精品解析：山东省诸城第一中学2025-2026学年上学期高二期末模拟（1月月考）数学试题

2025-2026学年上学期高二年级期末模拟 数学学科试题 命题人： 审核人： 审批： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A. 5 B. C. D. 32 3. 圆与圆相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（     ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（   ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 13. 过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为__________. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为64， （1）求展开式中的常数项. （2）求的展开式中的系数． 16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； （2）若直线交轨迹在轴右侧的部分于两点，线段的中垂线过点，证明：. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与交于点，求线段的长度. 19. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足． ①若直线的斜率不等于零，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． ②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级期末模拟 数学学科试题 命题人： 审核人： 审批： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A. 5 B. C. D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的相关概念求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故， 故选：A 3. 圆与圆相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 4. 在平行六面体中，点E满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可. 【详解】由得， 整理得. 故选：A. 5. 如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到的坐标及平面的法向量，根据向量的数量积可得向量夹角的余弦值，进而得结果. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 所以， 设和平面所成角为， 则，即和平面所成角的正弦值为. 故选：C. 6. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为， ∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即， ∴点P到直线和直线的距离之和， ∴当B，P，F三点共线时，最小， ∵，∴， ∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为． 故选：A． 7. 《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 720种 B. 360种 C. 288种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得的内切圆半径为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由等面积法得到，再由，得到，再结合，转化为关于的不等式，即可求出的范围. 【详解】设，则的面积为． 因为的内切圆半径为，又， 所以的面积可表示为， 所以，则． 又因为，所以． 两边平方得，而，所以， 整理得，两边同时除以，得， 解得，又，故，即椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（     ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法 D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据分步乘法计数原理可判断；对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数；对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，从而可判断；对于D：先分组后分配，减去不符合限制条件的种数即可. 【详解】对于A：每封信有3种投法，5封信的投法数为，正确. 对于B：从5人中选3人，参观券无顺序差异，应使用组合数，而非排列数，错误. 对于C：需选“有男有女”的4人，分3种情况：1男3女、2男2女、3男1女，对应选法分别为、、，则共有种选法，错误. 对于D：5人住3个房间（每间最多2人），人数分配为. ①先分组：将5人分为的三组，分法为； ②安排房间：分组后分配到3个房间，方法数为； ③减去甲、乙同住的情况：甲、乙在同一2人组，剩余3人分为2人组和1人组，分法为，故甲、乙同住的安排共有种； 最终符合条件的安排数为，正确. 故选：AD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，求出，求出利用向量法即可判断A；求出利用向量法即可判断B；找到截面，即等腰梯形，求其面积即可判断C；设球心，利用两点间距离公式求出，建立等式求出的范围进而求出半径的范围，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，所以， 设，其中，即， 所以点， 又，，， 所以，， 所以， 所以，故A正确； ， 因为，所以， 所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以， 所以， 当时，直线与所成角最大， 因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误； 取中点，连接， 因为为的中点，所以， 截面即为四边形， 又，所以， 又因为，故四边形为等腰梯形， 如图，作，垂足为， 所以， 所以， 所以等腰梯形的面积， 即截面的面积为，故C正确； 取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心， 设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面， 设球心， 则， ， 因为，所以， 即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 所以，所以， 即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（   ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，开口向上的抛物线与关于直线对称，从而得到A正确;B选项，联立求出，由对称性可得，故，B正确;C选项，联立与得,从而求出，换元得到的最大值为，C错误;D选项，通过求抛物线的切线方程，计算三角形面积并结合图形对称性与面积放缩，推导出阴影部分面积大于4. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为， 顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上， 焦点为，则其方程为，即，故正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或， 即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即B正确； 对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点， 由解得，由解得，， 即得， 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 因，设切线为，联立得，解得 因，则两直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线方程为，将点坐标代入求值即可. 【详解】设双曲线方程为， 将点代入得，得， 故双曲线方程为. 故答案为： 13. 过原点的一条直线与圆相切，交焦点为的抛物线于异于原点的点，若，则的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，设切线方程为，即可根据直线与圆的位置关系求得，由直线与抛物线的位置关系解出点的坐标，由两点间的距离公式可求得． 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 易知圆和曲线关于轴对称， 设切线方程为， 由题意得，解得：， 当时，由，解得：或，即， 由于，所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：6. 14. 在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为_______；若，则点的轨迹长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用异面直线间的距离公式即可求解，第二空由圆的定义求出点的轨迹即可求解. 【详解】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为64， （1）求展开式中的常数项. （2）求的展开式中的系数． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和与展开式各项系数和公式，即可求出，再利用展开式的通项公式可求出常数项； （2）利用分类求出展开式中含项，即可求出展开式中含项的系数. 【小问1详解】 由于的展开式中，各项系数和为，二项式系数和为， 则， 则展开式的， 当，所以， 即展开式中的常数项为； 【小问2详解】 由的展开式中含项：， 所以展开式中的系数为 16. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，. （1）在棱（包括端点和）上是否存在点，使得平面？若存在，求的长，若不存在，说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）存在，2 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及平面的法向量，结合线面平行时向量关系求解即可. （2）求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，则为，中点， 因为，，所以，为等边三角形， 所以. 又因为，，所以为等边三角形， 所以，平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设，则， 因为平面，所以，即，解得， 此时点与重合，则. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. （1）求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； （2）若直线交轨迹在轴右侧的部分于两点，线段的中垂线过点，证明：. 【答案】（1）由题意得，所以， （2）设， 联立，则， 所以，即， 且， 则， 则的中点为，即， 因为线段的中垂线过点， 则，整理得. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义判断出点的轨迹为以为焦点的双曲线，求出，得到双曲线方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理求出的中点，根据两直线的垂直关系证明. 【小问1详解】 由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与交于点，求线段的长度. 【答案】（1）证明： 因为为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，再根据面面垂直的判定定理求证； （2）以为原点建系，分别计算两个平面的法向量，再根据法向量的夹角即可求出； （3）先求出平面的法向量，设，根据得出两点坐标即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，在平面内，作，交于点，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，得， 所以， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以， 设是平面的法向量，则 令，则，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，由，得， 又因为，所以， 由，得， 又因为，所以， 因此， 设是平面的法向量，则， 令，则， 所以是平面的一个法向量， 由平面与交于点，设， 因为，则， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以， 则, 由平面与交于点，设， 因为，则， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以. 所以. 19. 已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程． （2）已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足． ①若直线的斜率不等于零，求证：直线过定点，并求出该定点坐标． ②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得，由的关系求得，然后写出椭圆方程； （2）①设直线方程，联立方程组并消元化简为一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点横坐标的等式.由题意得到关于斜率的等量关系，结合斜率公式和交点横坐标的关系式建立方程，解得参数的值，即可求得定点坐标； ②由题意写出两条切线方程，又因为点在切线方程上，从而得到直线方程，由直线经过的定点的坐标，求得点的坐标，然后得到以为直径的圆的方程，令参数的系数为0即可求得定点. 【小问1详解】 由题意可知，解得，则， ∴椭圆的标准方程：. 【小问2详解】 ①设， 联立方程组得，消元化简为， 即 设交点，则，， 由题意可知，即， ∵，∴ 则，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即，， ∴. 故直线过定点. ②由题意可知过点的切线方程为，过点的切线方程为， 设，则，∴点在直线上， 又∵直线经过定点，则，则，即， ∴以为直径的圆的方程为， 整理得， 令（要求圆的定点，则令参数的系数为0） 则，∴或. ∴此圆经过定点或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $