专题1.2 整式的乘法（寒假预习讲义）（3大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

专题1.2 整式的乘法 知识点1：单项式与单项式相乘 1.核心法则：把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.符号表示：若、为系数，、为正整数，则。 3.注意事项：先算乘方（如有）再算乘法；系数相乘时注意符号；单独字母的指数保持不变。 知识点2：单项式与多项式相乘 1.核心法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.符号表示：（为单项式，、、为多项式的项）。 3.注意事项：多项式的每一项都要带符号相乘；不要漏乘常数项；结果需合并同类项（如有）。 知识点3：多项式与多项式相乘 1.核心法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.符号表示：（、、、为单项式或常数）。 3.注意事项：按顺序相乘，避免漏乘；项与项相乘时注意符号；结果需合并同类项，化为最简形式。 三种整式乘法运算对比表 运算类型 核心法则 符号公式（核心形式） 结果类型 单项式×单项式 系数相乘、同底数幂相乘、单独字母留不变 单项式 单项式×多项式 分配律：单项式乘多项式每一项，再求和 多项式（项数与原多项式一致） 多项式×多项式 一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再求和 多项式（合并同类项后） 【基础必考题型】 【题型1】单项式与单项式的乘法计算 1.核心知识点 单项式×单项式法则：系数相乘、同底数幂相乘（）、单独字母留不变。 符号运算规则：同号得正，异号得负。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数相乘（含符号），再算同底数幂相乘，最后保留单独字母及指数。 符号优先：先确定积的符号，再计算绝对值，避免符号错误。 【例题1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： . 【答案】 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式题1-1】.（25-26八年级上·天津滨海新·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，正确掌握单项式乘单项式的法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的法则即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式题1-2】.（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题是单项式的乘法运算，需分别计算系数和字母部分，并应用有理数乘法法则和同底数幂相乘的法则 【详解】解：， 故答案为． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【详解】解： 故选：D． 【题型2】单项式与多项式的基础应用 1.核心知识点 单项式×多项式法则：。 分配律的正向应用，合并同类项法则。 2.解题方法技巧 逐项相乘：用单项式依次乘多项式的每一项，带符号运算。 合并同类项：若积中有同类项，及时合并，化为最简形式。 【例题2】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法运算，单项式与多项式相乘，用单项式与多项式中的每个项分别相乘，再把得到的积相加． 根据单项式与多项式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由图可得，这条小路的面积是， 故选：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的定义是关键．根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】∵长方形的面积=长×宽， ∴面积， ， ． 故选D． 【题型3】多项式与多项式的基础计算 1.核心知识点 多项式×多项式法则：。 同类项合并规则。 2.解题方法技巧 有序相乘：用“箭头法”确保不遗漏。 分步合并：先展开所有项，再合并同类项。 【例题3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·周测）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. 【详解】∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东中山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则及合并同类项法则是解决问题的关键． 利用多项式乘多项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 【培优高频题型】 【题型4】利用整式乘法求字母值（基础） 1.核心知识点 单项式×单项式、单项式×多项式的运算法则。 同类项的定义（相同字母的指数相同）。 2.解题方法技巧 展开等式：将左边整式相乘展开，整理成标准形式。 对应相等：根据同类项的指数和系数对应相等，列方程求字母值（如，得，解得）。 【例题4】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到，结合得到，，求出的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握法则是解答此题的关键． 根据单项式乘以单项式法则即可求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【题型5】几何图形中的整式乘法（面积计算） 1.核心知识点 单项式×多项式、多项式×多项式法则。 长方形、正方形面积公式（面积=长×宽）。 2.解题方法技巧 模型转化：将几何图形的边长用整式表示，根据面积公式列出乘法算式。 化简结果：展开算式并合并同类项，得到面积的整式表达式。 【例题5】.（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则下列说法正确的是（   ） A．长方形的面积可表示为：，结果为 B．长方形的面积可表示为：，结果为 C．长方形的面积可表示为：，结果为17 D．长方形的面积可表示为：，结果为15 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，根据题意，求出长方形的长和宽，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：长方形的宽为：，长为：， ∴长方形的面积可表示为：，结果为：， 故选：A． 【变式题5-1】.（18-19七年级下·广东佛山·月考）计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)108 【分析】此题考查整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）大长方形面积减去小长方形面积即可； （2）将与的值代入即可求出值． 【详解】（1）解： ， 即阴影部分面积为：； （2）解：当时， 阴影部分面积为：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观获得结论．如图1，从整体看，这个图形是一个长为，宽为的长方形，其面积表示为，从局部看，这个图形由4个长方形组成，面积分别为，则这个长方形的面积还可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是_______． A．分类讨论            B．特殊与一般            C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式______． (3)等式也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该等式的示意图（在你所画的图形中添加标记）． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的几何背景，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）本题是代数与几何的结合，故是数形结合思想； （2）根据图形面积的两种表示方式得出结论； （3）模仿材料中的方法，画出能推导出该式子的示意图即可． 【详解】（1）解：上述数学活动主要体现的数学思想是数形结合， 故选：C； （2）解：可以推导出：， 故答案为：； （3）解：如图， 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米；平方米． 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用． （1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可； （2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为平方米； （2）解： 平方米； 当时，原式（平方米）． 【题型6】不含某一项求字母值 1.核心知识点 多项式×多项式法则（展开后合并同类项）。 “不含某一项”的本质：该项的系数为0。 2.解题方法技巧 完全展开：将多项式相乘展开，合并同类项为标准形式（）。 列方程求解：令不含项的系数为0，列方程求字母值（如不含项，则）。 【例题6】.（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【详解】（1）解：当时， 则原式为 ． （2）解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川成都·期中）以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数． (1)根据计算结果填写表格： 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 (2)若关于的代数式化简后，既不含二次项，也不含一次项，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是准确进行计算． （1）根据多项式乘多项式的计算法则即可求解； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解． 【详解】（1）解：， ， 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 1 -2 故答案为：，； （2）解： ， ∵既不含二次项，也不含一次项， ∴， 解得：， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，设大长方形的长为x，左上角空白部分的面积，右下角空白部分的面积，计算，根据的值与的长无关可知即含x的项系数必须为0，据此求出m、n的关系． 【详解】解：设大长方形的长为x，面积为的长方形的长为，宽为， 因此， 面积为的长方形的长为，宽为m， 因此， 因为的值与的长无关， 即含x的项系数必须为0， 因此， 可得， 综上，m与n的数量关系为， 故选：B． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义运算中的整式乘法 1.核心知识点 整式乘法的各种法则。 新定义运算的转化逻辑（如规定“”）。 2.解题方法技巧 解读定义：根据题目给出的新规则，将新运算转化为熟悉的整式乘法。 化简求解：按整式运算规则化简转化后的算式，结合已知条件求值。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东潍坊·期末）定义运算，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】AD 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义，单项式乘多项式．根据定义，逐一验证各选项的正确性，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、取 ，，，，，故不相等，故该选项不符合题意； C、由 得 ，，而 ，（除非），故该选项不符合题意； D、由，得 或 ，即 或 ，故该选项符合题意； 故选：AD 【题型8】整式乘法的规律探究（杨辉三角类） 1.核心知识点 多项式×多项式的展开规律。 从特殊到一般的探究思想。 2.解题方法技巧 特例计算：先计算简单多项式乘积（如、），观察系数规律。 归纳推广：根据特例规律，推广到复杂形式（如的系数规律、的乘积规律）。 【例题8】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 根据图形中的“杨辉三角”的数字规律得出即可求出的展开式． 【详解】解：“杨辉三角”的数字规律可知：对应行的数字（即展开式的系数）分别为1，5，10，10，5，1，每一项的次数为5， 故， 故答案为 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 【详解】解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律，根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 【详解】解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴该结论正确； ②∵ ， ∴该结论正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴该结论正确； ④∵展开式为， ∴其中各项系数之和为， ∴该结论正确， 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：D． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【答案】（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值为0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和为（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 【题型9】几何图形的阴影面积探究（含动点） 1.核心知识点 整式乘法与图形面积的综合应用。 动点问题中整式的表示（如动点移动后边长为）。 2.解题方法技巧 表示边长：用含字母的整式表示动点移动后图形的边长、阴影部分的长和宽。 构建算式：根据“和差法”（总面积减空白面积）列出整式乘法算式，化简后分析结果的规律（如与某字母无关）。 【例题9】.（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式，图形面积，平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分面积的两种计算方法即可得出结论； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为，即可得出三个代数式，，之间的等量关系； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为和，再根据，两正方形的面积和为20，可得，，然后利用完全平方公式求出的值，利用直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：知识回顾：图1的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：大正方形面积为；方式二：两个小正方形和两个小长方形面积之和为； 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：用大正方形减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积为； 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故填：，； 拓展探究：（1）图3的阴影部分面积计算有两种方式： 方式一：直接求阴影部分面积为；方式二：大正方形减去四个小长方形的面积为； 所以图3中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； （2），， ， ， ， ． ， ． 解决问题：设正方形和的边长分别为和， ，两正方形的面积和为20， ，． ， ， ， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)方法1：；方法2： (3) (4)17 【分析】本题考查了代数式的几何意义，完全平方公式的应用，用两种不同的方法表示同一图形的面积是解题的关键． （1）直接写出阴影部分的正方形的边长即可； （2）按题目要求回答即可； （3）根据（2）问中的两个结论用等式表示出来即可； （4）结合图形，通过图形拼补即可表示出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图1中每个小长方形的长为宽为，图2中阴影正方形的边长是小长方形长与宽的差，即， 故答案为：； （2）解：方法1：直接用正方形面积公式，边长为，面积为； 方法2：大正方形面积减去4个小长方形面积．大正方形边长为，面积为；4个小长方形面积为,因此阴影面积为； 故答案为：，； （3）解：由阴影面积的两种表示方法，可得：； 故答案为：； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ， ， ∵， ∴， ， ∴阴影部分面积． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，验证见解析 (2)需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张 (3)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）图的正方形的边长为，是由1张纸片A，1张纸片B，2张纸片C拼成的，根据面积相等即可求解； （2）计算，即可求解； （3）设，则，，由（1）的结论可求出的值，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）解：图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为， 所以有， 验证，． （2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为， 需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）解：设，则， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4）28 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】解：（1）根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）∵， ∴ ． 易错点 1.符号错误：单项式乘多项式、多项式乘多项式时，未带项的符号相乘（如误算为）。 2.漏乘问题：多项式乘多项式时遗漏某两项相乘（如漏乘）；单项式乘多项式时漏乘常数项。 3.法则混淆：混淆“同底数幂相乘（指数相加）”与“幂的乘方（指数相乘）”，导致运算错误。 4.合并同类项错误：展开后同类项识别错误，或合并时系数计算出错。 重点 1.掌握三种核心运算的法则及符号公式，能熟练进行基础计算。 2.能将几何图形、生活情境转化为整式乘法模型，解决实际问题。 3.理解“不含某一项”“与某字母无关”的本质，会列方程求字母值。 4.熟练掌握“先化简后求值”的步骤，提高运算准确性。 难点 1.多项式乘多项式的有序相乘与漏乘防范，尤其是含常数项、负号的情况。 2.生活情境与几何图形的模型转化，准确提取表示长度、数量的整式。 3.新定义运算、规律探究题的解读与转化，需要较强的逻辑推理能力。 4.复杂算式中的整体代换思想应用，简化运算过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，通过乘法分配律展开并合并同类项化简代数式即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂除法，有理数乘方运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据积的乘方运算法则，单项式乘单项式运算法则，同底数幂除法运算法则，有理数乘方运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故 B错误； C．，故C错误； D．，故D正确． 故选：D． 3．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 4．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 5．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 7．若的展开式中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过多项式乘法，确定展开式中x的一次项系数，并令其为零求解． 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 8．观察下列各式及其展开式 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，通过已给的式子，能够写出的展开式是解题的关键．根据所给的展开式的规律，求出的展开式，再求项的系数即可． 【详解】解：观察二项式展开式的规律可得：， 含项的系数是． 故答案为：． 9．如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 【详解】解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 10．如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何面积，先表示出大长方形的长为，大长方形的宽为，再表示出大长方形的面积，最后逐个判断即可． 【详解】解：大长方形的长为，故①错误；大长方形的宽为， ∴大长方形的面积为，故②正确； ∵5个小长方形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：，故③错误； ∵， ∴，， ∴，故④正确． 故答案为：②④． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数次幂，零次幂，积的乘方与幂的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，正确计算是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘除法进行计算即可； （2）先化简零次幂和负整数次幂，然后相加即可； （3）先利用积的乘方法则进行化简，然后再用单项式乘单项式法则进行计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 12．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 13．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 14．如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了长方形面积公式，多项式乘法法则及整式的加减运算． （1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解：由图可知，草坪的面积是： ， 答：草坪面积为； （2）解：当时， ， 答：草坪的面积是． 15．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 整式的乘法 知识点1：单项式与单项式相乘 1.核心法则：把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.符号表示：若、为系数，、为正整数，则。 3.注意事项：先算乘方（如有）再算乘法；系数相乘时注意符号；单独字母的指数保持不变。 知识点2：单项式与多项式相乘 1.核心法则：根据乘法分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.符号表示：（为单项式，、、为多项式的项）。 3.注意事项：多项式的每一项都要带符号相乘；不要漏乘常数项；结果需合并同类项（如有）。 知识点3：多项式与多项式相乘 1.核心法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.符号表示：（、、、为单项式或常数）。 3.注意事项：按顺序相乘，避免漏乘；项与项相乘时注意符号；结果需合并同类项，化为最简形式。 三种整式乘法运算对比表 运算类型 核心法则 符号公式（核心形式） 结果类型 单项式×单项式 系数相乘、同底数幂相乘、单独字母留不变 单项式 单项式×多项式 分配律：单项式乘多项式每一项，再求和 多项式（项数与原多项式一致） 多项式×多项式 一个多项式每一项乘另一个多项式每一项，再求和 多项式（合并同类项后） 【基础必考题型】 【题型1】单项式与单项式的乘法计算 1.核心知识点 单项式×单项式法则：系数相乘、同底数幂相乘（）、单独字母留不变。 符号运算规则：同号得正，异号得负。 2.解题方法技巧 分步运算：先算系数相乘（含符号），再算同底数幂相乘，最后保留单独字母及指数。 符号优先：先确定积的符号，再计算绝对值，避免符号错误。 【例题1】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： . 【变式题1-1】.（25-26八年级上·天津滨海新·期末）计算： ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型2】单项式与多项式的基础应用 1.核心知识点 单项式×多项式法则：。 分配律的正向应用，合并同类项法则。 2.解题方法技巧 逐项相乘：用单项式依次乘多项式的每一项，带符号运算。 合并同类项：若积中有同类项，及时合并，化为最简形式。 【例题2】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考） ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）化简： 【变式题2-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·月考）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一条宽为的小路（阴影部分），这条小路的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·天津北辰·月考）一个长方形的长，宽分别是和，这个长方形的面积是（） A． B． C． D． 【题型3】多项式与多项式的基础计算 1.核心知识点 多项式×多项式法则：。 同类项合并规则。 2.解题方法技巧 有序相乘：用“箭头法”确保不遗漏。 分步合并：先展开所有项，再合并同类项。 【例题3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖北荆门·月考）若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·周测）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东中山·期末）计算： 【培优高频题型】 【题型4】利用整式乘法求字母值（基础） 1.核心知识点 单项式×单项式、单项式×多项式的运算法则。 同类项的定义（相同字母的指数相同）。 2.解题方法技巧 展开等式：将左边整式相乘展开，整理成标准形式。 对应相等：根据同类项的指数和系数对应相等，列方程求字母值（如，得，解得）。 【例题4】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川巴中·月考）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·江苏南京·期中）若，求的值． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【题型5】几何图形中的整式乘法（面积计算） 1.核心知识点 单项式×多项式、多项式×多项式法则。 长方形、正方形面积公式（面积=长×宽）。 2.解题方法技巧 模型转化：将几何图形的边长用整式表示，根据面积公式列出乘法算式。 化简结果：展开算式并合并同类项，得到面积的整式表达式。 【例题5】.（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则下列说法正确的是（   ） A．长方形的面积可表示为：，结果为 B．长方形的面积可表示为：，结果为 C．长方形的面积可表示为：，结果为17 D．长方形的面积可表示为：，结果为15 【变式题5-1】.（18-19七年级下·广东佛山·月考）计算图中阴影部分的面积． (1)用含、的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当时，计算阴影部分的面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观获得结论．如图1，从整体看，这个图形是一个长为，宽为的长方形，其面积表示为，从局部看，这个图形由4个长方形组成，面积分别为，则这个长方形的面积还可以表示为．因为这两个代数式表示的是同一个图形的面积，所以． 任务： (1)上述数学活动主要体现的数学思想是_______． A．分类讨论            B．特殊与一般            C．数形结合 (2)如图2，根据上述材料提供的方法，可以推导出等式______． (3)等式也可以借助图形的面积进行解释，请模仿材料中的方法，画出能推导出该等式的示意图（在你所画的图形中添加标记）． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【题型6】不含某一项求字母值 1.核心知识点 多项式×多项式法则（展开后合并同类项）。 “不含某一项”的本质：该项的系数为0。 2.解题方法技巧 完全展开：将多项式相乘展开，合并同类项为标准形式（）。 列方程求解：令不含项的系数为0，列方程求字母值（如不含项，则）。 【例题6】.（25-26八年级上·广东广州·期中）若关于x的代数式计算后不含x的一次项． (1)当时，化简原代数式； (2)若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川成都·期中）以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数． (1)根据计算结果填写表格： 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 (2)若关于的代数式化简后，既不含二次项，也不含一次项，求的值． 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 1 -2 【变式题6-2】.（25-26七年级上·江苏徐州·期中）有10张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内．大长方形中未被覆盖的两个空白部分，设左上角的面积为，右下角的面积为．的长变化时，的值与的长无关，与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【压轴素养题型】 【题型7】新定义运算中的整式乘法 1.核心知识点 整式乘法的各种法则。 新定义运算的转化逻辑（如规定“”）。 2.解题方法技巧 解读定义：根据题目给出的新规则，将新运算转化为熟悉的整式乘法。 化简求解：按整式运算规则化简转化后的算式，结合已知条件求值。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·山东潍坊·期末）定义运算，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【题型8】整式乘法的规律探究（杨辉三角类） 1.核心知识点 多项式×多项式的展开规律。 从特殊到一般的探究思想。 2.解题方法技巧 特例计算：先计算简单多项式乘积（如、），观察系数规律。 归纳推广：根据特例规律，推广到复杂形式（如的系数规律、的乘积规律）。 【例题8】.（25-26八年级上·云南昆明·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为 ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（   ） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32． A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【题型9】几何图形的阴影面积探究（含动点） 1.核心知识点 整式乘法与图形面积的综合应用。 动点问题中整式的表示（如动点移动后边长为）。 2.解题方法技巧 表示边长：用含字母的整式表示动点移动后图形的边长、阴影部分的长和宽。 构建算式：根据“和差法”（总面积减空白面积）列出整式乘法算式，化简后分析结果的规律（如与某字母无关）。 【例题9】.（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为 ． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； （2）若，，求的值． 【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·辽宁大连·期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题： (1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ； (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　　　　　； 方法2：　　　　　； (3)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是； ； (4)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，正方形，两正方形的面积分别是和，若，两正方形的面积，求图中阴影部分的面积． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东广州·期中）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·河北保定·月考）数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式：图1： ；图2： ； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系，并通过运算验证它的正确性． 【解决问题】 （3）如图4，长方形周长为，，求长方形的面积． 【知识迁移】 （4）若，则 ．（直接写出结果） 易错点 1.符号错误：单项式乘多项式、多项式乘多项式时，未带项的符号相乘（如误算为）。 2.漏乘问题：多项式乘多项式时遗漏某两项相乘（如漏乘）；单项式乘多项式时漏乘常数项。 3.法则混淆：混淆“同底数幂相乘（指数相加）”与“幂的乘方（指数相乘）”，导致运算错误。 4.合并同类项错误：展开后同类项识别错误，或合并时系数计算出错。 重点 1.掌握三种核心运算的法则及符号公式，能熟练进行基础计算。 2.能将几何图形、生活情境转化为整式乘法模型，解决实际问题。 3.理解“不含某一项”“与某字母无关”的本质，会列方程求字母值。 4.熟练掌握“先化简后求值”的步骤，提高运算准确性。 难点 1.多项式乘多项式的有序相乘与漏乘防范，尤其是含常数项、负号的情况。 2.生活情境与几何图形的模型转化，准确提取表示长度、数量的整式。 3.新定义运算、规律探究题的解读与转化，需要较强的逻辑推理能力。 4.复杂算式中的整体代换思想应用，简化运算过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．计算的结果是（ ） A．a B． C． D． 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 4．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 5．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（   ） A．7 B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．若的展开式中不含x的一次项，则 ． 8．观察下列各式及其展开式 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 9．如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 10．如图1，一个小长方形的长为，宽为a，把5个大小相同的小长方形放入图2的大长方形内，则下列说法：①大长方形的长为；②大长方形的面积为；③阴影部分的面积为；④若，大长方形的面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则．正确的有 ．（填序号） 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 12．书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 13．小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 14．如图，有一块长、宽的长方形地块，现计划在中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪． (1)用含的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） (2)当时，求草坪的面积． 15．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $