精品解析：贵阳市华师一学校2026届高三年级周测（十一）数学试卷

贵阳市华师—学校2026届高三年级周测（十一）数学试卷 2026.1.25 命题人：肖义敏 审题人：张新明 一､单选题 1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，并利用复数的概念即可得答案． 【详解】，所以虚部为. 故选：D 2. 已知集合，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出可判断A；空集是任何集合的子集可判断B；结合常用集合的记法及补集的运算可判断C；根据集合间的关系可判断D. 【详解】解方程得，所以，根据元素与集合的关系故A正确； 空集是任何集合的子集，所以，故B正确； 表示无理数组成的集合，均为无理数，所以，故C正确； 表示的是集合，所以，故D错误. 故选：D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦函数的值确定最小，再利用对数的运算性质结合对数函数的单调性比较与的大小. 【详解】因为，，，所以最小； 又，所以. 故选：D 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面向量坐标运算、数量积公式与充分条件、必要条件定义判断即可得. 【详解】由题意可得， 由可得，解得， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为， 过作准线的垂线，垂足为， 因为，是该抛物线上的两点，故，， 所以，又为梯形的中位线，所以， 故到轴的距离为， 故选：B. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求，然后结合数列的前项的定义即可直接求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 故． 故选：B． 7. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用导数的性质判断函数的单调性，根据奇偶函数的定义、基本不等式进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体实数， 因为， 所以该函数是奇函数， ， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以有，当时取等号， 而，当且仅当时取等号， 显然与不能同时成立， 所以， 所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数， 所以 ， 令， 因为m，n是正实数， 所以， 所以， 即，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，的最小值为， 故选：D 8. 二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据初始条件，先求出，得函数模型解析式，再代入，利用对数的运算性质计算即得. 【详解】依题意，时，，则得，解得，则， 由，可得，即， 两边取自然对数，，故. 故降至需要至少20分钟. 故选：B. 二､多选题 9. 某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取名居民的成绩单位：分，按照分成组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 所抽取的名居民成绩的平均数约为 B. 所抽取的名居民成绩的中位数约为 C. 名居民成绩的众数约为， D. 参加培训的居民中约有人的成绩不低于分 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求平均数判断A选项, 根据频率分布直方图求中位数判断B选项，根据频率分布直方图求出众数判断C选项，根据成绩不低于分的频率求出居民中人数判断D选项. 【详解】因为频率和为1，可得 所抽取的名居民成绩的平均数约为，故A正确， 设中位数为, ,故B错误； 最高矩形为第二个和第三个，所以名居民成绩的众数约为，故C正确； 成绩不低于分的频率为，成绩不低于分参加培训的居民中约有人，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增，在上单调递减 B. C. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 D. 当时，若方程有且只有一个根，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求函数的导数，根据导数的正负判断函数的单调性，可判断选项A；根据函数的单调性，结合，可判断选项B；将恒成立问题，转化为求函数的最值，可判断选项C；可构造函数，通过求函数的极值和端点值确定的取值范围，进而判断选项D. 【详解】对于选项A，由，得，令，得， 当，，单调递增；当，，单调递减，故选项A错误； 对于选项B，，因为， 而函数在区间上单调递减，所以， 即，故选项B正确； 对于选项C，不等式在上恒成立，即在上恒成立. 令，，则， 令，得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为， 所以，故选项C正确； 对于选项D，方程在上有且只有一个根，等价于在上有且只有一个解. 令，，由选项C分析知，在上单调递增，在上单调递减. ，，， 因为，所以当或时，与的图象在上有且只有一个交点， 即当时，若方程有且只有一个根，则或，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标.由向量的数量积判断与的位置关系，即可判断A选项；由向量的数量积求得和公垂线的方向向量，利用投影求得两条异面直线的距离，判断B选项；利用向量的数量积证明线线垂直，即可求得点到直线的距离，判断C选项；由向量的数量积求平面的法向量，利用向量投影求得点到平面的距离，判断D选项. 【详解】在正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系， ∴，，， ∵， ∴，∴ ，∴， ∴，∵，， ∴，， 由定义可知线段是异面直线与的公垂线段，A选项正确； 设向量为和公垂线的方向向量， 则，令，则，即， 由∵， ∴异面直线与的距离，B选项正确； ∵，， ∵，∴ ∴点到直线的距离，C选项错误； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， ∴点到平面的距离，D选项正确. 故选：ABD. 三､填空题 12. 已知等比数列的前n项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的关系求出，然后结合下标和性质和对数运算计算可得. 【详解】因为，所以， 由等比数列下标和性质可知，， 所以. 故答案为： 13. 在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式先求出角，然后根据三角形有两解，得出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据正弦定理得：， 因为，所以， 所以有， 即， 所以， 在中，，所以， 由，所以， 又，若有两解， 则，即， 解得：， 所以的取值范围是. 14. 如图1，在直角梯形中， ，点分别为边上的点，且.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点是四边形内的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，点的轨迹长度为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系得到点的轨迹方程，然后根据轨迹方程分析得出点的轨迹长度. 【详解】连接，因为，所以四边形为平行四边形， 又，所以平行四边形为矩形， 所以，即， 因为平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 同理平面，为直线与平面所成的角， 由题意知， 在直角三角形与直角三角形中， ，即， 由， 所以， 所以，则有， 在平面内，因为，所以以为坐标原点， 以为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 如图所示： 则，设， 则由，有， 化简得， 即点在平面内的轨迹方程为： 所以点在平面内的轨迹为： 以为圆心，2为半径的圆的一段弧，如图所示 由，所以， 即所对的圆心角为，半径为， 所以的长为， 故答案为：. 四､解答题-问答题 15. 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系 【解析】 【分析】（1）用古典概型即可求出答案； （2）根据表中的数据求出，利用独立性检验的方法即可进行判断. 【小问1详解】 ， ，． 【小问2详解】 零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系， 由表中数据可得， 根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系， 所以，根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系. 16. 已知椭圆的离心率为，顺次连接C的四个顶点得到的四边形的面积为4． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于M，N两点，C的上顶点为P，若直线，的斜率之和为4，求的重心的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性、离心率公式，结合椭圆标准方程中之间的关系进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式、直线斜率公式，重心坐标公式进行求解即可. 【小问1详解】 依题意，得，解得，， 故C的方程为． 【小问2详解】 联立得，得． 由，得． 设，，则，． 直线的斜率为，直线的斜率为． 由已知得， 即 ， 解得，故的重心的横坐标为． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可； （2）运用正弦定理，结合同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【小问1详解】 当时，D是的中点，所以， 两边同时平方，得， 即，即． 又由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以． 所以，即面积的最大值为． 【小问2详解】 设，则，． 在中，由正弦定理得， 即．① 在中，由正弦定理得， 即．② 当时，， 又，， 代入①②中，化简得， 所以，得， 即． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有3个不同的零点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差． 【答案】（1） （2）（ⅰ）当时，单调递增，且． 当时，， 若，因为，所以， 即在上单调递增，且， 从而在R上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意， 若，令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，当时， 所以要使有3个零点， 则，即，解得． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再利用直线点斜式方程即可求出答案； （2）（ⅰ）在上单调递增，分为和两种情况结合导数与单调性的关系求出函数在上的单调性，根据题目条件列不等式即可求出答案；（ⅱ）由题可知，，，代入可得，即，，设公差为，消元得到，列等式即可求出公差. 【小问1详解】 当时，， 当时，，所以． 又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由题可知，，， 所以， 则①，②． 设公差为，即， 由①可得，， 由②可得，， 则，化简得，解得（负值舍去）， 即公差． 19. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的值； （3）以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） ，交于点O，连接， 在平面内过点A作，垂足为H． 因为，所以垂足H不与点O重合． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以． 在正方形中，， 又，平面，平面， 所以平面． （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴，根据空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为x轴，为y轴，过点A的平面的垂线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，． 设，则，． 因为，所以．① 由（1）可知，，所以，即．② 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 因为平面与平面的夹角为， 所以．③ 由①②③，解得，，，或，，， 即或． 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，或． 【小问3详解】 以正方形为底面作正方体， 不妨取，则． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，取． 设直线与平面所成的角为， 则， 平方得， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市华师—学校2026届高三年级周测（十一）数学试卷 2026.1.25 命题人：肖义敏 审题人：张新明 一､单选题 1. 在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知，若正实数m，n满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 二氧化碳是空气的组成部分，对维持人体正常生理功能有重要作用.但是当二氧化碳浓度过高时，会对人体产生危害.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述．则教室内的二氧化碳浓度降到需要至少多少整数分钟（参考：）（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 二､多选题 9. 某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取名居民的成绩单位：分，按照分成组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 所抽取的名居民成绩的平均数约为 B. 所抽取的名居民成绩的中位数约为 C. 名居民成绩的众数约为， D. 参加培训的居民中约有人的成绩不低于分 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增，在上单调递减 B. C. 若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 D. 当时，若方程有且只有一个根，则或 11. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 三､填空题 12. 已知等比数列的前n项和为，则__________. 13. 在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 14. 如图1，在直角梯形中， ，点分别为边上的点，且.将四边形沿折起，如图2，使得平面平面，点是四边形内的动点，且直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，点的轨迹长度为__________. 四､解答题-问答题 15. 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长≥30分钟 每日阅读时长＜30分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知椭圆的离心率为，顺次连接C的四个顶点得到的四边形的面积为4． （1）求C的方程； （2）已知直线与C交于M，N两点，C的上顶点为P，若直线，的斜率之和为4，求的重心的横坐标． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有3个不同的零点， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若成等差数列，求该数列的公差． 19. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的值； （3）以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $