精品解析：四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高一上学期1月学业质量监测数学试题

成都市立格实验学校2025-2026学年度 高2025级高一上期1月学业质量监测 数学试题 命题人：唐志金 审题人：高一数学组 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一．单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每个题目只有一个正确选项. 1. 将角度化为弧度，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，则（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 3. 已知，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，与图象相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 点是直径为的圆上任意一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. “”是“函数是奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 二．多选题：共3小题，每小题6分，共18分.每个题目有多个正确选项，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ） A. B. C. D. 10. 下列不等关系成立的有（ ） A. B. C. （） D. （且） 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是减函数 C. 的图象关于对称 D. 集合所表示图形的面积是 三．填空题：共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分. 12. 函数，的值域是___________. 13. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余质量约是原来的.当该物质的剩余质量是原来的时，经过了约___________年.（参考数据：，，结果精确到） 14. 已知函数，方程有四个不等实根，且，则的取值范围是___________；___________. 四．解答题：共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知. （1）求，的值； （2）当是锐角时，一个扇形的圆心角为，半径，求该扇形的弧长和面积. 17. 已知幂函数的图象关于原点对称． （1）求函数的解析式； （2） （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围． 18. 受不可抗力因素影响，某公司的一款产品在年月份的最后7天无法进行销售．在此之前，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）求函数的解析式； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2025年12月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （3）在（2）的基础上，求出该公司在年月份第1天到第天中，该产品日销售收入（单位：千元）的最小值． 19. 已知函数是函数（，且）的反函数. （1）求函数的图象所过定点的坐标； （2）当时，， （i）直接指出函数的奇偶性和单调性（不证明），并解不等式； （ii）证明：方程在有唯一实根，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市立格实验学校2025-2026学年度 高2025级高一上期1月学业质量监测 数学试题 命题人：唐志金 审题人：高一数学组 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一．单选题：共8小题，每小题5分，共40分.每个题目只有一个正确选项. 1. 将角度化为弧度，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角度化弧度公式计算可得结果. 【详解】易知, 故选：B 2. 已知命题：，则（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结果. 【详解】易知命题：的否定为：. 故选：A 3. 已知，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据阴影部分元素特征可得结果. 【详解】易知阴影部分元素满足且， 因为，所以阴影部分可表示为. 故选：C 4. 下列函数中，与图象相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析选项中各函数的定义域,值域，对应关系等，即可判断结果. 【详解】易知函数定义域为,值域为， 对于A，显然函数的定义域为，定义域不同，即A错误； 对于B，易知，其值域为，值域不同，所以B错误； 对于C，易知的定义域为，定义域不同，即C错误； 对于D，，定义域为,值域为，对应关系完全相同，图象相同，即D正确. 故选：D 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再结合韦达定理求出，进而求解． 【详解】一元二次不等式的解集为， 的两个根为和， 由韦达定理得，，故C正确． 故选：C． 6. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】，令，则， 原函数化为，函数开口向上，对称轴为，， 在对称轴处取得最小值，最小值为, 所以的最小值为1． 故选：D． 7. 点是直径为的圆上任意一点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的几何性质，结合基本不等式求最大值． 【详解】 是直径，是圆上的点， ， 设，则， ， ，当且仅当时等号成立， 的最大值为，故B正确． 故选：B． 8. “”是“函数是奇函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数性质对充分性和必要性分别验证可得结论. 【详解】充分性：当时，， 易知，所以，因此其定义域为； 则, 可得,即是奇函数,即充分性成立； 必要性：因是奇函数,所以的定义域关于原点对称，则, 即所以, ，因此，可得,经检验符合题意，即必要性不成立； 故选：A 二．多选题：共3小题，每小题6分，共18分.每个题目有多个正确选项，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用零点存在性定理直接判断即可. 【详解】因函数的图象是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC 10. 下列不等关系成立的有（ ） A. B. C. （） D. （且） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数、对数的性质和运算法则，结合函数单调性，判断选项A；利用指数、对数的性质比较大小，判断选项B；利用指数的性质化简不等式，进而判断大小关系，判断选项C；利用换底公式及均值不等式推出大小关系，判断选项D． 【详解】选项A：幂函数，，在上单调递增， ， ，故A成立； 选项B：，，， ，， ，， ，故B正确； 选项C：等价于， 当时，，故不等式不成立，故C不成立； 选项D：不等式可化为，只需证明， 由均值不等式可知：， ，，故， 成立，故D成立 故选：ABD． 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 是减函数 C. 的图象关于对称 D. 集合所表示图形的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过换元法化简原函数求出解析式，代入求出判断选项A；利用定义法求出函数单调性判断选项B；分析的对称性判断选项C；利用函数对称性和单调性，分析构成图形的边界，进而求出面积，判断选项D． 【详解】，令，则， ，， 选项A：，故A正确； 选项B：设任意，， 是增函数，， ，即，， ，即， 是增函数，故B错误； 选项C：， 又， ，即，故图象关于点对称，故C正确； 选项D：集合表示的是，， 是增函数，在上， 把区间拆分成对称的两部分和，对于任意，对应的， 根据对称性，在处，图形高度为， 在处，图形高度为， 高度相加得， 对称点与处高度之和是一个常数， 区间可以看作由无数对称点，组成，每对对称点对应宽度相同， 总面积为常数高度和与对称区间长度的积，的区间长度为1， ，总面积，故D正确． 故选：ACD． 三．填空题：共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分. 12. 函数，的值域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 13. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余质量约是原来的.当该物质的剩余质量是原来的时，经过了约___________年.（参考数据：，，结果精确到） 【答案】5.8 【解析】 【分析】根据题意列出方程，再根据对数运算法则解方程可得结果. 【详解】设放射性物质原来质量为,经过年剩余质量为, 根据题意可得, 则当该物质的剩余质量是原来的时，即, 所以，可得，即； 因此，所以. 故答案为： 14. 已知函数，方程有四个不等实根，且，则的取值范围是___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出函数图象，利用函数的图象与的交点个数可求得的取值范围，根据对称性以及对数运算法则结合单调性可求得表达式的值. 【详解】由函数解析式可画出函数图象如下： 根据题意可知函数的图象与有4个交点，结合图象可知； 即的取值范围是； 因为，所以在抛物线上， 因此关于对称，所以； 又，在函数上，所以， 可得，即，可得，所以； 因此. 故答案为：； 四．解答题：共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式分别求出集合，再由并集运算可得结果； （2）由交集结果可得，列出不等式解出的取值范围. 【小问1详解】 当时，可得，即可得, 又易知， 可得； 【小问2详解】 根据题意可得,， 又，则集合是集合的子集，则, 因为不是空集，所以,即. 所以的取值范围为. 16. 已知. （1）求，的值； （2）当是锐角时，一个扇形的圆心角为，半径，求该扇形的弧长和面积. 【答案】（1） 若，则； 若，则. （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系计算可得结果； （2）由弧长公式以及扇形面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，则， 若，则； 若，则. 【小问2详解】 当是锐角时，则，则， 弧长， 面积. 17. 已知幂函数的图象关于原点对称． （1）求函数的解析式； （2） （i）判断并证明在上的单调性； （ii）“，”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）单调递增，证明如下： 设，则 ， ，，且，则， ，即在上单调递增； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数定义及函数图象关于原点对称的条件，求函数的解析式； （2）（i）利用函数单调性定义证明函数单调性；（ii）利用函数单调性及已知命题求的取值范围． 【小问1详解】 由幂函数定义可知，则，解得 或， 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合题意； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意，舍去； ． 【小问2详解】 ， （i）在上单调递增，证明略； （ii）已知“，”是真命题，则， 在上单调递增， ， ，解得， 的取值范围为． 18. 受不可抗力因素影响，某公司的一款产品在年月份的最后7天无法进行销售．在此之前，日销售单价（单位：千元/千克）与第天（，）的函数关系满足．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量（单位：千克）与的如下数据：，，，已知第4天该产品的日销售收入为千元（日销售收入日销售单价日销售量）． （1）求函数的解析式； （2）给出以下三种函数模型：①；②；③，请你根据上述数据，选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2025年12月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式； （3）在（2）的基础上，求出该公司在年月份第1天到第天中，该产品日销售收入（单位：千元）的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用日销售收入与单价和销量的关系，结合第4天的具体数据求出，进而求出解析式； （2）分析函数模型的单调性特征，结合选出合适模型，再代入已知数据构造方程组求出，进而求出解析式； （3）结合已知解析式构造函数求出，利用换元法化简函数，再利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 已知第4天的销售收入为千元，日销售收入， ，， ，解得， ． 【小问2详解】 模型①和②均为单调函数，由已知数据可知不是单调函数，故不符合题意； 模型③，函数图象关于直线对称， 由可知，当时函数单调递减，则，该模型符合题意. ，， ，解得， ． 【小问3详解】 当时，，则， ， 令，则，， ， 当且仅当即时等号成立， 该产品日销售收入的最小值为千元． 19. 已知函数是函数（，且）的反函数. （1）求函数的图象所过定点的坐标； （2）当时，， （i）直接指出函数的奇偶性和单调性（不证明），并解不等式； （ii）证明：方程在有唯一实根，且. 【答案】（1） （2）（i）为偶函数且在上单调递增； 不等式的解集为； （ii）证明： 由可知， 所以方程即， 因此， 令, 由复合函数单调性可知在上单调递减， 又函数在时，此时单调递增； 显然函数在上单调递减， 且，即， 由单调性以及零点存在性定理可知函数在上存在唯一零点； 即方程在有唯一实根； 因此满足，即，所以； 可得，又因为，所以，， 因此，即; 所以. 【解析】 【分析】（1）根据反函数定义直接可得过定点； （2）（i）求出的解析式可知其为偶函数，再由对勾函数性质可得其单调性，即可解不等式； （ii）根据复合函数单调性可知函数在上单调递减，由零点存在性定理可证明方程存在唯一实根，再根据零点所满足方程化简变形，结合指数函数单调性可证明. 【小问1详解】 依题意可知， 所以函数的图象所过定点的坐标为 【小问2详解】 （i）当时可得， 所以， 显然函数的定义域为，且满足，所以为偶函数； 当时，可得，令, 所以，结合对勾函数性质可知在上单调递增； 又因为为偶函数，所以在上单调递减； 因此可知在上单调递减，在上单调递增. 易知，所以不等式等价为, 根据奇偶性和单调性可得，即或， 解得或； 因此不等式的解集为； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $