2026年中考数学第一轮复习精讲精练 专题六 二次函数的图象与性质

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题六 二次函数的图象与性质（解析版） 命题点1 二次函数的性质 1．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题． 求出解析式根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性，对称性逐一判断，即得． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， A、抛物线开口向上，∴A不正确： B、对称轴为直线，∴B不正确： C、当时，y随x的增大而增大，∴C正确： D、关于的对称点为，∴D不正确． 故选：C． 2．（2025山西太原二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 3．（2024·山西吕梁·一模）和是抛物线上的点，则、两点之间的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴A，B两点之间的距离； 故选：D． 4．（2024·山西大同·一模）已知抛物线的部分值如下表所示： … 2 3 6 8 … … 4 5.5 4 … 由表格可知，下列结论中正确的是 A．抛物线开口向上 B．该抛物线的最大值为5.5 C．该抛物线的对称轴为直线 D．该抛物线与y轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．求出二次函数解析式是解题的关键． 先用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据解析式，由抛物线的图象性质判定即可． 【详解】解：把，，分别代入，得 ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∴当时，抛物线的最大值为6，故B选项错误，不符合题意； ∴该抛物线的对称轴为直线，故C选项错误，不符合题意； ∵把代入，得， ∴该抛物线与y轴交于点，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025山西阳泉·一模）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．图像的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：A、由知抛物线开口向下，此选项错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，此选项正确，符合题意； C、函数图像的顶点坐标为，此选项错误，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，此选项错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标，对称轴是直线及其增减性． 6．（2024山西临汾二模）下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A．y＝2x2﹣2 B．y＝﹣2x2﹣2 C．y＝2 （x﹣2）2 D．y＝（x+2）2 【答案】D 【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可. 【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；；     B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；； C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；； D.  y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 7．（2024·山西晋中·模拟预测）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标为． 命题点2 二次函数图象与系数a、b、c的关系 1．（2025·山西·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点坐标即可判断A、B；根据抛物线的对称性即可判断C；根据二次函数的图象与性质即可判断D． 【详解】解：A、二次函数图象与轴的负半轴相交，所以，故A错误，不符合题意； B、二次函数图象与轴有两个交点， ，故B错误，不符合题意； C、与关于对称轴直线对称， ， 当时，， ∴当时，，即，故C错误，不符合题意； D、结合图象可知时，图象呈上升趋势，所以随的增大而增大，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·山西太原·三模）已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点即可判断①和②，根据当时，，即可判断③，根据二次函数图象与x轴没有交点即可判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，由抛物线对称轴的位置可知， ∴，， ∴，故①正确， 由抛物线与y轴相交于负半轴，则， ∴，故②正确； 根据函数图象可得当时，，故③错误； 根据函数图象可得，该二次函数图象与x轴没有交点，则，故④错误， 综上可知，错误的是③④， 故选：B 3．（2024·山西太原·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，由点，，，得，根据图象性质即可求解，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∴这个函数图象可能是反比例函数， 故选：． 4．（2024·山西吕梁·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，数形结合是解题的关键． 由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点，则，，，进而可判断A、B、D的正误；由图象知，当时，，进而可判断C的正误． 【详解】解：由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点， ∴，，， ∴，，A、B错误，故不符合要求，D正确，故符合要求； 由图象知，当时，，C错误，故不符合要求； 故选：D． 5．（2024·山西临汾·一模）二次函数的系数a，b，c满足关系式，且，则下列图象符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是确定a、c的符号．根据，且，即可确定a、c的符号，以及时，，即可求解． 【详解】解：，即时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 且， 二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，只有B选项符合， 故选：B． 6．（2024·山西朔州·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及一次函数的图象和性质．由已知二次函数的图象可知的正负，由一次函数的图象可知、的正负，进而可得出答案． 【详解】二次函数的开口向上 一次函数图象中随的增大而减小，与轴的交点在轴的正半轴 ， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交点中在轴的负半轴 C符合题意． 故选：C． 7．（2023·山西大同·三模）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图知，，对称轴，得，，；时，；时，，变形求解． 【详解】由图知，，对称轴，得，，，故A选项错误，D选项错误； 时，，故B错误； 时，，得，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，图象性质，运用数形结合思想，将图象信息转化为数量信息是解题的关键． 8．（2023·山西大同·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点且的横坐标在和0之间，与轴交于负半轴，对称轴为直线，对于该二次函数，下列结论正确是（    ）    A．点一定在该抛物线上 B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据对称轴为直线，得，可判断B；将代入得，可判断A；根据当时，，可判断C；根据图象开口方向、与y轴交点位置可判断D． 【详解】解：二次函数的图象对称轴为直线， ， ， 故B选项结论错误； 当时，， 点一定在该抛物线上， 故A选项结论正确； 由图可知，当时，， ， 故C选项结论错误； 图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， ， 故D选项结论错误； 故选A． 【点睛】本题考查根据函数图象判断式子的符号，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 命题点3 二次函数解析式 1．（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线， ∴；故A选项错误； ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴该函数图象与轴的交点的纵坐标是，当时，，故B，C选项错误； 由图象可知，当时，随的增大而增大；故D选项错误； 故选D． 2．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题． 求出解析式根据抛物线的开口方向，对称轴，增减性，对称性逐一判断，即得． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， A、抛物线开口向上，∴A不正确： B、对称轴为直线，∴B不正确： C、当时，y随x的增大而增大，∴C正确： D、关于的对称点为，∴D不正确． 故选：C． 3．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移规律，根据二次函数经过原点得，以及二次函数的对称性得出，再把代入，然后解出，最后根据平移规律，即可作答． 【详解】解：∵表格的对应的 ∴的 ∵表格的对应的 ∴对称轴 ∴ 把代入 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 ∴ 故选：D 4．（2024·山西朔州·模拟预测）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，以及解析式，先根据图象性质设函数表达式为，然后得出，，再代入进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设函数表达式为， ∵ 设点 ∵当水位上升5米时，则水面宽米 ∴ 把，分别代入 得出 解得 ∴函数表达式为， 故选：B． 5．（2025山西晋城模拟预测）请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可． 【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1） ∴二次函数的一般表达式中，a<0，c=1， ∴二次函数表达式可以为：（答案不唯一）. 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键. 6．（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 7．（2025·山西晋中·二模）新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． (1)请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点横坐标为5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线解析式为，设，则，可得，再由，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴ ， ∵， 当时，的面积最大，则点横坐标为5． 命题点4 二次函数图象的变换 1．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 2．（2025·山西太原·模拟预测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标，再把点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得出答案． 【详解】 即抛物线的顶点坐标为 把点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3．（2025·山西吕梁·二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则的值是 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1, -2）， 先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度 则平移后抛物线的顶点坐标为 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线经过点， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 4．（2025·山西大同·一模）将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，可得平移后的解析式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键． 5．（2025·山西运城·中考模拟）如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 ． 【答案】y=2（x+1）2+3 【详解】解∶根据题意得∶原抛物线的顶点为（0，-1），且向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，∴新抛物线的顶点为（-1，3）， ∴可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k， 代入得：y=2（x+1）2+3． 故答案为：y=2（x+1）2+3 1．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 【详解】解：∵抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， ∴所求解析式为：． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于轴对称的点的特征． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0， 故abc＜0，不正确，不符合题意； B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a， ∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0， 故不正确，不符合题意； C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c， ∴（m为任意实数）， ∴， ∵a＜0， ∴（m为任意实数） 故不正确，不符合题意； D．∵-=1，故b=-2a， ∵x=-1，y=0，故a-b+c=0， ∴c=-3a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-3a＜3， ∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 5．已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 【答案】D 【分析】根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：根据图表先找到二次函数的对称轴为，即，由图表的数据和二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以可得，易得，故选项A错误，不符合题意； 由表格可知当时，，由二次函数图象的对称性可知当时，，所以的解集是，故选项B错误，不符合题意； 由表格和图象的性质可知当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以；因为，所以，同理易得，则在该函数图像上，故选项C错误，不符合题意； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值，所以，即必有，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质． 6．如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 先找到一次函数与新图象有三个交点的和，再求出此时m的取值，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得， 令，则， 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于时，此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴， 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 故选C． 7．如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解； （2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解； （3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， 当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：∵A为顶点的抛物线， ∴， 将代入得：， 即， ∵k与m满足一次函数， ∴，； （3）解：①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 在中，当时，，即， 将、代入抛物线解析式可得：， 解得：或， 当时，，故不符合题意，舍去； 当时，， ∴抛物线的解析式为； ②由①可得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴或， 当时，，解得：或，此时或； 当时，，解得：或，此时或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．在点运动过程中，运动时间为何值时，？ (3)将抛物线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向下平移3个单位长度得到抛物线，顶点为，若点是轴上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)存在，点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设，求出直线解析式，可得，，从而得到，，再由，可得到关于t的方程，即可求解． （3）先求出，设，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 当时，， ， 设直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 轴， ，， ，， 当时，， 解得或（舍去）， 时，； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形为直角三角形，理由如下： ， 平移后的抛物线解析式是为， ， 设， ，，， 当为斜边时，， 解得或， 或； 当为斜边时，， 解得， ； 当为斜边时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想．第（3）问的关键是分类讨论，且分类要不重不漏． 1．已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 【答案】(1)y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0），顶点坐标（﹣1，﹣1）； (2)①a＝；②≤k或k＝﹣4 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）①把点A（﹣3，1）代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值； ②根据对称的性质得出B的坐标，分两种情况讨论即可求得． 【详解】（1）由题意可知，二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）， 整理得，y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0）， ∴对称轴：x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）； （2） ①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）， ∴a（﹣3+1）2﹣1＝1， 解得：a＝； ②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，1）； 当k＞0时， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝， ∴≤k， 当k＜0时， ∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k， ∴﹣k＝1， ∴k＝﹣4， 综上所述，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k或k＝﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键． 2．综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 【答案】（1）矩形；（2），详见解析；（3）面积的最大值是6，的长是3 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形判定与性质及二次函数的应用； （1）证明即可证明结论； （2）先证明，再证明，从而证明结论； （3）先证明，设，则，根据相似三角形性质得出，进而求出面积，再根据二次函数性质求出最值． 【详解】解：（1）由折叠得：， ， 四边形矩形； （2）． 理由：如解图，连接． 由（1）知四边形是矩形，则． ∵F为的中点， ∴． ∴． ∴． 由折叠的性质，得． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）面积的最大值为6，此时． 设，则． ， 则． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最大值，最大值为6．此时． 3．已知二次函数（m是常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案． （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴方程没有实数解． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点． （2）∵， ∴把函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后， 得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）． ∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点． ∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。 4．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，_______m； (2)求h关于s的函数解析式． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性先求抛物线的对称轴，再根据对称轴求解； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此解答即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等， 抛物线关于对称， 又当时，， ∴ 时，， 故答案为：30． （2）解：由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ， 解得：， ． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 4．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 6．已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选：B． 7．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的对称性可得结论． 【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线， ∴，解得x=3, 此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 9．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    【答案】4 【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，，即， ∵轴， ∴，关于直线对称， ∴， ∴； 故答案为：4 【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键． 三、解答题 10．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 B 、能力提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题六 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的性质 1．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 2．（2025山西太原二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山西吕梁·一模）和是抛物线上的点，则、两点之间的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2024·山西大同·一模）已知抛物线的部分值如下表所示： … 2 3 6 8 … … 4 5.5 4 … 由表格可知，下列结论中正确的是 A．抛物线开口向上 B．该抛物线的最大值为5.5 C．该抛物线的对称轴为直线 D．该抛物线与y轴交于点 5．（2025山西阳泉·一模）对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．图像的顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 6．（2024山西临汾二模）下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A．y＝2x2﹣2 B．y＝﹣2x2﹣2 C．y＝2 （x﹣2）2 D．y＝（x+2）2 7．（2024·山西晋中·模拟预测）二次函数的顶点坐标是 ． 命题点2 二次函数图象与系数a、b、c的关系 1．（2025·山西·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．时，随的增大而增大 2．（2024·山西太原·三模）已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山西太原·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西吕梁·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西临汾·一模）二次函数的系数a，b，c满足关系式，且，则下列图象符合题意的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山西朔州·一模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山西大同·三模）二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·山西大同·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点且的横坐标在和0之间，与轴交于负半轴，对称轴为直线，对于该二次函数，下列结论正确是（    ）    A．点一定在该抛物线上 B． C． D． 命题点3 二次函数解析式 1．（2025·山西运城·三模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象与轴的交点的纵坐标是 C．当时，函数值 D．当时，随的增大而增大 2．（2025·山西临汾·二模）抛物线中的x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 关于它的图像和性质，下列说法正确的是（    ） A．图像开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴的交点坐标为和 3．（2024·山西大同·模拟预测）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 若将此抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西朔州·模拟预测）如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽米，则函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025山西晋城模拟预测）请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式 6．（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 7．（2025·山西晋中·二模）新教材实施以来，各校积极推进跨学科项目学习实践活动，如图1是我县某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得． (1)请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 命题点4 二次函数图象的变换 1．（2025·山西临汾·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 2．（2025·山西太原·模拟预测）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 3．（2025·山西吕梁·二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度．若得到的抛物线经过点，则的值是 ． 4．（2025·山西大同·一模）将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向下平移4个单位长度，所得图象的对应表达式用一般式表示为 ． 5．（2025·山西运城·中考模拟）如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是 ． 1．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣ 5．已知二次函数的x与y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．若点，，，在该函数图象上，则 D．对于任意的常数m，必有 6．如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 7．如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．在点运动过程中，运动时间为何值时，？ (3)将抛物线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向下平移3个单位长度得到抛物线，顶点为，若点是轴上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 2．综合与探究 问题情境： “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的直角三角形纸片（）折叠，使点C的对应点F落在边上，折痕分别交于点D，E．再将该纸片沿过点E的直线折叠，使点A的对应点H落在的延长线上，折痕交于点G，如图2所示． 数学思考： （1）四边形的形状为______． 深入探究： （2）“善思小组”将图2展开后，连接，得到图3．若F为的中点，试猜想线段与的位置关系和数量关系，并说明理由． （3）“智慧小组”提出问题：若点C的对应点F落在射线上，其他条件不变，当时，请直接写出面积的最大值和此时的长． 3．已知二次函数（m是常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点； （2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？ 4．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表： 0 9 12 15 18 21 … 0 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …      (1)根据表中数据预测足球落地时，_______m； (2)求h关于s的函数解析式． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 3．在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 7．抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 9．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．    三、解答题 10．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． B 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