专题1.3 乘法公式（寒假预习讲义）（2大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

专题1.3 乘法公式 知识点1：平方差公式 1.定义：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2.符号表示：（、可表示数、单项式或多项式）。 3.结构特征：左边是两个二项式相乘（一项完全相同，另一项互为相反数）；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 4.常见变形： 位置变化： 符号变化： 项数变化： 逆用： 知识点2：完全平方公式 1.定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 2.符号表示： 和的平方： 差的平方：（、可表示数、单项式或多项式）。 3.结构特征：左边是二项式的平方；右边是二次三项式（首平方、尾平方，积的2倍在中央）。 4.常见变形： 逆用： 两大乘法公式对比表 公式类型 左边结构特征 右边结果形式 核心区别 平方差公式 两二项式相乘（一项同、一项反） 两项差（同²-反²） 无中间项，仅含平方差 完全平方公式 二项式的平方（和或差） 三项和（首²±2×首×尾+尾²） 有中间项，含平方和与积的2倍 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接计算 1.核心知识点 平方差公式：。 公式结构识别（找准相同项和相反项）。 2.解题方法技巧 定位项：先找出两个二项式中的相同项（如中“”是相同项）和相反项（“”与“”）。 代入计算：相同项平方减相反项平方，注意系数的平方（如）。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）计算的结果为 ． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【题型2】完全平方公式的直接计算 1.核心知识点 完全平方公式：，。 负号的平方法则（如）。 2.解题方法技巧 分步计算：按“首平方→尾平方→积的2倍在中央”步骤计算。 符号处理：二项式含负号时，先转化为正号形式再计算。 【例题2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值． 【变式题2-2】.（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型3】利用公式求基础字母值 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的正向应用。 同类项的系数对应关系（如展开后相同字母的指数相同）。 2.解题方法技巧 展开等式：将左边含字母的式子用公式展开，合并同类项。 对比求解：与等式右边的多项式对比系数，列方程求字母值。 【例题3】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）若是完全平方式，则m的值为 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4】公式的几何验证（基础） 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的几何意义。 图形面积的整体与分割计算方法。 2.解题方法技巧 平方差验证：计算大正方形（边长）减小小正方形（边长）的面积（），再计算拼接后长方形（长、宽）的面积，两者相等验证公式。 完全平方验证：计算边长为的大正方形面积（），再计算分割后“两个小正方形+两个长方形”的面积和（），两者相等验证公式。 【例题4】.（25-26八年级上·山西晋城·期中）从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·吉林长春·月考）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b厘米，工人师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式： 对于方案一，小明是这样验证的： 请你仿照小明的方法根据方案二、方案三，写出公式的验证过程 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·月考）在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【培优高频题型】 【题型5】乘法公式的化简求值 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的综合应用。 整体代入思想（如已知和，求）。 2.解题方法技巧 先化简：用公式展开代数式，合并同类项（如）。 整体代入：将已知条件（如）或整体值（如，）代入最简式求值。 【例题5】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 【变式题5-2】.（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【题型6】利用公式简便运算 1.核心知识点 平方差公式逆用：。 完全平方公式的凑整变形（如）。 2.解题方法技巧 凑整凑公式：将数拆分为“整十/整百±小数”或“两数和×两数差”形式（如）。 连续用公式：复杂算式连续运用平方差（如）。 【例题6】.（23-24七年级上·广东·开学考试）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河南周口·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下面是小明与小亮同学探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请仔细阅读，并解决相关问题． 小明：． 小亮：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但计算量还是有些大，我采用的方法是 ． (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：________． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种简便计算的方法，完成下列计算： ①；②． 【压轴素养题型】 【题型7】完全平方公式变形——多条件代数式求值 1.核心知识点 关键变形公式：、、。 整体代入与换元思想（将复杂代数式转化为“和/差”“积”的形式）。 2.解题方法技巧 定位关系：根据已知条件（如、）和待求代数式，选择对应变形公式。 简化计算：复杂式子用换元法转化，代入已知条件计算。 【例题7】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【变式题7-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【变式题7-2】.（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【题型8】新定义运算中的乘法公式 1.核心知识点 平方差、完全平方公式。 新定义运算的转化逻辑）。 2.解题方法技巧 解读定义：将新运算规则转化为熟悉的乘法公式。 化简求解：按公式展开化简，结合已知条件求值或探究规律。 【例题8】.（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·天津·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【题型9】利用完全平方公式求最值 1.核心知识点 完全平方公式的逆用（配方）；非负数的性质（）。 2.解题方法技巧 配方变形：将代数式化为“”的形式（如）。 求最值：当时，代数式取最值（平方项前为正取最小值，为负取最大值）。 【例题9】.（25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·四川达州·期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【变式题9-3】.，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 易错点 1.公式混淆：误将平方差公式写成，完全平方公式漏写中间项（如）。 2.符号错误：计算时误写成（正确为）；平方差公式中3.相反项的平方符号错误（如误算为正确，误算为错误）。 系数运算错误：完全平方公式中系数未平方（如误算为，正确为）。 变形应用错误：不会逆用公式（如已知，，不会求）。 重点 1.掌握两大公式的结构特征和符号表示，能准确识别相同项、相反项（平方差）和首项、尾项（完全平方）。 2.能熟练进行公式的正向应用（直接计算）、逆向应用（化简求值、简便运算）和变形应用（如）。 3.理解公式的几何意义，能通过图形面积验证公式；能解决生活中的简单情境问题。 难点 1.公式的灵活变形与逆用：在复杂代数式中准确识别公式结构，灵活运用变形公式求解（如不含某一项求字母值、整体代入求值）。 2.复杂情境与几何图形的建模：将新定义、生活实际、复杂几何图形转化为乘法公式问题，建立数学模型。 3.规律探究与最值问题：通过特例归纳公式规律，利用配方法求代数式的最值，体现数形结合和从特殊到一般的思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 5．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 8．已知．求 ． 9．已知，，则 ． 10．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填图中的序号）． 三、解答题 11．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 12．小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式的取值与a无关” 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①；②；③中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． (1)缺失部分为______（填序号）； (2)试说明上述代数式的值与a无关． 13．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 14．计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 15．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 乘法公式 知识点1：平方差公式 1.定义：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2.符号表示：（、可表示数、单项式或多项式）。 3.结构特征：左边是两个二项式相乘（一项完全相同，另一项互为相反数）；右边是相同项的平方减去相反项的平方。 4.常见变形： 位置变化： 符号变化： 项数变化： 逆用： 知识点2：完全平方公式 1.定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。 2.符号表示： 和的平方： 差的平方：（、可表示数、单项式或多项式）。 3.结构特征：左边是二项式的平方；右边是二次三项式（首平方、尾平方，积的2倍在中央）。 4.常见变形： 逆用： 两大乘法公式对比表 公式类型 左边结构特征 右边结果形式 核心区别 平方差公式 两二项式相乘（一项同、一项反） 两项差（同²-反²） 无中间项，仅含平方差 完全平方公式 二项式的平方（和或差） 三项和（首²±2×首×尾+尾²） 有中间项，含平方和与积的2倍 【基础必考题型】 【题型1】平方差公式的直接计算 1.核心知识点 平方差公式：。 公式结构识别（找准相同项和相反项）。 2.解题方法技巧 定位项：先找出两个二项式中的相同项（如中“”是相同项）和相反项（“”与“”）。 代入计算：相同项平方减相反项平方，注意系数的平方（如）。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列式子中，不能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键，平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．选项C中两个二项式整体互为相反数，不符合公式条件． 【详解】解：选项A∶ ，a相同，b与相反，∴可用公式． 选项B∶ ，相同，b与相反，∴可用公式． 选项C∶，不符合平方差公式“一项相同，另一项互为相反数”的结构特点，∴不能用公式． 选项D∶ ，b相同，a与相反，∴可用公式． ∴不能用平方差公式的是C． 故选C． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3)2499 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． （1）根据平方差公式直接进行计算即可； （2）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式变为，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型2】完全平方公式的直接计算 1.核心知识点 完全平方公式：，。 负号的平方法则（如）。 2.解题方法技巧 分步计算：按“首平方→尾平方→积的2倍在中央”步骤计算。 符号处理：二项式含负号时，先转化为正号形式再计算。 【例题2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：当，时， ． 【变式题2-2】.（23-24七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【题型3】利用公式求基础字母值 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的正向应用。 同类项的系数对应关系（如展开后相同字母的指数相同）。 2.解题方法技巧 展开等式：将左边含字母的式子用公式展开，合并同类项。 对比求解：与等式右边的多项式对比系数，列方程求字母值。 【例题3】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）若是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）若是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】0或6/6或0 【分析】本题考查了完全平方式，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征． 根据完全平方式的结构特征，分情况讨论，求解m即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为， ∴该式可写为或， 当，即，解得； 当，即，解得； 故答案为：0或6． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如果多项式是一个完全平方式，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可． 【详解】解：∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即或， 解得或； 故答案为：1或 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征确定一次项系数与常数项的关系是解题的关键． 根据完全平方式的定义，比较对应项的系数即可求出 ． 【详解】解：∵ 是完全平方式，且常数项为， ∴ 该式可设为 ， ∵展开式的一次项系数为，与原式的一次项系数对应， ∴， 解得 ． 故选：B． 【题型4】公式的几何验证（基础） 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的几何意义。 图形面积的整体与分割计算方法。 2.解题方法技巧 平方差验证：计算大正方形（边长）减小小正方形（边长）的面积（），再计算拼接后长方形（长、宽）的面积，两者相等验证公式。 完全平方验证：计算边长为的大正方形面积（），再计算分割后“两个小正方形+两个长方形”的面积和（），两者相等验证公式。 【例题4】.（25-26八年级上·山西晋城·期中）从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，即为，由此即可得． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 因为图1中和图2中阴影部分的面积相等， 所以可以验证的等式是， 故选：B． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，根据两个图形阴影部分面积相等即可得到结果． 【详解】解：图①的阴影部分的面积为：， 图②的阴影部分的面积为：， ∵阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·吉林长春·月考）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形的边长增加b厘米，工人师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式： 对于方案一，小明是这样验证的： 请你仿照小明的方法根据方案二、方案三，写出公式的验证过程 【答案】验证见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，利用面积关系是解题的关键． 对于方案二：大正方形面积两个长方形面积小正方形面积，即可验证； 对于方案三：大正方形面积两个梯形面积小正方形面积，即可验证； 【详解】解：对于方案二：； 对于方案三：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·月考）在学习用平方差公式分解因式时，老师给了每个学生一张边长为的正方形卡片，让学生通过裁剪拼接的方式来验证，下面是位同学裁剪拼接的过程，其中能验证上述公式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何表示，数形结合是解决问题的关键． 根据位同学裁剪拼接的过程，数形结合，由面积相等验证平方差公式即可得到答案． 【详解】 解： 左图阴影部分是由四个全等的等腰梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的直角梯形构成，梯形上底为、下底为，高是， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 左图阴影部分是由两个全等的矩形和一个正方形构成，矩形长为、宽为；正方形边长为， 左图阴影部分的面积为；右边阴影部分为， 即该图可以验证平方差公式； 综上所述，位同学裁剪拼接的过程，均能验证平方差公式， 故选：D． 【培优高频题型】 【题型5】乘法公式的化简求值 1.核心知识点 平方差、完全平方公式的综合应用。 整体代入思想（如已知和，求）。 2.解题方法技巧 先化简：用公式展开代数式，合并同类项（如）。 整体代入：将已知条件（如）或整体值（如，）代入最简式求值。 【例题5】.（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题5-2】.（2026·陕西西安·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【题型6】利用公式简便运算 1.核心知识点 平方差公式逆用：。 完全平方公式的凑整变形（如）。 2.解题方法技巧 凑整凑公式：将数拆分为“整十/整百±小数”或“两数和×两数差”形式（如）。 连续用公式：复杂算式连续运用平方差（如）。 【例题6】.（23-24七年级上·广东·开学考试）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、对运算定律的掌握与运用情况，要结合数据的特征，灵活选择简算方法． （1）根据加法交换律和结合律计算即可； （2）可利用乘法分配律求解即可； （3）先算小括号内减法，再算中括号内乘法和加法，最后算括号外面的除法； （4）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山东枣庄·月考）计算：用简便方法计算． 解： ① ② ． (1)例题的求解过程中，第②步变形是利用_______（填乘法公式的名称）； (2)用简便方法计算：． (3)计算：． (4)【拓展】计算：． 【答案】(1)平方差公式； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握相关公式特征是解题的关键． （1）由题意观察例题的求解过程，利用乘法公式进行判断匹配即可； （2）将化为，进一步利用平方差公式求解； （3）先将式子变形为，进一步利用平方差公式和完全平方差公式进行计算； （4）给式子前乘以，进一步利用平方差公式进行运算即可． 【详解】（1）解：例题的求解过程中，第②步变形是利用平方差公式； 故答案为：平方差公式． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式题6-2】.（24-25八年级上·河南周口·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请你仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：； 小军：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但是计算量还是有些大，可以改进如下： ． 张老师认为，小明和小军的做法都正确且简便，但计算原理不同． 任务： (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：_____；小军进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种较为简便的方法，完成下列计算： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算律（乘法分配律）、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：， 小军进行简便计算的原理为乘法公式：， 故答案为：，； （2）解：① ； ② ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下面是小明与小亮同学探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请仔细阅读，并解决相关问题． 小明：． 小亮：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但计算量还是有些大，我采用的方法是 ． (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：________． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种简便计算的方法，完成下列计算： ①；②． 【答案】(1)； (2)①899；②1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：． 故答案为：；； （2）解：① ． ② ． 【压轴素养题型】 【题型7】完全平方公式变形——多条件代数式求值 1.核心知识点 关键变形公式：、、。 整体代入与换元思想（将复杂代数式转化为“和/差”“积”的形式）。 2.解题方法技巧 定位关系：根据已知条件（如、）和待求代数式，选择对应变形公式。 简化计算：复杂式子用换元法转化，代入已知条件计算。 【例题7】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 【变式题7-2】.（2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）在一次数学活动课上，彭老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积和可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②60 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积， 即； （2）解：①由（1）可得：， ∵，， ∴， 解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型8】新定义运算中的乘法公式 1.核心知识点 平方差、完全平方公式。 新定义运算的转化逻辑）。 2.解题方法技巧 解读定义：将新运算规则转化为熟悉的乘法公式。 化简求解：按公式展开化简，结合已知条件求值或探究规律。 【例题8】.（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（新定义）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如：，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第27个智慧优数是 ． 【答案】65 【分析】本题考查新定义下智慧优数的计算和分类，根据规律计算求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， m，n为正整数， ∴， ， 当时，由产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，…… 当时，由产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，…… 当时，由产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，…… 当时，由产生的智慧优数为：48，60，72，84，…… 当时，由产生的智慧优数为：63，77，91，…… 当时，由产生的智慧优数为：80，96，…… 综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，…… ∴第27个智慧优数是65， 故答案为：65． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·天津·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）已知多项式进行配方，然后根据新定义判断即可； （2）把关于x的多项式进行配方，得出其关于对称，从而列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴多项式关于对称， 故答案为：2； （2）∵， ∴关于x的多项式关于对称， 又∵关于x的多项式关于对称， ∴，则． 故答案为：． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河南焦作·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：40___________“和谐数”，2026___________“和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为99，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)5000 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）根据“和谐数”的定义判断即可； （2）根据“和谐数”的定义计算得到，即可作答； （3）结合（2）的计算即可． 【详解】（1）解：设， 解得，是整数， ∴40是“和谐数”； 设， 解得，不是整数， ∴2026不是“和谐数”； 故答案为：是，不是； （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： ， 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解： ， 阴影面积为5000． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． (1)在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． (2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】(1)② (2)①见解析②见解析 【分析】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【详解】（1）解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． （2）解：① ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 【题型9】利用完全平方公式求最值 1.核心知识点 完全平方公式的逆用（配方）；非负数的性质（）。 2.解题方法技巧 配方变形：将代数式化为“”的形式（如）。 求最值：当时，代数式取最值（平方项前为正取最小值，为负取最大值）。 【例题9】.（25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】(1)最小值为 (2)代数式有最大值，最大值为12 (3)当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 【答案】（1）当时，代数式的最小值是1； （2）1；大；； （3） 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性（）判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即是代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 答：当时，代数式的最小值是1； （2）解： ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值，最大值 故答案为：1，大；； （3）解：由，得； 则 ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·四川达州·期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)3；5； (2)当时，多项式有最小值是21； (3)，当时，S有最小值，最小值是4． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； （2）解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； （3）解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 【变式题9-3】.，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 易错点 1.公式混淆：误将平方差公式写成，完全平方公式漏写中间项（如）。 2.符号错误：计算时误写成（正确为）；平方差公式中3.相反项的平方符号错误（如误算为正确，误算为错误）。 系数运算错误：完全平方公式中系数未平方（如误算为，正确为）。 变形应用错误：不会逆用公式（如已知，，不会求）。 重点 1.掌握两大公式的结构特征和符号表示，能准确识别相同项、相反项（平方差）和首项、尾项（完全平方）。 2.能熟练进行公式的正向应用（直接计算）、逆向应用（化简求值、简便运算）和变形应用（如）。 3.理解公式的几何意义，能通过图形面积验证公式；能解决生活中的简单情境问题。 难点 1.公式的灵活变形与逆用：在复杂代数式中准确识别公式结构，灵活运用变形公式求解（如不含某一项求字母值、整体代入求值）。 2.复杂情境与几何图形的建模：将新定义、生活实际、复杂几何图形转化为乘法公式问题，建立数学模型。 3.规律探究与最值问题：通过特例归纳公式规律，利用配方法求代数式的最值，体现数形结合和从特殊到一般的思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 2．下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式适用于形式为的表达式，即两项中一项相同，另一项互为相反数，据此特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； C、，不符合题意平方差公式的特点，不可用平方差公式计算，不符合题意； D、，相同项为和，相反项为和，可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 3．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，积的乘方运算、同底数幂的乘方运算逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 4．如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，比较系数之间的关系求解． 【详解】解：， 是完全平方式， ， ， ． 故选：D． 5．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，， 因此选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 7．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 8．已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 9．已知，，则 ． 【答案】43 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 利用完全平方公式，将表示为，然后代入已知数值计算 【详解】解：由完全平方公式，，可得 ． 将，代入，得 ． 故答案为：43． 10．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)；64 (2)；-22 【分析】（1）先根据整式的混合运算法则化简，再把，代入化简后的结果中计算即可； （2）先根据整式的混合运算法则化简，再把代入化简后的结果中计算即可. 【详解】解：（1）原式 ． 当，时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则化简成为解题的关键. 12．小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式的取值与a无关” 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①；②；③中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． (1)缺失部分为______（填序号）； (2)试说明上述代数式的值与a无关． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）分别把①，②，③，代入到缺失的位置，利用乘法公式把所得代数式先去括号，然后合并同类项化简，看最后的结果的取值是否与a的值有关即可； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴填入①时，原代数式的结果的取值与a的值有关，故①不符合题意； ， ∴填入②时，原代数式的结果的取值与a的值有关，故②不符合题意； ， ∴填入③时，原代数式的结果的取值与a的值无关，故③符合题意； 故答案为：③； （2）证明： ， ∴原代数式的结果的取值与a的值无关． 13．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … (1)请你按照上面4个等式的规律写出第5个等式； (2)请你猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． （1）根据规律直接写出第5个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【详解】（1）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： （2）解：由题意得：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∴左边右边， 即． 14．计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （ii）用简便方法计算：． 【答案】（i）平方差公式；（ii） 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （i）根据公式变形可知其满足平方差公式； （ii）将变形成符合平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （ii） ． 15．配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $