精品解析：安徽省蚌埠市固镇县部分学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽固镇县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义为形如 的函数，其中的最高次数为，据此判断即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：是反比例函数，不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：是三次函数，不是二次函数，故C选项不符合题意； D选项：符合二次函数的定义，是二次函数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立与，联立与，可得，，得，，得． 【详解】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键． 3. 二次函数中x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，得到当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：∵当时，y值都为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴当时，， 又∵时，， ∴的一个较小的实数根， 故选：B． 4. 下列各组变量关系中，成反比例的有（ ） ①长方形的面积一定，它的长和宽；②长方形的周长一定，它的长和宽；③路程一定，速度和时间；④工作效率一定，工作量和工作时间． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，分别根据反比例的定义判断即可． 【详解】解∶ ①长宽长方形面积(一定)， ∴长方形的面积一定，它的长和宽成反比例； ② (长+宽)=长方形周长(一定)， ∴长方形的周长一定，它的长和宽不成反比例； ③速度时间=路程(一定)， 路程一定，速度和时间成反比例； 工作量工作时间工作效率(一定) 工作效率一定，工作量和工作时间成正比例关系． 综上，成反比例的有2个，分别是①③． 故选∶C． 5. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积．利用比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、由可得，不合题意； B、由可得，不合题意； C、由可得，符合题意； D、由可得，不合题意； 故选：C． 6. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， 证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 故选：A 7. 如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先证明，得到，再证明，得到，则，，，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的平行线，交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 8米 B. 6米 C. 4米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：B． 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义得出，代入数据即可求解． 【详解】解：， ， 在中，． 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 连接，证明，得，，证明，得到，继而求得，，，根据，得到，解答即可． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，直接利用对称轴的公式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12. 已知：，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求分式的值，根据比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ． 13. 若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是根据绝对值和平方的非负性质，得到和的值，进而求出α和β的度数，从而确定三角形的形状．本题据此求解即可． 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 14. 如图，在矩形中，点是边延长线上一动点，连接，，，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出 的值即可求出的值，进而求出答案． 【详解】解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 当取最大值时，的值最小， 当经过圆心时，最大， ∵ ∴设， ∴， ， 为最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用辅助圆构造相似三角形，找到的比例关系是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，解题的关键是根据二次根式的性质，特殊角三角函数值，负整数指数幂及绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】解： ． 16. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； 【小问3详解】 解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 18. 如图，一次函数与函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，的取值范围是_____； （3）若点的横坐标为2，求的面积． 【答案】（1），， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． （1）由A坐标求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出点B坐标，待定系数法求出直线解析式即可； （2）根据函数图象，可直接写出时自变量x的取值范围； （3）求出点P和点Q的纵坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：在函数为的图象上， ， ，当时，， ， 一次函数过， ， 解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围为：． 故答案为： 【小问3详解】 解：当时，，， ∴点， ． 19. 在中，，为边上一点，连接，，于点． （1）如图，若，连接求证：四边形为菱形； （2）如图，连接交于点，若平分求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明根据全等三角形性质得到，再证明四边形是平行四边形，进而根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）由角平分线的定义得出，根据、，得出、、、四点共圆，根据圆周角定理得出，，，则，进而得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明： ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形 ． 【小问2详解】 证明：平分， ， ，， 点、、、四点共圆， ，，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定、相似三角形的判定、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、位似，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义解题即可； （2）根据位似图形的定义解题即可． 【小问1详解】 解：如图，即所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 21. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题图是“躺式”课桌椅的实物图，图是上课期间椅子的摆放样式已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，（结果精确到）．（参考数据：，，，） （1）求点到支撑脚的垂直距离； （2）如图是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【小问1详解】 解：过点作于点， 在中，， ， ， 点到支撑脚的垂直距离约为； 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 背垫旋转的度数为． 22. 项目式学习 项目主题：停车场扩建方案 项目背景：学校计划扩建停车场，综合实践活动小组以设计“停车场扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原停车场为矩形，，． 信息2，扩建后新停车场为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若，且，则 ， ． （2）当时，新停车场的面积是否可以为？若可以，请求出和的长度；若不可以，请说明理由． （3）计算当时，新停车场面积的最大值． 【答案】（1）25，40 （2）可以，， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）根据，求解即可； （2）设，则，，，根据新停车场的面积为，列一元二次方程求解即可； （3）设新停车场的面积为，，则，根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴，， 故答案为：25，40； 【小问2详解】 解：设，则，，， 根据题意得， ， 解得（负值不符合题意，已舍去）， ∴，； 【小问3详解】 解：设新停车场的面积为，，则，，， 根据题意得：， ∴二次函数图象，开口向上，对称轴为直线， ∵的最大长度为，的最大长度为， ∴，， 解得， ∴当时随x的增大而增大， ∴当时，． 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）D(1，2)；（3）存在，m＝1或 【解析】 【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解； （2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点三角形与△BOC相似，则或，即＝2或，即可求解． 【详解】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0）， 则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2， 解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2； （2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2， 设点D横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2）， 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m， ∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）； （3）存在，理由： 点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2， 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 则或，即＝2或，即＝2或， 解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去）， 故m＝1或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽固镇县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 二次函数中x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 4. 下列各组变量关系中，成反比例的有（ ） ①长方形的面积一定，它的长和宽；②长方形的周长一定，它的长和宽；③路程一定，速度和时间；④工作效率一定，工作量和工作时间． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如果，那么下列比例式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 7. 如图，中，，是边上一点，．过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 8米 B. 6米 C. 4米 D. 3米 9. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线的对称轴为直线______． 12. 已知：，则的值是___________． 13. 若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是______． 14. 如图，在矩形中，点是边延长线上一动点，连接，，，若，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； （2）若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； （3）是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 18. 如图，一次函数与函数为图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． （1）求这两个函数的解析式； （2）当时，的取值范围是_____； （3）若点横坐标为2，求的面积． 19. 在中，，为边上一点，连接，，于点． （1）如图，若，连接求证：四边形为菱形； （2）如图，连接交于点，若平分求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在第四象限画出以点为位似中心的位似图形，与的位似比为． 21. 某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题图是“躺式”课桌椅的实物图，图是上课期间椅子的摆放样式已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，（结果精确到）．（参考数据：，，，） （1）求点到支撑脚的垂直距离； （2）如图是午休时椅子摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 22. 项目式学习 项目主题：停车场扩建方案 项目背景：学校计划扩建停车场，综合实践活动小组以设计“停车场扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原停车场为矩形，，． 信息2，扩建后新停车场为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： （1）若，且，则 ， ． （2）当时，新停车场的面积是否可以为？若可以，请求出和的长度；若不可以，请说明理由． （3）计算当时，新停车场面积的最大值． 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $