精品解析：河南省郑州市第五十七中学南校2025-2026学年上学期期末评价八年级数学

郑州市第五十七中学南校区2025－2026学年 上学期期末评价八年级数学 时长：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的判断，无理数是无限不循环小数，常见的无理数包括含的数、开方开不尽的数等，根据各选项的具体值进行判断. 【详解】解：∵ A.，是有理数； B. 3.14是有限小数，是有理数； C. 是无理数； D. ，是有理数； 故选：C. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. D. 9，15，17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，如果三角形的三边长，，满足，其中c为最长边，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】解：A、，1，2，3不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，5，12，13能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、，9，15，17不能构成直角三角形，故此选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算与性质，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确进行计算和化简． 根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项错误不符合题意； B、 被开方数不同，不能合并，原选项不正确，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、 ，原选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 若，则 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角性质、平行线性质与判定、平方的非负性等知识点，根据对顶角的性质可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据平方的非负性可判断C；根据平行线的判定定理可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，不一定有，原命题是假命题，不符合题意； D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 5. 我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（ ） A. 74分 B. 84分 C. 80.5分 D. 82分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键； 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：∵最终成绩； ∴该选手的最终成绩是84分． 故选：B． 6. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据的正负分类讨论两条直线的象限分布． 分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案． 【详解】解：当时，直线经过第一、三象限； 当时，直线经过第二、四象限． 直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为： 当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）； 当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）． 情况1： 直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限． 选项A中，的截距为负（与矛盾），排除； 选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件． 情况2： 直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限． 选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除； 选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除． 故选C 7. 甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，甲乙两人各带了多少钱？如果设甲带的钱数为，乙带的钱数为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意可得甲得到乙的10钱后，甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍，即甲的钱是乙剩余钱数的5倍，则可得方程；乙得到甲的10钱后，两人钱数相等，则可得方程，据此可列出方程组． 【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为， 由题意得， 故选：D． 8. 如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将（m，4）代入y=x+2求解． 【详解】解：将（m，4）代入y＝x+2得4＝m+2， 解得m＝2， ∴点P坐标为（2，4）， ∴方程组的解为：． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系． 9. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. 15 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开如图所示， ∵棱柱的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为15， 故选：C． 10. 如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度、时间和路程的关系求解即可，本题考查了一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：甲的速度为， 乙的速度为，故①是正确的； 设乙用x小时追上甲，则， 解得，故②是正确的； 乙车到达B地的时间为， 此时甲距A的距离为，故③是正确的； ， ， ∴乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或， 故④是正确的； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 一组数据：6，7，9，6，9，10，6．则这组数据的众数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念.注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的． 【详解】解：数据中6出现3次，7出现1次，9出现2次，10出现1次，因此众数为6； 故答案为：6． 13. 2025年我校正式成为河南省科技厅“小小科学家科技创新操作室”建设单位，将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“科”的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置．根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“科”的坐标即可． 【详解】解：根据“创”“新”的坐标分别为，， 可得如图的坐标系： 则“科”的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握翻折的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 分三种情形，当或或时，画出图形来解答． 【详解】解：当时， ∵将沿折叠到， ． ． ∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点， ∴， ， ∴． ∴． 设，则． ∵在中，， ∴． 解得． ． 当时，， ∵， ． ． 当时， ∵， ∴当时，四边形是矩形． ∴． 但， ∴矛盾． ∴不可能为． 综上，或． 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再由完全平方公式去括号，最后计算加减法即可； （2）先计算二次根式除法，同时化简分式中的二次根式，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 【数据收集】某市射击队为了从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析． 通过计算平均数，环，_____，可以看出_____； 通过计算方差，，可以看出_____ （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 10 8 8 9 10 10 ①_____；_____；_____； ②请你根据小颖的分析，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；选手B的平均成绩高于选手A；选手B的射击成绩更稳定，波动较小 （2）①7.5，9，9.5； ②应选拔选手B参加青少年射击比赛． 理由如下：从平均数看，选手B的平均成绩更高； 从方差看，选手B的成绩更稳定；从箱线图看，选手B的成绩整体集中在较高分数段，且波动范围较小，发挥更为稳定； 因此，选手B更适合参加比赛． 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数和四分位数，熟知方差，平均数，四分位数的定义是解题的关键． （1）根据方差和平均数的定义求出B的平均数和方差即可得到答案； （2）根据四分位数的定义求解即可； （3）从平均数和方差的角度判断说理即可． 【小问1详解】 解：， 通过比较平均数，可以看出选手B的平均成绩高于选手A； 通过比较方差，可以看出选手B的射击成绩更稳定，波动较小； 故答案为：9；选手B的平均成绩高于选手A；选手B的射击成绩更稳定，波动较小； 【小问2详解】 解：①对于选手A，四分位数计算如下： 排序：6，7，8，9，9，9，10，10．我们来计算四分位数： 八个数，中位数b是第4和第5的平均：第4是9，第5是9，所以； 下四分位数a是前四个数的中位数：前四个：6，7，8，9，中位数是，所以； 上四分位数c是后四个数的中位数：后四个：9，9，10，10，中位数是，所以； 故答案为：7.5，9，9.5； ②略 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． （1）请在平面直角坐标系中画出和； （2）若点，且轴，则的长为_____． （3）原点到线段的距离为_____． （4）在轴上有一点，使得，则点的坐标为_____． 【答案】（1） 和如图所示； ； （2）6 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定三点的位置，然后依次连接得到；再确定三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据题意得到，解得，再图形求解即可； （3）连接，设点到线段的距离为，利用等积法求解即可； （4）先利用割补法求得，根据三角形面积公式结合，求出，分两种情况讨论确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点，且轴，， ∴，解得， ∴点， ∴； 故答案为：6； 【小问3详解】 解：连接，设点到线段的距离为， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图， ， ∴， ∴，即， 当点在原点上方时，点的纵坐标为， 当点在原点下方时，点的纵坐标为， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 19. 小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． （1）在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】（1）此时风筝离地面的垂直高度为米 （2）他应该朝射线方向前进4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 20. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若平分于点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）由于，可判断，则，由得出，即可证明； （2）由，，得到，由平分，得出，进而即可得出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴. 21. 【概念引入】 八年级数学兴趣小组探究得到一种新的函数：对于给定的一次函数（其中为常数，且），把函数称为一次函数的友好函数． 例如：一次函数，它的友好函数为． 【理解运用】 （1）对于一次函数，它的友好函数的表达式为； （2）为了研究函数的友好函数的图象，轩轩同学制作了如下表格： x … 1 2 … y … ______ 2 0 ______ … ①补全表格中横线部分的数据； ②请在所给的平面直角坐标系中画出函数的友好函数的图象． ③根据所画函数图象，写出该友好函数的一条性质：_____； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当函数的友好函数图象与线段有且只有1个交点时，的取值范围是_____． 【答案】（1）； （2）①0；； ②如图即为所求， ③当时，函数有最大值为； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据友好函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表； ②根据列表即可作出图形；③结合图象，写出一条性质即可； （3）由一次函数的友好函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）由新定义知，函数为一次函数的友好函数， ∴的友好函数为， 故答案为：； （2）①当时，， 当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … ②根据表中的结果在图1所给的坐标系中画出函数的友好函数的图象， ③根据所画函数图象，该友好函数的一条性质：当时，函数有最大值为； （3）∵点M、N的坐标分别为，， ∴直线为， ∴当，一次函数与线段有唯一交点， 当顶点在线段上方，则， 由题意得，一次函数的友好函数为， 当y轴右侧部分与有交点时，把，代入，得， 当y轴左侧部分与有交点时，把，，代入，得， ∵一次函数的友好函数的图象与线段的交点有且只有1个， ∴或， ∴友好函数与有1个交点时，n的取值范围为：或， 故答案为：或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 22. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ （3）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元 （2）购买方案有：甲种苹果2箱、乙种苹果10箱；甲种苹果6箱、乙种苹果5箱 （3）该公司最少需花费900元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数），再根据题意列二元一次方程，再根据二元一次方程的解即可解答； （3）设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果箱．由题意列不等式可得，再根据题意列出函数关系式，然后运用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种苹果每箱售价为x元，乙种苹果每箱售价为y元． 根据题意得​， 解得：． 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元． 【小问2详解】 解：设购进甲种苹果a箱，乙种苹果b箱（a，b为正整数） ，即， ∵a，b为正整数， ∴当时，；当时，． 购买方案：购进甲种苹果2箱，乙种苹果10箱；购进甲种苹果6箱，乙种苹果5箱 【小问3详解】 解：设购买甲种苹果m箱，则乙种苹果箱． 由题意得：， 解得：． 由题意可得总花费： ∵， ∴W随m增大而增大． ∴当时，花费最少，． 答：该公司最少需花费900元． 23. 【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）9；（2）不会，8；（3）直线的函数表达式为或；（4）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由，得到，，先据此求解即可； （2）先求得点的坐标为，作轴于点，由【全等模型】知，求得，由的面积即可求解； （3）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和，利用全等三角形的判定和性质求得点的坐标为，求得直线的解析式，再求得点的坐标为，要两种情况讨论，当将所在直线绕点顺时针或逆时针旋转得到直线时，利用全等三角形的判定和性质求解即可； （4）分点在长方形内部和外部两种情况，通过作辅助线构造全等三角形，利用对应边相等列方程求解点坐标．据此可判定，即可得出结论； 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：9； （2）令，则， ∴点的坐标为， ∴， 作轴于点， ∵，， 由【全等模型】知， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会发生变化，其面积的值为8； （3）过点和分别作轴的垂线，垂足分别为点和， ∵，，点的坐标为， 同理， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 当将所在直线绕点顺时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作直线的垂线，垂足为点， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 当将所在直线绕点逆时针旋转得到直线时， 过点作，使，连接，则，所在直线即为直线，过点作轴的平行线，过点和分别作的垂线，垂足分别为点和， 同理，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数表达式为， 综上，直线的函数表达式为或； （4）当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况， 第一种情况：当点在长方形的内部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ， 由()可得，，则， ∴， 解得， ∴， ∴， 此时，，，符合题意； 第二种情况：当点在长方形的外部时， 如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设， ∴，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， 同理可得：，则， 即：， 解得， ∴， ∴， 此时，，， ，符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要涉及一次函数的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形全等的知识．本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市第五十七中学南校区2025－2026学年 上学期期末评价八年级数学 时长：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. D. 9，15，17 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 若，则 D. 垂直于同一条直线的两条直线平行 5. 我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（ ） A. 74分 B. 84分 C. 80.5分 D. 82分 6. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多4倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等，甲乙两人各带了多少钱？如果设甲带的钱数为，乙带的钱数为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. 15 D. 21 10. 如图，A、B两地相距，有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，图中、分别表示甲、乙两车离开A地的距离与行驶时间之间的函数关系，现有以下四个结论：①甲车的速度为，乙车的速度为；②乙车出发4小时后追上甲车；③乙车到达B地时，甲车离A地的距离为；④乙车到达B地之前，甲、乙两车相距时，甲车行驶时间为或．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 一组数据：6，7，9，6，9，10，6．则这组数据的众数为_____． 13. 2025年我校正式成为河南省科技厅“小小科学家科技创新操作室”建设单位，将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，则“科”的坐标为_____． 14. 如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 15. 如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 【数据收集】某市射击队为了从两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析． 通过计算平均数，环，_____，可以看出_____； 通过计算方差，，可以看出_____ （2）小颖利用四分位数、箱线图进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 10 8 8 9 10 10 ①_____；_____；_____； ②请你根据小颖的分析，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． （1）请在平面直角坐标系中画出和； （2）若点，且轴，则的长为_____． （3）原点到线段的距离为_____． （4）在轴上有一点，使得，则点的坐标为_____． 19. 小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． （1）在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 20. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）若平分于点，求的度数． 21. 【概念引入】 八年级数学兴趣小组探究得到一种新的函数：对于给定的一次函数（其中为常数，且），把函数称为一次函数的友好函数． 例如：一次函数，它的友好函数为． 【理解运用】 （1）对于一次函数，它的友好函数的表达式为； （2）为了研究函数的友好函数的图象，轩轩同学制作了如下表格： x … 1 2 … y … ______ 2 0 ______ … ①补全表格中横线部分的数据； ②请在所给的平面直角坐标系中画出函数的友好函数的图象． ③根据所画函数图象，写出该友好函数的一条性质：_____； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当函数的友好函数图象与线段有且只有1个交点时，的取值范围是_____． 22. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某水果店计划用1000元购进甲、乙两种苹果（两种苹果均要购进），有哪几种购买方案？ （3）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共10箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 23. 【全等模型】 如图1，已知在中，，，，，垂足分别为点，．易证：． （1）如图1，若，则_____； 【迁移应用】 （2）已知：如图2，直线的图象与轴、轴分别交于、两点，当的取值变化，点随之在轴正半轴上运动时，在轴右侧过点作，并且，连接，的面积_____（填“会”或“不会”）发生变化？若不变，请直接写出其面积的值；若变，请说明理由； （3）如图3，，，点的坐标为，连接交轴，轴于点，将所在直线绕点旋转得到直线，求直线的函数表达式； 【拓展探究】 （4）如图4，四边形为长方形，其中点的坐标为，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $