精品解析：山东省桓台第一中学2025-2026学年高二1月月考数学试题

桓台一中2024级2025-2026学年第一学期阶段性检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会有选法， 其中至少有1名女生的选法有种选法， 所以. 故选：A. 2. 向量且共面，则实数的值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，求解即可. 【详解】因为共面，所以存在唯一，使得， 又， 所以， 所以，解得，所以实数的值为7. 故选：C. 3. 已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为且，故为等腰直角三角形，且， 则圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可为，解得或. 故选：A. 4. 已知，则下列结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的互斥，对立关系逐个分析选项. 【详解】对于A， ， ，A选项错误； 对于B，，B选项正确； 对于C，，C选项错误； 对于D，，D选项错误； 故选：B 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用可求双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 6. 已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与圆相切可得，根据点在圆O外，可得，可求c的取值范围. 【详解】直线（不同时为0）与圆相切， 所以，即，所以， 又因为点在圆O外，所以， 所以，解得或，所以c的取值范围为. 故选：C. 7. 单调递增的等比数列的各项均为正数,且，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质得，进而结合题意得，再求解公比，，最后利用求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，单调递增的等比数列的各项均为正数 所以， 所以，解得，所以， 所以 故选：C 8. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题，设直线的方程为：，，进而联立方程，结合韦达定理及已知条件得，即可得. 【详解】由题，抛物线的焦点为，准线为， 由题，直线的斜率存在，设直线的方程为：，， 则得，， ， 所以，， 因为，所以，即 所以，解得， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（ ） A. 若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D. 若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A；利用向量的数量积的坐标运算判断BD，根据向量共线定理判断C. 【详解】对于A，假设共面， 则存在唯一组实数，使得， 因为是空间的一组基底，所以，方程组无解， 所以不共面，所以也能作为空间的一组基底，故A正确； 对于B，因为，，所以， 所以，所以或，故B错误； 对于C，所以， 所以这两个平面平行或重合，故C正确； 对于D，因为， 所以， 因为，所以，所以两直线所成角为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 点满足：，则点轨迹方程： B. 若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为 C. 椭圆左右焦点分别为，其上存在点使得，则其离心率 D. 若直线与双曲线有两个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解判断A；根据抛物线焦半径公式求解判断B；根据点在椭圆的短轴端点时，最大得，再结合离心率的范围判断C；根据时，直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意判断D. 【详解】对于A，由题知到点与的距离和为，所以点轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以点轨迹方程：，故正确； 对于B，由题知抛物线的焦点为，设，根据焦半径公式得，即，代入得，即点的坐标为，故正确； 对于C，当点在椭圆的短轴端点时，最大，故要存在点使得，只需，即，即， 所以，即，又，所以，故正确； 对于D，由题知的渐近线的斜率为，故当，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线最多只有一个公共点，故直线与双曲线有两个公共点，则的取值范围为错误； 故选：ABC 11. 已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是数列中绝对值最小的项 B. 若则 C. 若为数列的前项的和，则 D. 若则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前项和得到，进而判定选项A；利用为等差数列可判定选项B；先利用方程思想求出通项公式，再求出前95项的和可判定选项C；利用等差数列的求和公式判定选项D. 【详解】对于A：因为为等差数列，且， 所以，即， 所以且， 因为， 所以数列为递增数列， 当时，； 当时，， 所以， 即是数列中绝对值最小的项，故选项A正确； 对于B：因为为等差数列， 所以为等差数列， 设，由得：， 故， 所以， ， 所以，， 所以，故选项B正确； 对于C：因为为等差数列，且， 所以， 则，则， 令，得，解得， 为数列的前项的和， 所以 ，故选项C正确； 对于D：因为为等差数列，且， 所以，则，，即 所以，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置） 12. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 13. 等比数列，若数列满足，则数列的前项和___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本量计算求得，，进而得，，再结合等差等比前项和公式分组求和即可得答案. 【详解】设等比数列的公比，因为， 所以，即，解得， 所以，， 所以， 所以数列的前项和 故答案为： 14. 已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意在以为圆心，的长为半径的圆，求得圆的方程，与圆方程相减可得直线的方程，进而求得点到直线的距离，进而利用弦长公式可求得. 【详解】因为过点作圆的切线，切点为， 所以在以为圆心，的长为半径的圆， 由圆，得， 所以圆心，半径为，又， 所以，所以以为圆心， 以为半径的圆的方程为，即， 两圆方程相减得直线的方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以. 故答案为：①；②. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推公式求出的通项公式. （2）利用的通项公式计算出的通项公式，再使用裂项相消法求和. 【小问1详解】 ，， ， 令，，， 故的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得：， ， . 故数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17. 已知数列的前n项和为，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列与的关系，，有，化简求数列的通项公式； （2）由（1）得，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为， 所以， 两式相减得， 当时，，也满足， 又因为， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， ， 两式相减得：， ， . 18. 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为． （1）直线，且直线过点，求直线方程 （2）求圆方程； （3）过点的直线与圆交于两点，且的面积是（O为坐标原点），求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知直线的斜率为，再根据点斜式求解方程即可； （2）设，据弦长公式求得圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式求得，最后求解圆的方程即可； （3）先讨论直线斜率不存在时的情况得满足题意，再讨论直线斜率存在，设其方程为，再根据弦长公式，点到直线的距离公式列式解方程求解即可. 【小问1详解】 解：因为的斜率为，， 所以直线的斜率为， 因为直线过点， 所以直线的方程为 【小问2详解】 解：设圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 因为圆心在射线上，故设， 所以到直线的距离为，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆方程为 【小问3详解】 解：当直线的斜率不存在时，的方程为，此时直线过圆心， 所以，原点到直线的距离为， 所以的面积是，满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到直线的距离为，即 原点到直线的距离为 所以弦长， 所以的面积是，整理得，显然方程无解， 综上，直线的方程为 19. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式直接求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线联立方程组，消去整理后，由，求的值； （3）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 解：由题知，在抛物线上， 所以，根据焦半径公式， 【小问2详解】 解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即，解得 【小问3详解】 解： 因为是轴上两个不同的动点，且满足， 所以直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为，与联立，消去x整理得， 所以，得，从而， 将换成，同理可得， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桓台一中2024级2025-2026学年第一学期阶段性检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 从4名男生和2名女生中任选2人参加座谈会，设事件A为“选中的2人中至少有1名女生”，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 向量且共面，则实数的值为（ ） A. B. C. 7 D. 3. 已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 4. 已知，则下列结果正确的是（） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线（不同时为0）与圆相切，若点在圆O外，则c的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 单调递增的等比数列的各项均为正数,且，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 关于空间向量与立体几何，下列说法正确的是（ ） A. 若向量是空间的一组基底，则也能作为空间的一组基底 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若两个平面的法向量分别为，则这两个平面平行或重合 D. 若两条异面直线的方向向量分别为，则两直线所成角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 点满足：，则点轨迹方程： B. 若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为 C. 椭圆左右焦点分别为，其上存在点使得，则其离心率 D. 若直线与双曲线有两个公共点，则的取值范围为 11. 已知公差为的等差数列为其前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是数列中绝对值最小的项 B. 若则 C. 若为数列的前项的和，则 D. 若则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应位置） 12. 在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为______________． 13. 等比数列，若数列满足，则数列的前项和___________ 14. 已知圆，过点作圆的切线，切点为，则直线的方程为___________线段AB的长度为___________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列的前n项和为，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为． （1）直线，且直线过点，求直线方程 （2）求圆方程； （3）过点的直线与圆交于两点，且的面积是（O为坐标原点），求直线的方程． 19. 已知直线与抛物线相切，且切点为．抛物线焦点 （1）求 （2）求直线的斜率的值； （3）是轴上两个不同的动点，且满足，直线与抛物线的另一个交点分别是，若直线的斜率为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $