精品解析：湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

黄梅县育才高级中学2026年1月月考高二数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，在堑堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体的三视图如下，每个小格表示一个单位，则该几何体的侧面积为（ ） A B. C. D. 4. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 三条不重合的直线及三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C 若，则 D. 若，则 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）的模 (表示向量､的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（ ） A. 与方向相反 B. C. 与正方体表面积数值相等 D. 与正方体体积的数值相等 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为2 D. 已知，且，则的最大值是 11. 如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ） A. PQ的长度为定值 B. 三棱锥的外接球的半径长为定值 C. 三棱锥体积为定值 D. 点M到AB的距离为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为______. 13. 用区间表示下列集合： （1）=______； （2）=______； （3）=______； （4）或=______； （5）且=______． 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点（点在第一象限），与准线交于点，，则______；若点是的内心，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 16. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 17. 盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． （1）求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； （2）设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．. 求证： （1）平面； （2）平面平面； （3）求四棱锥的体积． 19. 已知函数的定义域为，且在定义域内连续且可导，设为的导函数，若存在，，使得，则称为“中值函数”． （1）写出一组使得为“中值函数”的，的值； （2）判断是否存在非零实数，使得为“中值函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）证明：为“中值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅县育才高级中学2026年1月月考高二数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出直线的斜率，再求出直线的倾斜角． 【详解】直线方程为， 则直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为． 故选：． 2. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，在堑堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，先求出的夹角，在直角三角形中，得出点到直线的距离. 【详解】解：根据堑堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，， 所以， 所以， 设点到直线的距离为， 所以，解得. 故选：B. 3. 一个几何体的三视图如下，每个小格表示一个单位，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得出几何体为圆台，根据图中数据利用侧面积公式求解. 【详解】由三视图可知该几何体为圆台，上下底面半径分别为和，高为； 其母线长为， 由圆台的侧面积公式得． 故选：B． 4. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘除运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 所以， 所以， 故选：B 5. 三条不重合的直线及三个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面、直线间的位置关系判断． 【详解】A．若，则或或是不垂直的相交，A错； B．若，则或相交，B错； C．若，则或或是不垂直的相交，C错； D．，则，又，因此有， D正确． 故选：D． 6. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的范围求出，然后根据和差倍角的余弦公式求出结果. 【详解】由题意可知，，， 所以． 故选：C. 7. 已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为，过点的直线与C的一个交点P位于第四象限，若为等腰三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用几何性质可知，根据，，求得，利用椭圆定义求出，即可求解离心率. 【详解】记椭圆的右焦点为，连接，如下图所示： 因为直线的斜率为，所以， 因为为等腰三角形，所以，所以， 直线中，令得，所以， 在中，，， 则， 由椭圆定义可知，，， 所以C的离心率为. 故选：C 8. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角. 【详解】 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为1， 则，1，，，0，，，1，，，0，， ，，，，，， 设异面直线与所成的角为， 则， . 异面直线与所成的角为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于建立空间直角坐标系后，利用向量的成绩公式计算异面直线的角，本题难度属于中档题 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1），，且､和构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）的模 (表示向量､的夹角).如图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有（ ） A. 与方向相反 B. C. 与正方体表面积的数值相等 D. 与正方体体积的数值相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可 【详解】A选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错， B选项，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反， 不可能相等，故B错， C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形的面积为，则与正方体表面积的数值相等，故C对， D选项，与的方向相反，则，故D错， 故选：ABD. 10. 下列选项中正确的是（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则的最大值为 C. 若，则的最小值为2 D. 已知，且，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD；根据基本不等式取等号的条件可判断C. 【详解】对A，当时，，当且仅当，即时等号成立，正确； 对B，若，则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，正确； 对C，，因为，即无实数解， 所以等号不成立，所以的最小值不是2，错误； 对D，因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，正确. 故选：ABD 11. 如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ） A. PQ的长度为定值 B. 三棱锥外接球的半径长为定值 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点M到AB的距离为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，进而判断A，B； 根据，进而判断C； 设交于R，则R为CQ的中点，取AB的中点N，然后证明四边形RBNM是平行四边形，进而证明，最后求得答案. 【详解】如图，将图形还原为长方体， 因为，所以（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即，易知，则.A正确； 对B，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B正确； 对C， ，不定值.C错误； 对D，设交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因为M为PQ的中点，所以，而，故，所以四边形RBNM是平行四边形，则，因为，则. 因为AB⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，则，所以点M到AB的距离为1.D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四面体的四个顶点均在球的球面上，，，，若，则球体积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将四面体放置在长方体中，设长方体的3条棱长分别为，，，则球的半径为，将平方，利用基本不等式求得，进而，代入球的体积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以可以将四面体补成一个长方体， 使得四面体的6条棱为长方体的6条面对角线， 设长方体过同一顶点的3条棱长分别为，，，球的半径为， 则，由， 得， 因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因为， 所以，当且仅当时取等号，即，所以， 则球的体积为，所以球体积的最小值为. 故答案为： 13. 用区间表示下列集合： （1）=______； （2）=______； （3）=______； （4）或=______； （5）且=______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. 【解析】 【分析】（1）根据开区间的定义写出结论； （2）根据左开右闭区间的定义写出结论； （3）根据闭区间的定义写出结论； （4）根据区间的定义结合并集运算写出结论； （5）根据区间的定义结合集合运算写出结论． 【详解】（1）=； （2）=； （3）=； （4）或=； （5）且=． 故答案： ；；；；． 14. 设抛物线的焦点为，准线为，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点（点在第一象限），与准线交于点，，则______；若点是的内心，则______. 【答案】 ①. -60 ②. 【解析】 【分析】①首先求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程组得到一个等式，可求出点的坐标，联立直线与准线方程组，可求出点的坐标，然后根据的值求出，从而可求出向量的数量积；②首先求出直线的方程，然后根据内心性质和点到直线的距离公式求出的坐标，进而可求出. 【详解】①因为焦点，所以设直线方程为：. 联立直线与抛物线方程组为. 化简得：. 所以解得或. 因为点在第一象限，所以. 因为抛物线的准线方程为，所以点. 所以，所以，解得. 所以，所以. ②由①知，则，因为是的内心， 所以设，其中，是三角形内切圆半径. 直线方程为，即：； 直线的方程为，即：. 所以，根据内心性质可知，所以. 即：. 所以根据点到直线的距离公式可得：. 解得. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，值； （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质利用和分别计算和的值； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证明的单调性； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式可得结果. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由解得，所以， 此时的定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 16. 已知圆. （1）求的范围，并证明圆过定点； （2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标. （2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解. 【小问1详解】 由圆，得，，， 所以的范围为； ，由，得， 所以圆过定点. 【小问2详解】 以弦为直径的圆过原点，则，， 设点，，则，， 即， 由，消去整理得：， ，，， 于是，解得，满足， 所以的值为． 17. 盒子中有4个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从盒子中有放回地随机两次摸出小球，每次摸出一个小球． （1）求两次摸到的小球数字之和为偶数的概率； （2）设事件“两次摸到的小球数字之和是质数”，事件“第1次摸到的小球数字为奇数”，事件“第2次摸到的小球数字为奇数”，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：利用列举法，列出从盒中有放回依次随机摸出两个小球，再找出两次摸到的小球数字之和为偶数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，解法二：根据分步乘法原理和分类加法原理结合古典概型的概率公式求解； （2）解法一：列举出事件的所有情况，再利用古典概型的概率公式求出，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式求解；解法二：列举出，，，从而可列举出，再利用古典概型的概率公式求解. 【小问1详解】 解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是 ， 所以，共有16个样本点． 记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”， 则， 所以，共有8个样本点． 因为样本空间的每个样本点具有等可能性， 所以， 即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为． 解法二：记事件“两次摸到的小球数字之和为偶数”． 每一次从盒中摸出小球，小球的数字都有概率相同的4种可能， 故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有种可能， 1，2，3，4中共有2个偶数和2个奇数， 事件发生有种可能（2次都摸到偶数和2次都摸到奇数）， 因为上述各种情况发生的可能性都相同，所以． 【小问2详解】 解法一：因为，则， ， ， 所以，则， 因为事件不会同时发生，所以两两互斥， 所以， 又因为， 所以 即可得． 解法二：因为， ， ， ， ， 可以得到， ， ， 所以， 共有8个样本点， 即． 18. 如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．. 求证： （1）平面； （2）平面平面； （3）求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)三角形中位线定理可得，结合线面平行的判定定理得证. (2)推导出，，从而面，由此能证明平面平面. (3)直接由已知条件，结合棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 是的中点，是的中点，， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 底面，， 又，且，平面， 而平面，平面平面 【小问3详解】 面，，，是正方形，面积 棱锥体积． 19. 已知函数的定义域为，且在定义域内连续且可导，设为的导函数，若存在，，使得，则称为“中值函数”． （1）写出一组使得为“中值函数”的，的值； （2）判断是否存在非零实数，使得为“中值函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）证明：为“中值函数”． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义，选择合适的，； （2）按照新定义对等式进行变形，构造函数，利用导数解决问题； （3）对得到的等式进行合理变形，利用换元，构造函数，再用导数法进行证明． 【小问1详解】 为偶函数，且对称轴为直线． 所以当时，，， 所以可以取，． 【小问2详解】 ，假设为“中值函数”， 即存在，，使得， 整理得，． 设，则， 设， 则， 所以在上单调递增， 又，所以有唯一解，与已知矛盾． 所以不存在非零实数，使得为“中值函数”． 【小问3详解】 根据题意得，． 不妨设，使得为“中值函数”． 因为， ， 所以， 整理得， 即， 即． 即， 即有解， 设，， 即有解． 设，， 则，， 设， 则， 知在上单调递增， ，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为，且当时，， 所以存在，使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，且当时，， 所以存在，使得， 所以在区间上有解， 即有解， 所以为“中值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $