精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三第一次模拟考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 3. 已知命题或，则命题的否定为（ ） A. 或 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，因为命题或是存在量词命题，所以命题的否定为且. 故选：D. 4. 下面四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为R，定义域不相同，故A错误； 对于B，因为和的对应关系不一致，故B错误； 对于C，因为和的定义域都为R，且，，对应关系一致，故C正确； 对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故D错误； 故选：C． 5. 已知，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果. 【详解】由题意可知， 当且仅当时，等号成立； 即. 故选：A 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 9 B. 18 C. D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是18， 故选:B. 7. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，利用奇函数及周期性求，的函数值，即可求目标式的值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，又在上的周期为2， ∴，， ∴. 故选：D. 8. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案. 【详解】解：如图， 可得圆心也是抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长， 由可得，. 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选：. 【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的定义域是 C. 是偶函数 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式. 【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即， ，故A正确；函数的定义域是，故B不正确； ，所以函数是偶函数，故C正确； 函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在上单调 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数，根据求出最小正周期判断A；利用余弦函数的对称轴方程和对称中心可判断BC；由余弦函数的单调性可判断D. 【详解】， 对于A：的最小正周期为，错误； 对于B：令可得， 所以的图象关于直线对称，正确； 对于C：令可得，且， 所以的图象关于点对称，正确； 对于D：因为，所以， 由在上单调递增，上单调递减可知， 在上单调递增，在单调递减，错误； 故选：BC. 11. 已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（ ） A. B. C. 当不共线时，的周长为 D. 设点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设，结合两点间距离公式和点在椭圆上可化简求得D正确. 【详解】 对于A，由题意知：，，，，A错误； 对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确； 对于C，， 的周长为，C正确； 对于D，作垂直于直线，垂足为， 设，则， ，， ，，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 圆与圆的公共弦长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出公共弦的方程利用勾股定理即可求得. 【详解】由已知圆与圆公共弦所在直线方程为 因为圆圆心为，半径 所以 弦长为 故答案为： 13. 已知，若复数为纯虚数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念，实部为零且虚部不为零，解出即可 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得 故答案为： 14. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出基本事件总数，再求出所有卡片上的数字之和，得到抽出的3张卡片上的数字之和应为，列举出和为的3张卡片即可求解. 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为， 因为， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 0 1 2 3 ，无关 （2）的分布列如下表，【解析】 【分析】（1）补充完表格计算卡方，然后判断是否大于等于6.635； （2）服从超几何分布，根据超几何分布概率公式计算即可. 【小问1详解】 男居民人数人，女居民人数人， 设看过《庆余年2》的人数为，没看过《庆余年2》的人数为， 则， 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 400 500 900 没看过《庆余年2》 50 50 100 总计 450 550 1000 提出假设：是否观看过《庆余年2》与性别无关， ， 所以根据小概率值，可以认为是否观看过《庆余年2》与性别无关. 【小问2详解】 由（1）可知，在看过《庆余年2》的人中随机抽取9人中，男性居民有4人，女性居民有5人，服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列如下表 0 1 2 3 . 16. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求及； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理代入计算，即可得到； （2）根据题意，由条件可得，结合和差角公式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，即， 即，解得或（舍）. 【小问2详解】 由（1）知，且为锐角，所以. 所以 . 17. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【小问1详解】 由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． 【小问2详解】 因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 18. 如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由已知得，，， ，， ，， ， 又，且，平面， 平面， 又平面， ， 在正三角形中，为的中点，则， 又，且，平面 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理证明线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直； （2）利用坐标法求线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，取的中点为，的中点为， 由（1）得三棱柱的侧面与底面垂直，从而，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则. 19. 记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 【答案】（1） （2） （ⅰ），, 而，故， 而，，所以 所以为等比数列且公比为2，首项为. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用基本量法求得公差为4，从而可求的通项公式. （2）根据（1）求出，判断其符号后可得取最大值时的值. 【小问1详解】 设的公差为，则， 所以即，而，故， 故. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可得，所以， 故当时，，当时，， 故， 故取最大值时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三第一次模拟考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3. 已知命题或，则命题的否定为（ ） A. 或 B. 且 C. 且 D. 且 4. 下面四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 9 B. 18 C. D. 27 7. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. -2 8. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的定义域是 C. 是偶函数 D. 不等式的解集是 10. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 是图象的一个对称中心 D. 在上单调 11. 已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（ ） A. B. C. 当不共线时，的周长为 D. 设点到直线的距离为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12. 圆与圆的公共弦长为____________. 13. 已知，若复数为纯虚数，则______． 14. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为9：11，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人． （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？ 男性居民 女性居民 总计 看过《庆余年2》 没看过《庆余年2》 50 总计 1000 （2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． a 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求及； （2）求. 17. 已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ （1）求E的离心率； （2）M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 18. 如图， 在三棱柱中，为等边三角形，四边形是矩形，，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 记数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足： ，，， （ⅰ）求证：为等比数列； （ⅱ）求取最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $