专题02整式的乘法寒假预习闯关必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题02整式的乘法寒假预习闯关必备讲义 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，能熟练进行计算。 2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，会进行整式乘法运算。 3.能运用整式乘法解决简单的实际问题，体会代数运算的规律。 预习必备 知识点梳理 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 3.多项式乘多项式 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.单项式与单项式的乘法运算 2.单项式乘多项式 3.单项式乘多项式的实际应用 4.多项式乘多项式的乘法运算 5.多项式乘法在图形面积计算中的应用 6.(x+p).(x+q)型多项式的乘法法则 7.已知多项式乘积不含某项求字母的值 8.多项式乘法中的规律性问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.单项式乘单项式】 1.法则 系数与系数相乘，作为积的系数； 相同字母分别相乘，按照同底数幂的乘法法则计算； 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2例题： 计算 2x2y×3xy2 解：原式 = (2×3) × (x²×x) × (y×y²) = 6x³y³ 3.注意：运算结果要化为最简形式，系数是负数时要注意符号。 【知识点02.单项式乘多项式】 1.法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：a(b+c+d)=ab+ac+ad 2.依据：乘法分配律 3.例题： 计算 2x(x2+3x−1) 解：原式 = 2x・x² + 2x・3x - 2x・1 = 2x³ + 6x² - 2x 4.注意：不要漏乘多项式中的常数项，注意符号的正负。 【知识点03.多项式乘多项式】 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.例题： 计算 (x+2)(x+3) 解：原式 = x・x + x・3 + 2・x + 2・3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 3.注意 相乘时要按顺序，避免漏项； 合并同类项前，积的项数等于两个多项式项数的积； 注意符号的确定。 【知识点04.易错点警示】 1.混淆同底数幂乘法和幂的乘方法则，如把a2×a3算成a6，把(a2)3算成a5。 2.积的乘方漏乘因式，如(2xy)2算成2x2y2。 3.单项式乘多项式、多项式乘多项式时漏乘常数项或符号出错。 【题型1.单项式乘单项式的乘法运算】 【典例】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】先计算乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算，并检查合并同类项的可能性． 本题考查了积的乘方，乘法运算和混合运算，熟练掌握乘方运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂和积的乘方运算等知识，通过指数运算法则逐一验证各选项即可得出答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2.单项式乘单项式】 【典例】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式的法则，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 【题型3.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】一个长方形的长和宽分别是，则这个长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵面积=长×宽 ∴这个长方形的面积是 故选B． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了代数式的整体代入求值，熟练掌握将代数式变形为含已知条件的形式并进行整体代入是解题的关键． 先将已知条件变形得到的值，再把代数式转化为含的形式，整体代入求值． 【详解】解：由 ，得 ． ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练2】边长分别为和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的运算的应用，关键是用代数式表示出阴影部分的面积．根据已知图形得出阴影部分的面积是：求出即可． 【详解】解：边长分别为和a的两个正方形，阴影部分的面积是： ， 故选：A． 【题型4.多项式乘多项式的乘法运算】 【典例】若，则 、 、 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘法将原式展开，进而得出、、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，． 故答案为：，，． 【跟踪专练1】已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值．通过展开表达式，并利用已知条件和代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 又∵，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 【题型5.多项式乘法在图形面积计算中的应用】 【典例】有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为，宽为的长方形，则需要类卡片（   ） A．2张 B．3张 C．5张 D．6张 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据题意，长方形的面积等于所需卡片面积之和，由此即可求解． 【详解】解：拼成一个长为，宽为的长方形， ∴长方形的面积为 ， ∴需要类卡片5张， 故选：C ． 【跟踪专练1】如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是 （用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为：， 图2中，阴影部分的面积为： 大长方形的面积减去长是a宽是x的长方形的面积减去长是b宽是x的长方形的面积加上边长是x的正方形的面积， ∴图2中阴影部分的面积为：， ∴， 故选：D． 【题型6.(x+p).(x+q)型多项式乘法法则】 【典例】若，则k的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，解决本题的关键是正确求解等号左边表达式． 通过多项式乘以多项式法则展开左边表达式，再与右边多项式比较系数，即可求出k的值． 【详解】解：， ∵， 即 可得． 故答案为： 1． 【跟踪专练1】已知，则的值为 （    ） A． B．3 C． D．13 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，掌握乘法法则是关键；通过展开左边多项式，并比较等式两边对应项的系数，得到关于m和n的方程，求解后计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴对应系数相等， 即，， 由得：， 代入，得， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若，为正整数，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则的应用，利用多项式乘以多项式法则对等式左边进行变形，再根据多项式相等的条件确定出的最大值与最小值，再相减即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∵为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为，最小值为，其差为， 故答案为：． 【题型7.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若与的乘积中不含的一次项，则的值为（      ） A． B．7 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可． 【详解】解：， 与的乘积中不含的一次项， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】要使的结果中不含项，则为 . 【答案】 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 【详解】解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】.若的积中不含x的二次项和一次项，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是正确得出含x的二次项和一次项的系数． 展开多项式乘积，根据不含二次项和一次项的条件，令对应系数为零，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵积中不含的二次项和一次项， ∴，， 解得，． 故选：D． 【题型8.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行： ； 的系数行： ； 对于含项的系数是从左向右第个数，即； 故选：A． 【跟踪专练1】宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】64 【分析】本题考查了“贾宪三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“贾宪三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ••• 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“君子多项式”．当时，． ①多项式共有6个不同的“君子多项式”； ②多项式共有个不同的“君子多项式”； ③若多项式，则的所有系数之和为1； ④若多项式，则． 以上说法正确的有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果． 根据“君子多项式”的定义，交换多项式任意两项系数得到新多项式，逐项判断即可； 【详解】有个系数，设项系数位置为，，，（对应，，，），分别为交换任意两项的系数，交换的两项可为，，，，，，有6个君子多项式，正确； 有个系数， 把的个系数位置看成是一条直线上的个点，交换任意两项系数，相当于在这个点中任选两个点连一条线段， 从最左边第一个点出发，可以向右连到其余个点，有条线段， 从第二个点出发，可以向右连到其余个点，有条线段， 从第三个点出发，可以向右连到其余个点，有条线段， 从第个点出发，只能向右连到第个点，有条线段， 线段总数为， 多项式共有个不同的“君子多项式”，正确； 令，可得多项式的系数之和为，当为奇数时结果为，错误； ，令，；令，得；两式相加得， ，但说法中错误； 正确说法有2个． 故选． 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一分析各选项的运算即可． 【详解】解：A ．，原式计算错误，故此选项不符合题意； B．，原式计算正确，故此选项符合题意； C．，原式计算错误，故此选项不符合题意； D． 和不是同类项，不能合并，原式计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．把多项式因式分解得，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 先把展开成多项式，再根据多项式相等可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ∵多项式因式分解得， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 3．一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 4．如果的积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法，根据多项式乘法的法则，展开乘积后，令一次项的系数为零，即可求出的值． 【详解】解： 由于积中不含的一次项，则一次项的系数， 解得． 故答案为：． 5．如图，将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于、的恒等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式与图形面积，先分别求出图甲、乙中图形的面积，即可得到关系式，正确计算图形的面积是解题的关键． 【详解】解：图甲的面积可以表示为：，图乙的面积可以表示为：， ， ∵图甲的面积图乙的面积， ∴， 故选：． 6．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 7．已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键． 利用已知方程 得出 ，然后代入化简后的表达式中计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 8．已知，计算：，，． 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算： ．（为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，解题的关键是根据题目找出规律表示出一般形式．先观察给定的等式规律，猜想出一般形式，再令，求得的值，再将所求式子变形为，进而得解． 【详解】解：由给定的等式可知，对于任意正整数 ，有 ． 令，则有 ，即， ， ． 故答案为：． 9．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则与幂的运算法则是解题的关键． （1）先用同底数幂的乘法、幂的乘方和单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）将变形为，再将看作一个整体，利用单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 12．如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米；平方米． 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用． （1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可； （2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为平方米； （2）解： 平方米； 当时，原式（平方米）． 13．（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 14．定义，如．已知（为常数），． (1)若，求的值 (2)若的代数式中不含的一次项，求的值 (3)若的满足，且的值，求的值 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，即可求解； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：若，则 ， 即， 解得， 则的值为6； （2） ， 若的代数式中不含的一次项， 则， 解得， 即的值为2； （3）， ， 解得， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解法，求代数式的值，整式中不含项的意义，整式的乘法的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 15．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： (1)计算：________．（） (2)若（（，是常数），则________，________． (3)若（x，y是常数），则________，_______． (4)如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． (5)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)    (3)    (4) (5) 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； （2）解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； （3）解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； （4）由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； （5）解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02整式的乘法寒假预习闯关必备讲义 1 预习目标 1.理解同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质，能熟练进行计算。 2.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则，会进行整 式乘法运算。 3.能运用整式乘法解决简单的实际问题，体会代数运算的规律。 预习内容概览 预习必备 1.单项式乘单项式 2.单项式乘多项式 知识点梳理 3.多项式乘多项式 4.易错点警示 常考题型 1.单项式与单项式的乘法运算 2.单项式乘多项式 精讲精炼 3.单项式乘多项式的实际应用 4.多项式乘多项式的乘法运算 5.多项式乘法在图形面积计算中的 6.(+p).(x+q)型多项式的乘法法则 应用 7.己知多项式乘积不含某项求字母 8.多项式乘法中的规律性问题 的值 强化巩固 (15题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.单项式乘单项式】 1.法则 系数与系数相乘，作为积的系数； 相同字母分别相乘，按照同底数幂的乘法法则计算； 只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2例题： 计算2x2y×3xy2 试卷第1页，共3页 解：原式=(2×3)×(x2×x)×(y×y2)=6x3y 3.注意：运算结果要化为最简形式，系数是负数时要注意符号。 【知识点02.单项式乘多项式】 1.法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的 积相加。 字母表示：a(b+c+d)=ab+ac+ad 2.依据：乘法分配律 3.例题： 计算2x(x2+3x-1) 解：原式=2x·x2+2x·3x-2x·1=2x3+6x2-2x 4.注意：不要漏乘多项式中的常数项，注意符号的正负。 【知识点03.多项式乘多项式】 1.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项，再把所得的积相加。 字母表示：(a+b)(m+n)=amtan+bm+bn 2.例题： 计算(x+2)(x+3) 解：原式=x·x+x·3+2·x+2·3=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 3.注意 【知识点04.易错点警示】 1.混淆同底数幂乘法和幂的乘方法则，如把a2×a3算成as,把(a)3算成a5。 2.积的乘方漏乘因式，如(2xy)2算成2x2y2。 3.单项式乘多项式、多项式乘多项式时漏乘常数项或符号出错。 常考题型精讲精练 【题型1.单项式乘单项式的乘法运算】 【典例】计算(3x-xy的结果是() 试卷第1页，共3页 A. B.-4xy C.-4x6y2 D.x5y2 【到家专练】计第：(-2+y-一 【跟踪专练2】下列计算正确的是() A.2a'b.5ab=7ab B.a3.a4=a2 c.（-a2）'=-a D.ab.(-4a2b)'=16a'b 【题型2.单项式乘单项式】 【典例】计算：-a(-2a+b)=一 【跟踪专练1】已知a2+2a-1=0,则代数式2a(a+1-a2-3的值为() A.-3 B.-2 C.0 D.1 【跟踪专练2】己知mn2=-2,则mn-n-mn3+m2n）= 【题型3.单项式乘多项式的实际应用】 【典例】一个长方形的长和宽分别是3a,2a+1,则这个长方形的面积是() A.6a2+3 B.6a2+3a C.6a+3 D.62 【跟踪专练1】己知x(x-3)=4,则代数式2x2-6x-5的值为 【跟踪专练2】边长分别为2a和a的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部 分的面积为() 00 2a A.2a2 B.2a C.5a2-3a D.72a2 【题型4.多项式乘多项式的乘法运算】 【典例】若(x-1)(x+3)=ax2+bx+c,则a=」 、b= C= 【跟踪专练1】己知x-y=-2,xy=3,则(x+1(y-1)的值为() A.0 B.1 C.3 D.4 【跟踪专练2】若一个三角形的底边为(3a+2b),底边上的高为(9a2-6ab+4b2),则面积 试卷第1页，共3页 为」 【题型5.多项式乘法在图形面积计算中的应用】 【典例】有正方形和长方形卡片若干张（数据如图），拼成一个长为2m+3n,宽为m+n的 长方形，则需要C类卡片() A类 B类 C类 m m n m A.2张 B.3张 C.5张 D.6张 【跟踪专练1】如图，向阳小区内有一块长为2x+2y,宽为x+2y的长方形空地，小区管 理者计划在中间留一块长为2x,宽为x的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿 化，则绿化部分的面积是 (用含x,y的代数式表示) x+2y 2x 2x+2y 【跟踪专练2】通过计算比较图1、图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是() a x 图1 图2 A.a(b-x)=ab-ax B.b(a-x)=ab-bx C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx D.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2 【题型6.(x+p).(x+q)型多项式乘法法则】 【典例】若(x+3)(x-2)=x2+x-6,则k的值为 【跟踪专练1】已知(x+3)(x+m)=x2+nx-24,则m-n的值为() A.-3 B.3 C.-13 D.13 【跟踪专练2】若(x+p)(x+q)=x2+mx+36,p,9为正整数，则m的最大值与最小值的 试卷第1页，共3页 差为 【题型7.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若(x+m)与(c+7)的乘积中不含x的一次项，则m的值为() A.-7 B.7 C.0 D.1 【跟踪专练1】要使x2+axr+1(x-2)的结果中不含x2项，则a为 【跟踪专练2】.若(x-1)x2+mx+n的积中不含x的二次项和一次项，则m,n的值分别为 () A.2,-1 B.-2,1 C.-1,1 D.1,1 【题型8.多项式乘法中的规律性问题】 【典例】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二 项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三 角，计算(a+b)°的展开式中，含项的系数是() (a+b)0= (a+b)1= a+b (a+b)2= a2+2ab+b (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4= a4+4ab+6a2b2+4ab3+b4 6 A.15 B.10 C.9 D.6 【跟踪专练1】宋代数学家贾宪发明了“贾宪三角”，“贾宪三角”可以看作是对两数和平方公 式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： (a+b)=1 展开式系数和为1 (a+b)'=a+b 展开式系数和为1+1 (a+b)2=a2+2ab+b2 2 1 展开式系数和为1+2+1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3 3 展开式系数和为1+3+3+1 (a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b146 41 展开式系数和为1+4+6+4+1 根据上述规律，(a+b)°展开式的系数和是 【跟踪专练2】关于x的多项式：A,=a,x+an-x-+a,-2x-2+…+a2x2+ax+a。,其中n 为正整数，各项系数各不相同且均不为0.交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为 原多项式的“君子多项式”.当n=3时，A=ax3+a2x2+ax+a0 试卷第1页，共3页 ①多项式A共有6个不同的“君子多项式”； ②多项式A共有”+个不同的君子多项式， 2 ③若多项式An=(1-2x)”,则A,的所有系数之和为1： ④若多项式A4=(2x-1)4,则a4+a2+a=40. 以上说法正确的有()· A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5 强化巩固通关 1,下列运算正确的是() A.(-a23=a B.3a2.2a3=6a3 C.-a(-a+1=-a2+a D.a2+a=as 2.把多项式x2+5x+m因式分解得(x+n)(x-2),则m=,n= 3.一个多项式4xy-M因式分解得到的结果是4xyx2-y2+xy),则M表示的式子是」 4.如果(x-3)(2+x)的积中不含x的一次项，则m的值为 5.如图，将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得 到一个关于a、b的恒等式为() a-b b a 图甲 图乙 A.(a-b)a+(a-b)b=(a+b(a-b) B.a2-2ab+b2=(a+b)2 C.a2-2ab+b2=(a-b)2 D.a2-ab=a(a-b) 6.如图，三个边长分别为Q,b,C的正方形并排放置，记阴影部分的面积为S,则下列关 于S的说法正确的是() 试卷第1页，共3页 b A.S的值与a的取值无关 B.S的值与b的取值无关 C.S的值与c的取值无关 D.S的值与a,b,C的取值均有关 7.已知x2-x-3=0,则2(x-3)(x+2)的值等于() A.-2 B.-4 C.-6 D 8.已知x≠1，计算：(1+x)(1-x=1-x2,(1-x)1+x+x2)=1-x3, (1-x)1+x+x2+x3）=1-x4. 观察以上各式并猜想，根据你的猜想，计算：2+22+2+…+2=一·(n为正整数)· 9.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单 的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结 果为3036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2 中现有数据进行推断，错误的是() 小方格中的数据是由其 所对的两个数相乘得到 的，如：2=1×2 20▣ 4+9=13 满十进 a25▣ 0 图1 图2 A.“2”上边的数是8 B.“20”右边的口”表示4 C.运算结果可以是9225 D.“5”右边的“口”表示5 10.计算： ()a3.a3+a2°-3a2.2a5: 试卷第1页，共3页 (2(-2xy2)°+-3x2y）3: (3)-6m'n(x-y).mn2.(y-x)2. 11.先化简，再求值：x(x2+2x+1-(x+2)(x-5),其中x=-5. 12.如图，有一块长为(3a+2)米、宽为a-1米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积 不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园. 1米 米 1米 (1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）. (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当=3时增加的面积. 13.(1)若x2+nx+3x2-3x的结果中不含2项，求n的值； (2)试说明多项式xx2+x-3-x2(x-1)-2(x-1)(2x+1+x(2x+1)的值与x的取值无关. 14.定义cd a b |2x+11 x-12x (n为常数)， 2 (1)若B=4,求的值 (2)若A的代数式中不含x的一次项，求的值 (3)若A的n满足2×21=22，且A=2+B的值，求8x2+2x的值 15.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例.如果将 (a+b)”(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： (a+b)°=1，它只有一项，系数为1： (a+b)=a+b,它有两项，系数分别为1,1： (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1： 试卷第1页，共3页 (a+b)3=a3+3ab+3ab2+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1；… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： …(a+b0 …(ab) …(a+b)月 …(a+b (1)计算：(a+b)°=·(a+b≠0) (2)若(a+b)4=a4+ma3b+na2b2+4ab3+b4(m,n是常数)，则m= (3)若(a+b)5=a3+xab+10a3b2+ya2b3+5ab+b3(x,y是常数)，则x=,y= (4)如果把(a+b)’的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是 (⑤)直接写出式子5-5×74×5+10×7×52+10×7×(-125)+5×7×(-5)-5的值. 试卷第1页，共3页