第8章整式的乘法与因式分解单元测试卷2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第8章 整式的乘法与因式分解 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．据此一一判断即可． 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．不是因式分解，故该选项不符合题意； ． ，原运算错误，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 2．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，完全平方式：即两数的平方和与这两数积的两倍的和或差。判断时先看是否有两数的平方和，再看是否有这两数的积的两倍的和或差即可。根据完全平方公式特点，即可判断出答案． 【详解】解：、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，没有两数的平方和，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式能用完全平方公式，选项符合题意． 故选：． 3．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 4．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 5．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式分解因式，可得：，可知一定是的倍数． 【详解】解： ， 一定是的倍数． 故选：B． 6．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．解答本题的关键是灵活运用完全平方公式的变形，将、、作为整体代入．首先根据完全平方公式，把，的值整体代入求出的值．计算出，同理将变形为，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 8．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 【答案】C 【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可． 【详解】解：，， 又， ， ，， ， ， ， 代入得，=0． 故选：C． 【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键． 9．已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（   ） A． B． C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，多项式给与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 根据方程有三个互不相等的正整数解，不妨设方程三个解为m、n、p，且m、n、p均为互不相等的正整数，则，从而得到，因为m、n、p均为互不相等的正整数，又，所以方程的解为或或，代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程有三个互不相等的正整数解 ∴不妨设方程三个解为、、，且m、n、p均为正整数， ∴ ∴，， ∴ ∵m、n、p均为正整数，， ∴方程的解为或或， ∴ 故选：A． 10．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 4．若将分解成，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．解题时连续利用平方差公式计算，即可求出的值． 【详解】解： ， 所以． 故答案为：4． 5．如图，长方体的高为x，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由，， ∴长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 6．设为正整数，且，则等于 ． 【答案】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可． 【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数） 同理，（为整数）． 由，得 ， ， 故，， 所以，． 因此，，．， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用． 三、解答题(每题9分,共8题,共72分) 1．分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：原式． 2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，在因式分解中，识别公因式和熟悉各种公式（如完全平方公式）是关键．通过提取公因式和应用适当的公式，可以有效地简化多项式，使其分解为更简单的因式乘积形式． （1）直接提取作为公因式进行因式分解即可； （2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可． 【详解】（1）解： （2） ． 3．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法的运用． 连续两次利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 4．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解，最后根据积的乘方计算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： （2） 5．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解的应用，掌握该知识点并认真观察图形是解题的关键； （1）根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，据此可以得出因式分解后的结果； （2）①通过不同的方法计算这个正方体的体积，等号连接即可；②根据题意得到，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据图①可知可表示为长，宽为的长方形面积，那么有 ； （2）解：①这个正方体的体积可以表示为：， 也可以表示为， ∴， 故答案为：． ②因为， 所以． 7．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．将原式利用提公因式法分解因式，可得，然后再次提取公因式法，可得答案． 【详解】解：原式 ． 8．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 仿照题干进行求解即可． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 整式的乘法与因式分解 一、单选题(每题3分,共10题.共30分) 1．下列由左到右的变形是因式分解的是（   ） A．； B．； C．； D．； 2．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 4．多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 6．已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 8．已知满足，，则的值为（   ） A．4 B．1 C．0 D．-8 9．已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（   ） A． B． C．7 D．6 10．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题(每题3分,共6题.共18分) 1．若，，则的值为 ． 2．分解因式： ． 3．若，且，则代数式的值为 ． 4．若将分解成，则的值是 ． 5．如图，长方体的高为x，，则 ． 6．设为正整数，且，则等于 ． 三、解答题(每题9分,共8题,共72分) 1．分解因式． 2．因式分解： (1)； (2)． 3．因式分解： 4．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 5．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 6．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． (1)如图①，观察可以发现代数式能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． (2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为_________． ②若，利用上面的规律求的值． 7．利用因式分解计算：． 8．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $