精品解析：贵州省毕节市黔西市2025-2026学年高二上学期教学质量监测试卷数学试题

教学质量监测试卷 高二数学 注意事项： 1．全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，交回答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是不共线向量，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知是两个正数，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 5. 下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测 ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查 ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质 ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A. ②③④ B. ②③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ③⑤⑥ 6. 已知都是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 单调递减区间为 C. 一个对称中心为点 D. 把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象 10. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为4 B. 与所成角的正弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 11. 已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 线段的长为 C. 的面积为 D. 椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，且当时，则_____． 13. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 14. 设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解学校食堂对学生的服务情况，随机访问了50名学生，并根据这50名学生对学校食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若该校有学生3000人，请估计该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数； （3）从评分在的受访学生中随机抽取2人，求此2人评分来自不同组的概率． 16. 已知圆和直线． （1）若直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，求的值； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的直线方程． 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，． （1）证明：平面底面； （2）设，求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若是线段上的一点，且满足，求的面积． 19. 阅读材料：椭圆的第三定义 （一）椭圆第三定义与几何性质探究 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴的两个端点分别为和．若是椭圆上异于端点，的任意一点，则，这一性质称为椭圆的第三定义（斜率积定义）． （二）已知平面内两个定点，，动点满足，其中，分别表示直线，的斜率． （1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设直线与轨迹交于，两点（，都不是点B），且以为直径的圆过点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 教学质量监测试卷 高二数学 注意事项： 1．全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，交回答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式化简两个集合，再根据交集的概念运算. 【详解】，即，得，即， ，即，得或，即或， 则. 故选：B 2. 已知为虚数单位，为复数的共轭复数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数除法运算求出即可由共轭复数定义得解. 【详解】由题， 所以. 故选：C 3. 已知是不共线向量，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】求出即可得解. 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 故选：C 4. 已知是两个正数，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于是两个正数，故， 当且仅当，即时取到等号， 故选：A 5. 下面情况中，更适合用抽样调查的有（ ） ①某学校全体学生体质健康检测 ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查 ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质 ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A. ②③④ B. ②③⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ③⑤⑥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可. 【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查； ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查； ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查； ④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查； ⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查； ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查. 故选：D. 6. 已知都是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平方和求出，再由商数关系和两角差正切公式即可计算求解. 【详解】因为都是锐角，且， 所以， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线距离d、半径r以及题设要求得到等量关系，解该方程即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线即的距离为， 若要圆上有3个点到直线的距离为，则即，解得. 故选：D 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先说明的单调性，再结合可解不等式. 【详解】的定义域为， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，所以等价于，则， 得， 故不等式的解集为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期 B. 单调递减区间为 C. 一个对称中心为点 D. 把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】由周期公式即可求解判断A；解不等式即可求解判断B；计算即可判断C；由周期变换求解解析式即可判断D. 【详解】函数， 所以函数最小正周期为，故A正确； 令，解得， 所以函数单调递减区间为，故B正确； 因为，所以函数的一个对称中心为点，故C正确； 把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的函数为，故D错误. 故选：ABC 10. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱的体积为4 B. 与所成角的正弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据长度不确定即可判断A，建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，进而可求解法向量，根据向量的夹角公式，即可判断BCD. 【详解】对于A,由于没有给长度，所以三棱柱的体积无法确定，A错误， 建立空间直角坐标系如图：设, 则, ， 对于B，设与所成角为，则， 故，B正确， 对于C, 平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则，则，C正确， 对于D,设平面的一个法向量为，, 则令，则，而平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则，故D正确， 故选：BCD 11. 已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 线段的长为 C. 的面积为 D. 椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求解判断A；求出直线的方程并与椭圆方程联立求出弦长及三角形面积判断BC；求出平行于直线且与椭圆相切的直线方程，再求出它们间的距离判断D. 【详解】椭圆的长半轴长，焦点，直线的方程为， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，由消去得，设， 则，，B错误； 对于C，点到直线的距离，，C正确； 对于D，设平行于直线且与椭圆相切的直线方程为，由， 得，由，解得， 直线与直线的距离为，直线与直线的距离为， 因此椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为奇函数，且当时，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，把函数的值代入计算即可. 【详解】因为 是奇函数，所以， 当 时，，代入 则，所以， 故答案为：. 13. 一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 14. 设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可. 【详解】如图： 由题意，点关于点的对称点是，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以，即， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又，所以， 则，即，得，所以离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解学校食堂对学生的服务情况，随机访问了50名学生，并根据这50名学生对学校食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若该校有学生3000人，请估计该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数； （3）从评分在的受访学生中随机抽取2人，求此2人评分来自不同组的概率． 【答案】（1）0.008； （2）1140； （3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为求出. （2）利用频率分布直方图求出50名受访学生评分不低于80的频率，进而估计出人数. （3）受访学生评分在的有4人，记为，受访学生评分在的有2 人，记为，列出从这4人中选出2人所有基本事件，即可求相应的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 所以. 【小问2详解】 由频率分布直方图，得50名受访学生评分不低于80的频率为， 所以该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数估计为. 【小问3详解】 受访学生评分在的有人，设为， 受访学生评分在的有人，设为， 从这6名受访学生中随机抽取2人，不同结果共有：， ，共15种， 此2人评分来自不同组的结果有，共8种， 所以所求的概率为. 16. 已知圆和直线． （1）若直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，求的值； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的直线方程． 【答案】（1）； （2）最短弦长为；直线方程为. 【解析】 【分析】(1)分析直线不过原点，由题意得到且，求出两截距建立等量关系即可求解； (2)先求出直线所过定点得到圆心到直线最大距离，进而可求出最短弦长和直线的斜率，从而求出直线方程. 【小问1详解】 若直线过原点，则有，不成立， 所以直线不过原点， 又因为直线在轴上的截距和在轴上的截距相等， 所以且，令，， 则. 【小问2详解】 直线即， 所以直线过定点，且，即该点在圆内， 圆C的圆心为，半径为， 所以圆心到直线距离最大为. 直线被圆截得的弦长最短时，圆心到直线距离最大， 此时得到最短弦长为，此时直线斜率为， 所以此时直线方程为即. 17. 如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，． （1）证明：平面底面； （2）设，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，平面，即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 由于平面底面，且两平面的交线为, , 平面，故平面，平面， 故, 同理：平面底面，可得平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故平面底面. 【小问2详解】 由（1）知：两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则, 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则令，则， 则令，则， 设平面与平面的夹角为，则， 故 18. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若是线段上的一点，且满足，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解即可； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由数量积的运算律求得，进而代入三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以，即， 所以，又，故. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以，化简得，解得或（舍去）， 故. 19. 阅读材料：椭圆的第三定义 （一）椭圆第三定义与几何性质探究 在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴的两个端点分别为和．若是椭圆上异于端点，的任意一点，则，这一性质称为椭圆的第三定义（斜率积定义）． （二）已知平面内两个定点，，动点满足，其中，分别表示直线，的斜率． （1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设直线与轨迹交于，两点（，都不是点B），且以为直径的圆过点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）在（2）的条件下，求面积的取值范围． 【答案】（1），答案见解析； （2）证明见解析，； （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点斜率公式得，再化简即可； （2）联立直线椭圆方程得到韦达定理式，再计算的表达式，代入韦达定理式化简即可得到关系式，则得到所过定点坐标； （3）利用三角形面积公式得的表达式，再结合换元法、二次函数的性质计算值域即可. 【小问1详解】 由题意可知，整理得， 所以P的轨迹是以为左右顶点，以为上下顶点的椭圆， 但不含两点； 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 将直线方程与椭圆方程联立得， 所以，即， 又， 整理得， 所以或，即或， 则该直线过定点，其中与B重合，舍去， 该点在椭圆内部，满足直线与椭圆有两个交点，符合题意； 【小问3详解】 由上可知，， ， 令，则上式化为，令 整理得， 设，则 由二次函数的单调性可知，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $