队单独施工，完工所需天数是规定天数的倍， ∴甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要天， ∵甲、乙队先合作天，余下的工程由甲队单独需要天完成， ∴， 故选：B． 8．若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值 ，由得出，再把变形为，然后再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 9．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，求不等式组的整数解，先求出分式方程的解，根据方程的解为正数，且分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵方程的解为正数，且， ∴，解得：且， ∴满足条件的正整数的值为1，3； 故选D． 10．若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键． 首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【详解】解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同分母分式加减运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．顺水速度水流速度静水速度，逆水速度静水速度水流速度．根据“轮船顺水航行千米所需要的时间和逆水航行千米所用的时间相同”可列出方程． 【详解】解：设船在静水中的速度是 k． 由题意得：． 解得：． 经检验：是原方程的解． 即船在静水中的速度是． 故答案为：． 14．关于的一元一次不等式组有解且至多有3个偶数解，且关于的分式方的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，由分式方程的解求参数，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，再解分式方程得到，进而根据分式方程的解为非负整数，可得，为整数，即得，即可得，再根据分式方程有意义的条件可得，即得得到符合条件的整数的值，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出整数的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组有解且至多有3个偶数解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且为整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或1或3或5或7或9或11或13， 又∵， ∴， ∴， 综上，符合条件的整数的值为，，，，9，11，13， ∴符合条件的整数的值之和为． 故答案为：45． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法运算法则计算即可； （2）根据分式的除法运算法则计算即可； （3）先把第一个分式的分子和分母，利用公式法进行因式分解，然后再根据分式的乘法运算法则计算即可； （4）把被除式提取公因式进行因式分解，然后再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． 【详解】（1）解： ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 17．先化简再求值，其中是方程的实根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确进行分式化简是解题关键．首先进行括号内的运用，并将除法转化为乘法，再根据分式的性质进行化简，结合题意易知，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 是方程的实根， ， 原式． 18．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：元个 单价： 元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪新能源充电桩的价格为2500元/个，双枪新能源充电桩的价格为3750元/个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．根据单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为2500元/个，双枪新能源充电桩的价格为3750元/个． 19．关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 20．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 21．观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 22．小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： (1)解方程； (2)请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本考查了解无理方程等知识，解题的关键是： （1）仿照材料求解即可； （2）根据解分式方程，无理方程，二元一次方程组，解一元一次方程等知识解答即可． 【详解】（1）解：两边平方，得， 化简，得， ∴， 经检验，是原方程的增根，故不是方程的解；是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解：①解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元； ②解分式方程方法是通过去分母等方法转化为整式方程，注意要检验； ③解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，注意要检验．（答案不唯一） 23．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 分式 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第9章（分式）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列有理式中，属于分式的是（   ） A． B．x C． D．1 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的 5．下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 7．某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.8倍，如果由甲、乙两队先合作18天，那么余下的工程由甲队单独完成还需8天．设这项工程的规定时间是天，则根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（    ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3，4 D．1，3 10．若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若分式有意义，则的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 14．关于的一元一次不等式组有解且至多有3个偶数解，且关于的分式方的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 三、解答题：本题共9小题，共90分． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．解方程： (1)； (2) 17．先化简再求值，其中是方程的实根． 18．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表所示： 单枪充电桩 双枪充电桩 总价：50000元 总价：45000元 单价：元个 单价： 元/个 若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多8个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 19．关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 20．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 21．观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 22．小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： (1)解方程； (2)请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 23．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$