专题1.1 幂的乘除（寒假预习讲义）（4大知识点预习+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

专题1.1 幂的乘除 知识点1：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.符号表示：（，、为整数）。 3.推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于拆分指数，简化计算）。 知识点2：幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.符号表示：（，、为整数）。 3.推广：多重幂的乘方，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于转化指数，比较大小或求值）。 知识点3：积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2.符号表示：（、，为整数）。 3.推广：多个因式的积的乘方，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于合并因式，简便运算）。 知识点4：同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.符号表示：（，、为整数，且）。 3.逆用：（用于拆分指数，简化计算）。 4.特殊规定： 零指数幂：（），任何非零数的零次幂都等于1。 负整数指数幂：（，为正整数），即非零数的负整数次幂等于它正整数次幂的倒数。 核心法则对比表 运算类型 底数要求 指数运算规则 符号表示（核心公式） 同底数幂的乘法 底数相同 指数相加 （，、为整数） 幂的乘方 底数为单个幂 指数相乘 （，、为整数） 积的乘方 底数为乘积形式 各因式分别乘方后相乘 （、，为整数） 同底数幂的除法 底数相同 指数相减 （，、为整数，） 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的乘法计算 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，公式为（，、为整数）。 底数互为相反数的幂的转化公式：。 2.解题方法技巧 统一底数：若底数互为相反数，根据指数奇偶性转化为同底数（偶次幂相等，奇次幂互为相反数）。 分步运算：多个幂相乘时，依次应用法则，指数累加，避免漏加单个字母的指数（单个字母指数为1）。 【例题1】.（25-26七年级上·安徽·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·周测）若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·吉林四平·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 【题型2】幂的乘方计算 1.核心知识点 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，公式为（，、为整数）。 符号的乘方规律：。 2.解题方法技巧 指数运算：先算括号内的指数，再与外层指数相乘，多项式指数需加括号。 符号处理：先判断底数的符号，再根据外层指数奇偶性确定结果符号。 【例题2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）若为正整数，则表示的是（    ） A．3个相乘 B．4个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的定义进行判断即可． 【详解】解：若为正整数，则表示的是3个相乘， 故选：A 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）嘉淇计算时，写出如下式子：，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．幂的乘方运算为底数不变指数相乘，同底数幂相乘为底数不变指数相加． 【详解】解：， 即， ∴． 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，掌握这两个运算法则是关键；先计算积的乘方，再计算幂的乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型3】积的乘方计算 1.核心知识点 积的乘方法则：各因式分别乘方，再相乘，公式为（、，为整数）。 推广公式：（多个因式的积的乘方）。 2.解题方法技巧 因式拆分：将积拆分为系数、单独字母、多项式因式，分别乘方后再相乘。 避免漏乘：不要忽略系数的符号或单个因式。 【例题3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，掌握（为正整数）是解题的关键．根据（为正整数）计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·重庆潼南·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、合并同类项等知识点．运用合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）先根据幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【题型4】同底数幂的除法计算 1.核心知识点 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，公式为（，、为整数，）。 推广公式：（多个同底数幂相除）。 2.解题方法技巧 指数处理：指数相减时，多项式指数需加括号（如）。 特殊幂转化：结果出现负整数指数幂时，转化为正整数指数幂的倒数（如）。 【例题4】.（24-25九年级下·福建漳州·月考）计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，（其中 ），据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：∵ ，故选：A． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)（是正整数）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法． (1)根据同底数幂相除，底数不为0，指数相减，进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【培优高频题型】 【题型5】零指数幂与负整数指数幂的简单应用 1.核心知识点 零指数幂公式：（），任何非零数的零次幂都等于1。 负整数指数幂公式：（，为正整数）。 2.解题方法技巧 底数限制：先判断底数是否为零，排除无意义的情况（如需满足）。 直接计算：结合有理数运算，先算幂的部分，再进行加减乘除。 【例题5】.（20-21八年级上·全国·课后作业）当 时，． 【答案】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，进行求解即可． 【详解】解：因为任何非零数的零次幂都等于1，所以当时，，即． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算；（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，准确的计算是解决本题的关键． 利用负整数指数幂的运算规则求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·吉林长春·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是零指数幂，负整数指数幂的含义，乘方，绝对值的含义． 先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，零指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂和乘方，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型6】逆用幂的法则求代数式的值 1.核心知识点 同底数幂乘法逆用公式：（，、为整数）。 幂的乘方逆用公式：（，、为整数）。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求代数式的指数拆分为已知条件的指数和或积（如已知、，求，拆分为）。 整体代入：先根据逆用法则转化代数式，再代入已知值计算，避免单独求字母的值。 【例题6】.（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）已知 ，，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，利用指数运算性质，将所求表达式转化为已知条件的组合形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴． 故答案为： 2． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河北保定·期末）已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【答案】(1)10 (2)500 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）根据 进行计算； （2）将变形为即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)32 (2)25 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【题型7】科学记数法与负整数指数幂的结合 1.核心知识点 小于1的正数的科学记数法：（，为正整数）。 负整数指数幂公式：（，为正整数）。 2.解题方法技巧 确定的值：的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数。 还原与表示：科学记数法与小数互化时，根据指数的正负移动小数点。 【例题7】.（25-26七年级上·山西太原·期末）新疆天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，成为全球最长的高速公路隧道．隧道全长22.13公里，总投资约467亿元．数据“467亿元”用科学记数法表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：467亿， 故选：D． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的半径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，下列数轴上的四个点，能表示的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了负整数指数幂和在数轴上表示有理数．先计算出数值，再根据数值确定位置即可． 【详解】解：， ∵在和1之间且靠近1， ∴数轴上的四个点，能表示的点是， 故选：C． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【答案】一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较大的数，我国有14亿人口，即人；每年365天，每人每天两餐，每人每餐节约1粒大米，则一年节约大米的总粒数为：（粒），已知500粒大米约重10克，先将总粒数换算为克：（克），因为1千克克，所以换算为千克：（千克），已知大米单价为5元/千克，总重量为千克，则总钱数为：（元）． 【详解】解：（粒）， （克）， 因为1千克克， 所以（千克）， 则总钱数为：（元）． 答：一年大约能节约大米千克，如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币元． 【压轴素养题型】 【题型8】幂的大小比较（逆用幂的乘方） 1.核心知识点 幂的乘方逆用公式：（，、为正整数）。 幂的大小比较规则：同指数时，底数越大幂越大；同底数时，指数越大幂越大（）。 2.解题方法技巧 同指数转化：将不同底数、不同指数的幂，逆用幂的乘方转化为同指数幂，比较底数大小（如比较、，转化为、，再比较底数与）。 中间量搭桥：当无法直接转化时，用1、0等中间量比较（如与，比较与）。 【例题8】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算性质，正确理解题意、灵活应用幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）可以将指数都化为2再进行比较； （2）可以将指数都化为15再进行比较． （3）根据整式的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）解： ∵，， ∴ ∴ 【变式题8-2】.（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 【题型9】跨学科应用 1.核心知识点 同底数幂的除法法则公式：（，、为整数，）。 倍数关系转化：“A是B的几倍”转化为的幂运算。 2.解题方法技巧 提取模型：从物理情境中提取“求一个量是另一个量的几倍”的模型，转化为同底数幂的除法（如声音强度瓦/米²是瓦/米²的倍）。 单位统一：确保运算前各量的单位一致，再应用幂的法则计算。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 【答案】要用这种杀菌剂升 【分析】本题考查了同底数幂乘除法的实际应用及科学记数法，解题的关键是：理解题意正确列式．先求出3升含有细菌的个数，再求出杀死这些细菌需要的滴数，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数，即可求解， 【详解】解：根据题意知，要用这种杀菌剂（滴）， 要用（升）， 答：要用这种杀菌剂升． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·假期作业）地球上的植物每年能生产克即大卡的有机物质，但实际上人类只能利用，即大卡，若每人每天消耗大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？ 【答案】地球上最多可以养活822亿人口 【分析】本题考查了科学记数法、有理数乘除混合运算的应用，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．先求出人类每天可利用的有机物质，再除以每人每天的消耗，即可求解． 【详解】解：（人） （亿人）， 答：地球上最多可以养活亿人口． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·假期作业）飞机每小时飞行千米，光的速度是每秒30万千米，求光的速度是飞机的多少倍？（用科学记数法表示） 【答案】倍 【分析】本题考查了有理数乘除法的应用，科学记数法，掌握科学记数法是解题关键．光的速度除以飞机的速度，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可知，光的速度为千米/秒，飞机速度为6×10³千米/小时， 将光速单位换算为千米/小时：（千米/小时）。 则光的速度是飞机速度的倍数为： 答：光的速度是飞机的倍． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 【题型10】新定义运算中的幂运算 1.核心知识点 幂的各种运算法则公式：、、等。 新定义运算的转化逻辑（如）。 2.解题方法技巧 吃透定义：根据题目给出的新运算规则，转化为熟悉的幂运算。 验证规律：探究新运算的性质（如结合律、交换律）时，通过举例或法则推导验证。 【例题10】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 【变式题10-1】.（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)4，0， (2)2，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数． （1）由于，，根据“雅对”的定义可得； （2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到 （3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ∴； ∵ ， ∴ 故答案为：4；0；； （2）解： 理由如下： 设，则， ∴， ∴ （3）证明：设， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即对于任意自然数n都成立． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 易错点 1.法则混淆：误将同底数幂的乘法（）与幂的乘方（）混淆（如而非）。 2.符号错误：积的乘方中忽略系数的符号（如而非），或负数的奇次幂、偶次幂判断错误。 3.底数限制忽略：零指数幂（）或负整数指数幂（）中，未考虑底数的条件。 4.逆用不熟练：无法灵活运用、拆分或合并指数。 重点 1.掌握四种核心法则及公式：同底数幂的乘除（、）、幂的乘方（）、积的乘方（）的正用与逆用。 2.理解特殊幂的规定及公式：零指数幂（）、负整数指数幂（），掌握科学记数法（）与小数的互化。 3.熟练混合运算：遵循“先乘方，再乘除”的顺序，正确处理符号和底数的统一。 4.应用意识：能将生活情境、跨学科问题转化为幂运算模型，解决实际问题。 难点 1.法则的逆用：灵活运用、、拆分或合并指数，求代数式的值或比较幂的大小。 2.混合运算的准确性：多个法则综合应用时，避免运算顺序或符号错误，尤其是含多项式指数的情况。 3.情境转化能力：将新定义运算、跨学科（物理、单位换算）情境转化为熟悉的幂运算，提炼数学模型。 4.探究性问题：通过幂的运算推导字母之间的数量关系，需要较强的逻辑推理和方程思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的基本概念是解题关键． 比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数越大，数越大，指数相同时再比较系数． 【详解】解：∵，都是小于10的数， ∴最大， 故选：A． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的运算，包括合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方，熟练掌握相应运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 3．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 4．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 逐一判断每个式子的正确性，基于指数运算法则和代数运算规则． 【详解】解：①∵，∴错误， ②∵是加法，不能合并指数，∴错误， ③∵，∴错误， ④∵，∴正确， ⑤∵，∴错误， 综上，只有④正确，故正确个数为1， 故选：A． 二、填空题 6．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将所求表达式转化为已知值进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 7． ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了积的乘方和同底数幂乘法逆用，熟练掌握积的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，是解题的关键．逆用同底数幂乘法运算法则，将原式变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 8．计算：，其中，第一步运算的依据是 法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 9．若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方． 需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 10．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法，代数式求值． 根据幂的乘方将化为，进而根据同底数幂的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，有理数的乘方和加法运算，负整数指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可； （2）先计算有理数的乘方、负整数指数幂，再进行加法计算． （3）根据积的乘方法则计算即可． （4）根据零指数幂、负整数指数幂法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 12．已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，理解题意，整理得，又因为，故，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 则 13．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 14．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 15．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 幂的乘除 知识点1：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2.符号表示：（，、为整数）。 3.推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于拆分指数，简化计算）。 知识点2：幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.符号表示：（，、为整数）。 3.推广：多重幂的乘方，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于转化指数，比较大小或求值）。 知识点3：积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2.符号表示：（、，为整数）。 3.推广：多个因式的积的乘方，法则仍成立，即。 4.逆用：（用于合并因式，简便运算）。 知识点4：同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2.符号表示：（，、为整数，且）。 3.逆用：（用于拆分指数，简化计算）。 4.特殊规定： 零指数幂：（），任何非零数的零次幂都等于1。 负整数指数幂：（，为正整数），即非零数的负整数次幂等于它正整数次幂的倒数。 核心法则对比表 运算类型 底数要求 指数运算规则 符号表示（核心公式） 同底数幂的乘法 底数相同 指数相加 （，、为整数） 幂的乘方 底数为单个幂 指数相乘 （，、为整数） 积的乘方 底数为乘积形式 各因式分别乘方后相乘 （、，为整数） 同底数幂的除法 底数相同 指数相减 （，、为整数，） 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的乘法计算 1.核心知识点 同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，公式为（，、为整数）。 底数互为相反数的幂的转化公式：。 2.解题方法技巧 统一底数：若底数互为相反数，根据指数奇偶性转化为同底数（偶次幂相等，奇次幂互为相反数）。 分步运算：多个幂相乘时，依次应用法则，指数累加，避免漏加单个字母的指数（单个字母指数为1）。 【例题1】.（25-26七年级上·安徽·假期作业）计算： ． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·周测）若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·吉林四平·期末）计算： 【题型2】幂的乘方计算 1.核心知识点 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，公式为（，、为整数）。 符号的乘方规律：。 2.解题方法技巧 指数运算：先算括号内的指数，再与外层指数相乘，多项式指数需加括号。 符号处理：先判断底数的符号，再根据外层指数奇偶性确定结果符号。 【例题2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）若为正整数，则表示的是（    ） A．3个相乘 B．4个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期末）嘉淇计算时，写出如下式子：，则a的值为（   ） A．8 B．6 C．3 D．2 【变式题2-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算： ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·期末）计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【题型3】积的乘方计算 1.核心知识点 积的乘方法则：各因式分别乘方，再相乘，公式为（、，为整数）。 推广公式：（多个因式的积的乘方）。 2.解题方法技巧 因式拆分：将积拆分为系数、单独字母、多项式因式，分别乘方后再相乘。 避免漏乘：不要忽略系数的符号或单个因式。 【例题3】.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·重庆潼南·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·上海闵行·期末）计算：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津·月考）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】同底数幂的除法计算 1.核心知识点 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，公式为（，、为整数，）。 推广公式：（多个同底数幂相除）。 2.解题方法技巧 指数处理：指数相减时，多项式指数需加括号（如）。 特殊幂转化：结果出现负整数指数幂时，转化为正整数指数幂的倒数（如）。 【例题4】.（24-25九年级下·福建漳州·月考）计算 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)（是正整数）； (2)． 【培优高频题型】 【题型5】零指数幂与负整数指数幂的简单应用 1.核心知识点 零指数幂公式：（），任何非零数的零次幂都等于1。 负整数指数幂公式：（，为正整数）。 2.解题方法技巧 底数限制：先判断底数是否为零，排除无意义的情况（如需满足）。 直接计算：结合有理数运算，先算幂的部分，再进行加减乘除。 【例题5】.（20-21八年级上·全国·课后作业）当 时，． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算；（   ） A． B． C． D．4 【变式题5-2】.（24-25八年级下·吉林长春·月考）计算： 【变式题5-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）计算： (1)； (2)． 【题型6】逆用幂的法则求代数式的值 1.核心知识点 同底数幂乘法逆用公式：（，、为整数）。 幂的乘方逆用公式：（，、为整数）。 2.解题方法技巧 指数拆分：将待求代数式的指数拆分为已知条件的指数和或积（如已知、，求，拆分为）。 整体代入：先根据逆用法则转化代数式，再代入已知值计算，避免单独求字母的值。 【例题6】.（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）已知 ，，则 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河北保定·期末）已知． (1)求代数式的值． (2)求的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【题型7】科学记数法与负整数指数幂的结合 1.核心知识点 小于1的正数的科学记数法：（，为正整数）。 负整数指数幂公式：（，为正整数）。 2.解题方法技巧 确定的值：的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数。 还原与表示：科学记数法与小数互化时，根据指数的正负移动小数点。 【例题7】.（25-26七年级上·山西太原·期末）新疆天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，成为全球最长的高速公路隧道．隧道全长22.13公里，总投资约467亿元．数据“467亿元”用科学记数法表示为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西南昌·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的半径约为米．数据“”用科学记数法表示为 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，下列数轴上的四个点，能表示的点是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克．按我国14亿人口，每年365天，每人每天两餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约大米多少千克？如果把一年节约的大米卖掉，按5元/千克计算，那么可以卖得人民币多少元？（结果用科学记数法表示） 【压轴素养题型】 【题型8】幂的大小比较（逆用幂的乘方） 1.核心知识点 幂的乘方逆用公式：（，、为正整数）。 幂的大小比较规则：同指数时，底数越大幂越大；同底数时，指数越大幂越大（）。 2.解题方法技巧 同指数转化：将不同底数、不同指数的幂，逆用幂的乘方转化为同指数幂，比较底数大小（如比较、，转化为、，再比较底数与）。 中间量搭桥：当无法直接转化时，用1、0等中间量比较（如与，比较与）。 【例题8】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【变式题8-1】.（23-24八年级上·辽宁大连·期末）“数与式大小的比较”一直是数学体系中的一个重要的研究课题．七年级的时候对于数的大小比较，我们借助数轴获取了“数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大”进而得出“正数大于零大于一切负数”．本学期我们研究了代数式大小比较，通常可以考虑将两个代数式作差和0比较或者作商和1比较．更是通过灵活运用整式的乘除对于一些特殊的数与式进行了大小比较，例如：比较和的大小． 我们是这么做的“∵，∵∴∴”问题得以解决，请同学们完成下面3个小题： (1)试比较和的大小； (2)若，，试比较a，b的大小； (3)若，且，试比较与的大小． 【变式题8-2】.（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【题型9】跨学科应用 1.核心知识点 同底数幂的除法法则公式：（，、为整数，）。 倍数关系转化：“A是B的几倍”转化为的幂运算。 2.解题方法技巧 提取模型：从物理情境中提取“求一个量是另一个量的几倍”的模型，转化为同底数幂的除法（如声音强度瓦/米²是瓦/米²的倍）。 单位统一：确保运算前各量的单位一致，再应用幂的法则计算。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏南京·月考）某种液体每升含有个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死个此种有害细菌．现准备将该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？ 【变式题9-1】.（25-26七年级上·全国·假期作业）地球上的植物每年能生产克即大卡的有机物质，但实际上人类只能利用，即大卡，若每人每天消耗大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？ 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·假期作业）飞机每小时飞行千米，光的速度是每秒30万千米，求光的速度是飞机的多少倍？（用科学记数法表示） 【变式题9-3】.（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【题型10】新定义运算中的幂运算 1.核心知识点 幂的各种运算法则公式：、、等。 新定义运算的转化逻辑（如）。 2.解题方法技巧 吃透定义：根据题目给出的新运算规则，转化为熟悉的幂运算。 验证规律：探究新运算的性质（如结合律、交换律）时，通过举例或法则推导验证。 【例题10】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到 ．（用含、的代数式表示） 【变式题10-1】.（24-25七年级下·安徽安庆·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”． 例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【变式题10-3】.（24-25八年级上·吉林·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 易错点 1.法则混淆：误将同底数幂的乘法（）与幂的乘方（）混淆（如而非）。 2.符号错误：积的乘方中忽略系数的符号（如而非），或负数的奇次幂、偶次幂判断错误。 3.底数限制忽略：零指数幂（）或负整数指数幂（）中，未考虑底数的条件。 4.逆用不熟练：无法灵活运用、拆分或合并指数。 重点 1.掌握四种核心法则及公式：同底数幂的乘除（、）、幂的乘方（）、积的乘方（）的正用与逆用。 2.理解特殊幂的规定及公式：零指数幂（）、负整数指数幂（），掌握科学记数法（）与小数的互化。 3.熟练混合运算：遵循“先乘方，再乘除”的顺序，正确处理符号和底数的统一。 4.应用意识：能将生活情境、跨学科问题转化为幂运算模型，解决实际问题。 难点 1.法则的逆用：灵活运用、、拆分或合并指数，求代数式的值或比较幂的大小。 2.混合运算的准确性：多个法则综合应用时，避免运算顺序或符号错误，尤其是含多项式指数的情况。 3.情境转化能力：将新定义运算、跨学科（物理、单位换算）情境转化为熟悉的幂运算，提炼数学模型。 4.探究性问题：通过幂的运算推导字母之间的数量关系，需要较强的逻辑推理和方程思想。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，0.00000000034用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 5．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．已知，，则 ． 7． ． 8．计算：，其中，第一步运算的依据是 法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 9．若等式成立，则的值为 ． 10．已知，则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 12．已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 13．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 14．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 15．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $