精品解析：山西大同市广灵县2025-2026学年第一学期八年级期末质量监测数学试卷

2025-2026学年度第一学期八年级期末质量监测数学卷 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（ ） A. 两直角边对应相等 B. 斜边、一条直角边对应相等 C. 一锐角、一条直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 3. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 21 B. 25 C. 19 D. 5 7. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则其周长为（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 10或13 8. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 9. 下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，5，8 D. 4，5，10 10. 如图，和均为等边三角形，点在上，交于点，且分别与交于，则以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 已知 ，，则_____． 12. A，B为常数，如果，则_______． 13. 将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为______． 14. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 15. 如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________． 三、解答题（共75分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 19. 如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 20. 老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值． 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图所示． 这道题只知道x的值，没有告诉y的值，无法求出答案． 这道题与y的取值无关，可以求出答案． （1）你认为谁说得对？请说明理由． （2）如果，，求这个式子的值． 21. 如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求证：垂直平分； （3）若，的面积为，求的面积． 22. （1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 23. 如图，在中，，，，D是线段的中点，动点E，F分别在线段上运动，且始终有，连接． （1）判断是否是等腰直角三角形，并说明理由； （2）下列结论中，正确的有______（填序号），请从中选择一个正确的结论并说明理由． ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③的值不为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期八年级期末质量监测数学卷 考试时间：120分钟；满分120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列条件中，不能满足两个直角三角形全等的是（ ） A. 两直角边对应相等 B. 斜边、一条直角边对应相等 C. 一锐角、一条直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．结合全等三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：A选项：两直角边对应相等，且直角为两边夹角，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． B选项：斜边、一条直角边对应相等，符合判定定理，能判定两个直角三角形全等． C选项：一锐角、一条直角边对应相等，结合直角相等，符合或判定定理，能判定两个直角三角形全等． D选项：两锐角对应相等，无对应边相等的条件，不能判定两个直角三角形全等． 故选：D． 3. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂除法，有理数乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则，同底数幂除法运算法则，有理数乘方运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故 B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 5. 如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，再由，即可利用证明． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知，则（ ） A. 21 B. 25 C. 19 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．利用完全平方公式的变形，直接代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：A 7. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则其周长为（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 10或13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系；等腰三角形有两边相等，需分腰为3底为5或腰为5底为3两种情况，并验证三角形三边关系. 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和5， ∴有两种情况：①若腰为3，底为5，则三边为3，3，5， ∵较短的两边之和， ∴能组成三角形， 周长. ②若腰为5，底为3，则三边为5，5，3， ∵较短的两边之和， ∴能组成三角形， 周长. 综上：周长为11或13. 故选：C. 8. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 9. 下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，5，8 D. 4，5，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需检查较小两边之和是否大于最大边. 【详解】解：A、∵ ，不大于3， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴ 能构成三角形，符合题意； C、∵ ，不大于， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； D、∵， ∴ 不能构成三角形，不符合题意； 故选：B. 10. 如图，和均为等边三角形，点在上，交于点，且分别与交于，则以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用、角平分线定理的应用：先证明得出；再根据全等三角形对应角相等以及等边三角形的性质证明得到；接着通过角的等量代换求出的度数，进而得出的度数；最后通过证明O到的两边的距离相等来证明平分． 【详解】①由题可知， ∴，即， 又由题可知，， 故①正确； ②∵和均为等边三角形， ， 在中， ， 故②正确； ③∵， 故③正确； ④∵， ∴， 过C分别作和的垂线，垂足为P和Q，    则， ∴， 平分． 故④正确． 故正确的有4个， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 已知 ，，则_____． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，利用指数运算性质，将所求表达式转化为已知条件的组合形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴． 故答案为： 2． 12. A，B为常数，如果，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，即可得出结果． 【详解】解：对左边通分：， ∵左边等于右边， ∴分子需相等， ∴， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得， 故答案为：2． 13. 将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质与邻补角的定义．根据题意得：，，由折叠的性质，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 由折叠的性质得， ， ． 故答案为：． 14. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 15. 如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积，掌握等长的长方形面积比等于宽的比是解题的关键． 设长方形面积为S，则阴影部分面积为，由Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，可得 ，根据Ⅰ的面积为7，知  ，然后求解即可． 【详解】解：如图： 设长方形面积为S，则阴影部分面积为， ∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6， ∴ ， ∵Ⅰ的面积为7， ∴，解得：， ∴，即阴影部分面积为． 故答案为． 三、解答题（共75分） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握好“一提二套三分组四检查”的口诀是解题关键． （1）运用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键， （1）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可； （2）去分母得整式方程，解整式方程再检验即可 【小问1详解】 解：两边同时乘，得： ， 解得， 经检验，是原方程的根， 原方程的解为． 【小问2详解】 解：两边同时乘得， ， 解得， 经检验是原方程的增根，原方程无解． 18. 某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 （2）购买A型机器人模型至少为14台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； 【小问2详解】 解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 19. 如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． （1）若，，求的长； （2）以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】（1）； （2） ∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【小问2详解】 略 20. 老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值． 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图所示． 这道题只知道x的值，没有告诉y的值，无法求出答案． 这道题与y的取值无关，可以求出答案． （1）你认为谁说得对？请说明理由． （2）如果，，求这个式子的值． 【答案】（1） 解：小玲说得对．理由如下： 原式 ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对． （2） 【解析】 【分析】（1）对原式进行整式的化简运算，观察化简后的结果是否包含字母y，若结果不含y，则说明式子的值与y的取值无关，从而判断小玲的说法正确． （2）利用（1）中化简后的式子，代入给定的x值，计算出式子的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握利用平方差公式、多项式乘多项式法则展开式子，并通过合并同类项化简是解题的关键，化简后可消去无关字母，简化计算． 21. 如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． （1）求证：； （2）求证：垂直平分； （3）若，的面积为，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）24 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 22. （1）已知，，求下列各式的值： ①； ②． （2）代数推理：请运用所学知识，说明下列结论的正确性． ①两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ ②任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数．为什么？ 【答案】（1）①；②； （2）①一定，理由： 设这两个连续奇数分别为，（为整数）， 则 ， 为整数， 一定能被8整除，即两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． ②一定，理由： 设这两个不同奇数分别为，（，均为整数，且）， ． 当、都为偶数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、都为奇数时，则为奇数，为偶数，则一定为偶数； 当、为一奇数一偶数时，则为偶数，为奇数，则一定为偶数； 综上所述，一定能被8整除． 即任意两个不同奇数的平方差一定是8的倍数． 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值，平方差公式，完全平方公式，掌握完全平方公式的变换，奇数用代数式如何表示是解题的关键． （1）①根据完全平方公式变换即可求解；②根据完全平方公式和变换即可求解． （2）①用含n的式子将两个连续奇数表示出来，计算出平方差，即可求解；②用含n、m的式子将两个奇数表示出来，计算出平方差，再根据n、m的奇偶分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ； ②，， ． （2）①略 ②略 23. 如图，在中，，，，D是线段的中点，动点E，F分别在线段上运动，且始终有，连接． （1）判断是否是等腰直角三角形，并说明理由； （2）下列结论中，正确的有______（填序号），请从中选择一个正确的结论并说明理由． ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③的值不为定值． 【答案】（1） 解： 是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． ∵，，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵D是线段的中点， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． （2） 解：②，理由如下： ∵， ∴． 又∵D是线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴四边形的面积为定值； ∵动点E，F分别在线段上运动， ∴的长是变量， 故四边形的周长不是定值；的值不为定值． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）连接，证明、都是等腰直角三角形，再证明得出，，即可证明结论； （2）得出，根据，求出即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $