精品解析：山西翼城县星杰中学等校2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列有两个正方形，第二列有一个正方形． 故选：B． 2. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特点，掌握相关知识是解决问题的．先由点 求出反比例函数的比例系数 k，得到函数解析式，再验证各选项是否满足解析式． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ 函数解析式为， 即反比例函数上的点满足， 故只有C选项满足． 故选：C． 4. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，根据直角三角形中正切的定义，等于的对边与邻边的比值． 【详解】∵ 在中，， ∴ ， ∵ ， ∴ = ， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 6. 已知点在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象函数值的大小比较，掌握反比例函数值的求法是解题的关键．反比例函数的图象在第一和第三象限，点的横坐标为负，纵坐标为负；点和的横坐标为正，纵坐标为正，因此最小. 再根据函数在时递减，比较和的大小． 【详解】解：∵，点在函数图象上， ∴ 同理，点和 的纵坐标： ，, ∴且，故最小, 又∵当时，函数递减，且， ∴，即, 因此，． 故选：D． 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 8. 如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，能够熟练运用三角形边角关系进行求解是解答此类题的关键．原来树的长度是的长．已知的值，可在中，根据的度数，通过解直角三角形求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∴． 故选：A． 10. 如图，的直径，，在上，且，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．连接，证明四边形是菱形，进而得到，，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴是等边三角形，四边形是菱形 ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是的中点． 由折叠的性质推出，，，四点共圆，结合圆周角性质，以及等腰三角形性质推出是的中点，进而求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：由折叠可得，， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即是的中点， 中，， ， 又， ， ，即， ， 故答案为：． 12. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 13. 已知，且，则值是_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 设，则，，，代入求解的值，然后计算的值即可． 【详解】解：设， 则，，， 代入， 得， 即， 解得， 所以， 则． 故答案为：． 14. 若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，判断反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，判断当时，y随x的增大而减小，通过比较x值大小判断y值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点在关于的函数图象上，此时， ∴， 故答案为：＞． 15. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案：． 三、解答题（共75分） 16. 计算与解方程 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）； （2）1 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘方和乘法，最后计算加减即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定可得结论； （2）先求得，再根据相似三角形的对应边成比例性质求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】（1）①1；②见解析 （2）增大 （3）该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 小问1详解】 解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； 【小问2详解】 解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 19. 如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】乘客水杯的最大高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，再利用平行线的性质解答，得；过点作的垂线交于点，解可得，进而即可求解； 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作的垂线交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴乘客水杯的最大高度约为． 20. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）关于的函数表达式为______；当时，______； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，把代入得出的值，可得关于的函数表达式，把代入，求出值即可； （2）求出最小电流和最大电流对应的电阻的阻值，根据增减性即可得出结果． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为； 当时，． 故答案为：， 【小问2详解】 解：当时，（）， 当时，（）， ∴该台灯的电阻的取值范围为． 21. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； （2）【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 【答案】（1） （2）菱形，见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【小问3详解】 解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 22. 在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接． （1）如图1，若经过点，的半径为5，求的长度； （2）如图2，若不经过点，记与交于点，． ①若，求的长度； ②若设，则与之间的关系式为________； ③如图3，连接，若，求的半径． 【答案】（1） （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、垂径定理及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理、垂径定理及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，，，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）①连接，同理（1）可得：，，然后可得，设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解； ②同理①可得：，由题意易得，，，则有，，然后根据勾股定理可进行求解； ③由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，如图所示： 同理（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴； ②同理①可得：， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：； ∴与之间的关系式为； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的表达式和图形面积； （1）将代入求出m再用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）先求点的坐标和点的坐标，再求出，根据面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， ∴点的坐标为， 将点代入中，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：将点代入中，得， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为4， 在反比例函数中，令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学期末考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 5. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知点在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，E为上一点，连接交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根到刮断点的长度是，折断部分与地面成的夹角，那么原来树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，的直径，，在上，且，与相交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为___． 12. 数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 13. 已知，且，则的值是_______． 14. 若点在关于的函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 15. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是___________． 三、解答题（共75分） 16. 计算与解方程 （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F． （1）判断与是否相似，并说明理由； （2）若，，的长． 18. 数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． （1）该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应函数图象； （2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） （3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 19. 如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架连接靠背和小桌板，点E是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．靠背可以绕点B旋转至与小桌板支架重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）关于的函数表达式为______；当时，______； （2）若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围． 21. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； （2）【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 22. 在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接． （1）如图1，若经过点，半径为5，求的长度； （2）如图2，若不经过点，记与交于点，． ①若，求的长度； ②若设，则与之间的关系式为________； ③如图3，连接，若，求半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在一次函数图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $