精品解析：新疆百师联盟2026届高三上学期1月学科能力质量测评数学试题

2026届高三1月学科能力质量测评 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，，则（ ） A. 5 B. C. 10 D. 5 3. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 5. 在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，是正三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 7. 已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最小时， 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的有（ ） A. 圆关于直线不对称 B. 圆心到直线的距离的最小值为 C. 当时，直线与圆相切 D. 存在使得圆上有三个点到直线的距离为1 11. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 不可能为直角 C. 面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 13. 在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 14. 在平行六面体中，．若，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三1月学科能力质量测评 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解两个集合，根据交集运算可求答案. 【详解】， ， 所以. 故选：C 2. 已知为虚数单位，，则（ ） A. 5 B. C. 10 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，利用模长公式可求答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D 3. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求解不等式即可. 【详解】因为表示双曲线，所以，解得或， 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（ ） A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 5. 在中，内角所对的边分别是．若，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出，然后根据向量的数量积定义求出，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据正弦定理得，化简得. 根据余弦定理知，，所以. 因为，所以. 因为，所以，解得， 所以的面积为. 故选：D. 6. 函数的部分图象如图所示，是正三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象和正三角形的性质求出函数的表达式，再利用函数的周期性求出的值. 【详解】是图象的最高点，所以的纵坐标为，又是正三角形，可得，. 又，，， ，则， ，又，， . ， 又的周期为4， . 故选：B 7. 已知，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一点，点在轴上，满足.若，则椭圆的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义及角平分线的性质求得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】∵点在椭圆上，∴. 由知，直线平分，所以与共线， ∵，∴存在实数，使得， 整理得，∵不共线， ∴，解得，∴，. 在中，由余弦定理得. ∵，∴.化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 8. 已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简得到，利用导数求得是增函数，且是奇函数，把不等式转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，得到，利用导数求得的单调性和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 当最小时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和性质求解. 正项等比数列的公比为，前项的积为,将改写成，，利用等比数列的性质得到，从而求出，由的值求出，利用等比数列通项公式求出，， ，，当时，，通过分析得到最小时，或. 【详解】正项等比数列的公比为，前项的积为, ，， ， ，，，故选项A正确； ，，，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ，，，， 当时，， ，，， 当最小时，或，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知圆，直线，则下列结论正确的有（ ） A. 圆关于直线不对称 B. 圆心到直线的距离的最小值为 C. 当时，直线与圆相切 D. 存在使得圆上有三个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，求出圆心和半径，若圆关于直线对称，则圆心在直线上，将圆心代入直线求解即可得到结论；对于选项B，求出圆心到直线的距离为，利用求出；对于选项C，若直线与圆相切，则，计算得解；对于选项D，假设存在使得圆上有三个点到直线的距离为1，由得到，通过计算得到. 【详解】对于选项A，圆的圆心为，半径， 若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将圆心代入直线，得到， 解得，此方程无解，所以圆关于直线不对称，故选项A正确； 对于选项B，圆心到直线的距离为， ，，，，故选项B错误； 对于选项C，若直线与圆相切，则， 即，解得，则当时，直线与圆相切，故选项C正确； 对于选项D，假设存在使得圆上有三个点到直线的距离为1， 意味着与直线平行且距离为的两条直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， 设圆心到直线的距离为，半径，则且， 解得，，，， 存在使得圆上有三个点到直线的距离为1，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的有（ ） A. 直线的斜率为 B. 不可能为直角 C. 面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立直线与椭圆方程，求出的坐标，进而求出直线的斜率；对于B，假设为直角，则直线的斜率可求得，结合直线的方程可求得的坐标，进而代入椭圆中进行检验；对于C，先根据三角形面积公式列出面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最大值；对于D，根据椭圆的定义可得到，进而可利用基本不等式的性质求出最小值. 【详解】由题意可知，. 联立直线与椭圆方程，可得， 所以，解得. 设，所以. 因为轴，所以， 所以，A正确； 所以直线的方程为，即， 设，若为直角，则. 则有，化简得， 所以，将其代入椭圆方程中得 . . 化简得，解得，又， 所以不可能是直角，B正确； 由图可知， . 根据基本不等式的性质得， 所以，C错误； 设椭圆的右焦点为，则根据椭圆的对称性可知，， 由椭圆的定义得，所以. 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算内层函数值，再将结果作为自变量代入函数计算外层函数值. 【详解】， ，. 故答案为：3 13. 在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 14. 在平行六面体中，．若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用空间向量的运算表示出，根据长度和角求出，再利用向量模长公式可求答案. 【详解】在平行六面体中， 因为， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 整理可得，解得或（舍）. . 所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面内三点，，. （1）若直线经过点且与线段有交点，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且与，轴的正半轴分别交于， 两点，求的最小值及此时的方程. 【答案】（1） （2）12， 【解析】 【分析】（1）求出直线，AC的斜率，然后利用数形结合求解直线的斜率范围； （2）由题意直线的方程为，求出， 两点坐标，则，然后利用基本不等式求解最小值及直线的方程. 【小问1详解】 因为，，， 所以直线，AC的斜率分别为，. 因为直线经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足， 即，即直线的斜率的取值范围是. 【小问2详解】 由题意，得直线的斜率存在，设为，则. 因为直线过点，所以直线的方程为. 令，解得；令，解得，则，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. 此时直线的方程为. 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知一动圆的圆心为，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切. （1）求该动圆圆心的轨迹方程； （2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若的面积是的面积的两倍，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，，进而根据椭圆的定义可得； （2）由题意设直线的方程为，则，联立椭圆方程可得，进而可得，，由，进而可得. 【小问1详解】 设动圆的半径为. 由题意，圆与圆的标准方程分别为和， 故，半径，，半径， 由题意得，， 故， 由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆. ，，故， 故圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线即椭圆. 由题意，点，是椭圆的左、右顶点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且， 直线的方程为，则 设， 由消去，整理得. 由题意得，故， 故， 又点到直线的距离， 故 又， 由题意，化简得， 解得或 当时，，则； 当时，，则. 综上，的值为或. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断函数的单调性； （3）讨论函数的零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数，求出得斜率，点斜式可求切线方程； （2）先求导数，从1分段讨论导数的符号，得出单调性； （3）令，求解根的情况，需讨论的单调性，判断其零点个数. 【小问1详解】 当时，，， ，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 定义域为，， 整理得， 当时，，因为，所以， 所以，为增函数. 当时，，因为，所以， 所以，为减函数. 综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数. 【小问3详解】 设，由得或； 当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点； 当时，，时，，为增函数， 时，，为减函数，的最大值为； 若，的最大值为，此时仅有一个零点； 若，则，且趋近于时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 若，则，且趋近于0时，趋近于， 故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点； 综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点. 19. 我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 . （1）若矩阵 ，计算 和 . （2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：. （3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义. 写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩阵乘法的定义计算即可. （2）根据矩阵乘法的定义和已知条件证明即可. （3）根据矩阵乘法的定义列出，然后得到等式，结合已知条件得出数列 是首项和公比均为 的等比数列 ，数列 是首项和公比均为 的等比数列，然后根据等比数列的通项公式求出结果即可. 【小问1详解】 解：，， 由矩阵乘法的定义，得 ； . 【小问2详解】 证明：， 由矩阵乘法的定义，得 ； ∵，∴， 化简得 . ∵，∴，即 . 【小问3详解】 解：，， ∴ ①， ② ，① ②，得 . ∵，∴，∴ ， ∴，∴ 数列 是首项和公比均为 的等比数列 . 同理，数列 是首项和公比均为 的等比数列. ∴，. 解得 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $