精品解析：辽宁沈阳市第二十三中学（沈阳市南昌长白岛中学）2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度八年级上学期数学学科10月限时作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是分数，是整数，是有限小数， ∴三者均为有理数． ∵是无理数， ∴是无理数． 2. 给出下列四组数：①；②；③；④．其中，是勾股数的有（ ）． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】先判断各组数是否均为正整数，排除不符合的组后，再验证剩余组的平方和关系． 【详解】解：①均为正整数，，是勾股数； ②不是正整数，不是勾股数； ③均为正整数，，是勾股数； ④均不是正整数，不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组． 3. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同类二次根式可合并，需先将化为最简二次根式再判断． 【详解】解：化为最简二次根式为． 选项与被开方数相同，是同类二次根式，故能合并； 、选项的二次根式化简后被开方数均不为，故不能合并； 选项化简后为，是整数，故不能合并． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 直接根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A．，选项运算错误，故 A 选项不符合题意； B．，选项运算错误，故 B 选项不符合题意； C．和不是同类二次根式不能合并，选项运算错误，故 C 选项不符合题意； D．，选项运算正确，故 D 选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限内点的横坐标、纵坐标均是负数的特征，可得答案． 【详解】解：小手盖住的点的坐标在第三象限，点横坐标与纵坐标都是负数， 只有符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 6. 关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】抓住有序实数对的顺序性，以及坐标轴上的点不属于任何象限的特点，逐一判断各说法的正误． 【详解】解：∵平面直角坐标系中每个点对应唯一的有序实数对， ∴点的坐标是唯一确定的，①正确； ∵坐标与的横、纵坐标均不相同， ∴二者表示不同的点，②错误； ∵点的横坐标为0，在轴上，坐标轴上的点不属于任何象限， ∴点不在第三或第四象限，③错误； 综上，正确的说法共1个． 7. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长. 【详解】解：设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13尺． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键. 8. 将3，，用不等号连接起来为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法将无理数比较转化为有理数比较，结合的近似值排序． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 9. 如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且点表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形面积公式求出边长，由得出长，结合点位置及点方向求解． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数为，即． 10. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的处绕易拉罐圈后到达顶端的处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵易拉罐底面周长是，高是， 所以彩带最短是 ． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平方根的定义和相反数得出a-1+4-2a=0，求出a=3，求出a-1=2，即可得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是a-1和4-2a， ∴a-1+4-2a=0， ∴a=3， ∴a-1=2， ∴这个正数m的值是22=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方根和相反数的应用，解此题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 13. 若点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】点在第四象限，可得横坐标为正，纵坐标为负；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，据此可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标大于，纵坐标小于， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 结合横纵坐标的符号可得，点的坐标为． 14. 如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 15. 如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，灵活运用勾股定理进行计算是解题的关键． 连接并延长交于点，过点作于点，先求出和，根据平分线定义得，再根据线段垂直平分线性质得，则是等边三角形，进而得，则，继而证明是等边三角形，求出，由勾股定理得，再由勾股定理即可求出． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故答案为： ． 三、计算题：本大题共2小题，每小题3分，共18分． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先分别计算零次幂、绝对值、乘方、二次根式乘法，再合并化简． （2）利用乘法分配律展开，分别计算二次根式的乘法，再做减法运算． （3）可以先把分子中的二次根式化简，合并后再做除法，也可以利用分配律分开相除计算． （4）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 求满足下列各式的未知数x： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）先合并等式右边的常数，再利用平方根的定义求出未知数． （2）先移项、系数化为1，把看成整体，再利用平方根定义求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴或． 四、解答题：本题共6小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在ABC中，点D是BC上一点，连接AD，若AB=13，BD=5，AD=12，CD=16，求AC的长度． 【答案】20 【解析】 【分析】由AB=13，BD=5，AD=12，可得△ABD是直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵AB=13，BD=5，AD=12， ∴， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°． ∴∠ADC＝90°，△ADC是直角三角形． ∵DC=16， ∴AC==20． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运用和勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解答此题的关键． 19. 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得． 答：旗杆的高度为米． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 【答案】（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点写出各点的坐标即可； （2）根据△ABC的面积＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△AFC﹣S△ADB，即可解答． 【详解】解：（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）； （2）如图所示： S△ABC＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC ＝ ＝． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的坐标的特点是解题的关键． 21. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 22. 现有两张面积分别为和的正方形纸片 （1）如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ （2）如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ （3）在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到和的长，再计算面积即可； （2）根据两正方形的边长与三角形边长和长方形边长的关系，计算出三角形边长和长方形边长；由余下面积即可求解； （3）根据面积算出两正方形边长,结合已知线段长，计算出构造出的长方形的长和宽；由空白部分面积即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 两张正方形纸片的面积分别为和， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，两正方形纸片的边长分别为，， 余下面积 ， 裁剪过后五边形余下的面积为； 【小问3详解】 解：如图， 正方形的面积为，正方形的面积为， ，， ， ， ， 图中空白部分的面积为． 23. 综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； （2）【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （4）如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 【答案】（1）12 （2）3 （3）或10 （4） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，根据勾股定理求的长即可； （2）先根据折叠性质，矩形的性质，设，根据勾股定理，解答即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长线上，两种情况，根据勾股定理，折叠的性质，求解即可； （4）根据折叠的性质，根据勾股定理,求解即可． 【小问1详解】 解：根据折叠的性质，， 故； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且交于点E，， ∴，，，， ∵ ， ∴， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点G，交于点H， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 当点E在线段的延长线上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点Q，交于点P， 根据题意，得，，四边形是矩形，，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 【小问4详解】 解：∵四边形是矩形，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度八年级上学期数学学科10月限时作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列四组数：①；②；③；④．其中，是勾股数的有（ ）． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 下列二次根式，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 8. 将3，，用不等号连接起来为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且点表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从点绕到正上方点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的算术平方根是______． 12. 若一个正数m的两个平方根分别是a-1和4-2a，则m的值为________． 13. 若点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为________． 14. 如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 15. 如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则________． 三、计算题：本大题共2小题，每小题3分，共18分． 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 求满足下列各式的未知数x： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在ABC中，点D是BC上一点，连接AD，若AB=13，BD=5，AD=12，CD=16，求AC的长度． 19. 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 21. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 22. 现有两张面积分别为和的正方形纸片 （1）如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ （2）如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ （3）在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 23. 综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； （2）【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； （4）如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $