三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 考点目录 三角函数的实际应用问题 三角函数与圆的性质综合问题 考点一 三角函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·河北·期末）嘉嘉借助无人机测量一条河的宽度．如图，在河边水平地面上取一点，使点，，在同一条直线上，无人机在点正上方米的处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，此时测得右岸处的俯角为． (1)求，两点之间的距离；（结果保留根号） (2)求河的宽度．（结果保留根号） 例2．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）参考数据：，，， 例3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 例4．（25-26九年级上·山东济南·期末）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.2米．（参考数据：，，，） (1)求水平横管到水平线的距离； (2)求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 变式1．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，一艘货轮从出发以一定的速度匀速航行，给正东方向的岛运送货物，再沿南偏西的方向航行到达港．一艘巡航舰从出发匀速航行，沿西南方向航行至岛，再立即向东航行到达港．（参考数据：，） (1)求，两港的距离（结果精确到）； (2)若巡航舰的航行速度是货轮的倍，巡航舰与货轮同时从港出发，货轮在港卸货物的时间忽略不计．请通过计算说明，巡航舰与货轮谁先到达港． 变式2．（25-26九年级上·湖南永州·期末）祁阳籍门将号唐嘉年，湘超最佳守门员，永州队夺冠的“定海神针”，兼具现代门将能力+大赛心脏+励志底色，是草根逆袭的标杆．如图，球迷小明在球场边的点看比赛，测得球场内门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处；小明以米／秒的速度向东走了秒到达点，此时门将唐嘉年在他的北偏东方向的点处．请问小明继续向东走多少米后，与球员唐嘉年所在点处的距离最近？ 变式3．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，花城广场对岸有广州塔，小明同学站在花城广场的处看塔顶点的仰角为，向塔前进360米到达点，在处看塔顶的仰角为，求广州塔的高度．（，，） 变式4．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）如图，五边形是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道，线段是连接小湖南北的一条步道，步道的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行．已知点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西方向，，测得米，米，米．（参考数据：，，） (1)计算步道的长度； (2)小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①；②． 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 考点二 三角函数与圆的性质综合问题 例1．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图①，已知在平行四边形中，为对角线，于点是边上的动点，以为半径的与边交于点（点在点的右侧），射线与射线交于点． (1)__________________________． (2)当时，求的半径． (3)如图②，连接，当时，求弦的长． 例2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）图①和图②中，优弧所在的半径为，，点为优弧上一点（点不与，重合），将图形沿折叠，得到点的对称点． (1)点到弦的距离是______，当经过点时，弧的度数为______； (2)当与相切时，如图②，求折痕的长； (3)若线段与优弧只有一个公共点，设，请直接写出的取值范围． 例3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心、长为半径作，与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，则的长为______． 例4．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，内接于，为边的高，为的直径交于点F，连接． (1)求证：； (2)当直径平分时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 变式1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，内接于，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：AD是的切线； (2)当时，求的长及的半径． 变式3．（2025·云南·模拟预测）如图所示，是的直径，四边形是的内接四边形，延长至点，连接，使得 作 垂足为点F， ， ． (1)作 交 于点G，求的长． (2)求证：是的切线． (3)①求 的长度． ②设三角形的面积为 ，三角形  的面积为 ，是否存在常数，使 成立?若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，已知为的直径，为上一点，平分且交于点，过点作于点，延长、交于点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长； (3)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 考点目录 三角函数的实际应用问题 三角函数与圆的性质综合问题 考点一 三角函数的实际应用问题 例1.(25-26九年级上·河北期末)嘉嘉借助无人机测量一条河CD的宽度.如图，在河边水平地面上取一点M, 使点M,C,D在同一条直线上，无人机在点M正上方180米的A处测得河流左岸C处的俯角为60°，无人机沿水 平线AF方向继续飞行60米至B处，此时测得右岸D处的俯角为30°. B K60°730°F M (1)求M,C两点之间的距离；（结果保留根号） (2)求河CD的宽度.（结果保留根号） 【答案】(I)M,C两点之间的距离为60√3米； (2)河CD的宽度为120W3+60)米. 【详解】(1)解：AM⊥BC, .∠AMC=90°， AF∥MD, .LACM=∠CAF=60°， 在RIA AMC中，tan∠ACM=AM MC' tan60°=180 MC' MC=180 =60W5(米)， “M,C两点之间的距离为60√3米； (2)解：如图，过B作BN⊥MD于点N,则LMNB=90°， 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 A B 60°30°F M AF∥MD, ∠AMN+∠MAF=180°，∠BDN=∠DBF=30°， ∠AMN=∠MAF=90°， .∠AMC=∠MNB=∠MAB=90°， 四边形AMNB是矩形， AM=BN=180米，AB=MN=60米， 在RtA BDN中，tan∠BDN=BN ND tan30°=180 ND' 180 ND= 6 =180W3 (米)， ∴CD=ND+MW-MC=180V5+60-60√5=120√5+60（米）， 河CD的宽度为120W3+60米. 例2.(25-26九年级上·江苏徐州·期末)如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD,同学们在山坡的坡脚A处测得广告 牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，己知山坡AB的坡度i=2:3, AB=14米，AE=26米，求广告牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据： sm3号m58p号m53等店366 4 D ≥545°.- 53 E 【答案】广告牌CD的高度为10.7米 【详解】解：如图，作BH⊥AE交AE于H,作BF⊥DE交DE于F, 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 D B45° 53 设垂直高度BH=2k,水平距离AH=3k, 由勾股定理得：(2k)2+(3k2=142, 解得k-1453.82, 13 BH=2k=2×3.882=7.764米， .AH=3k=3×3.882=11.646米， .BF=AE+AH=26+11.646=37.646米， :仰角为45度，tan45°=1， CF=BF=37.646米， DE=AE×tan53°≈34.667米， CD=CF+BH-DE=37.646+7.764-34.667=10.743≈10.7米. 答：广告牌CD的高度为10.7米. 例3.(25-26九年级上·四川巴中期末)某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨 大匾额的飞霞阁，图②中的线段BC是悬挂在墙壁AM上匾额的截面示意图.已知BC=1.5米，∠MBC=37°，从水 平地面点D处看点C,仰角∠ADC=45°，继续向前行走5.2米达到点E,从点E处看点B,仰角∠AEB=53°. B ▣口和 D E ① ② (I)求点C到墙面AM的距离； (2)求匾额悬挂的高度AB (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 【答案】(I)点C到墙面AM的距离为0.9米 (2)匾额悬挂的高度AB为12.4米 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 【详解】(1)解：过点C作CH⊥AM于点H, M C R ② 在Rt△BCH中，BC=1.5米，∠MBC=37°， .CH=BC.sin37°≈1.5×0.6=0.9（米）， 答：点C到墙面AM的距离为0.9米， (2)延长DC交AM于点G. :∠ADC=45°， ∠CGA=45°，AD=AG, 在Rt△GCH中，CH=GH=0.9, Rt△BCH中，BH=BC·c0s37°≈1.5x0.8=1.2米， BG=GH+BH=0.9+1.2=2.1米， 设AB=x,在Rt△ABE中，∠AEB=53°， LABE=37°， AE=4B.tan37°≈0.75x, AD=AG, 5.2+0.75x=x+2.1, 解得：x=12.4 答：匾额悬挂的高度AB为12.4米。 例4.(25-26九年级上山东济南期末)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图.己知屋 面AE的倾斜角∠EAD=22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30°，真空管AB的长度为2米，安装热水器 的铁架竖直管CE的长度为0.2米.（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√5≈1.73） E 22°.- 图1 图2 (I)求水平横管BC到水平线AD的距离； 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 (2)求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）. 【答案】(1)1米 (2)0.3米 【详解】(I)解：过B作BF⊥AD于F,∠AFB=90°， .22°.-. 流R14BF中，如∠BMF=6,8=2米，∠B4F:30. 1 BF=AB·sin30°=2×二=1（米）. 答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1米： (2)解：由题意知∠BFD=LBCD=∠D=90°， ∴四边形BCDF为矩形， BC=DF,CD=BF=1米， CE=0.2米， .DE=CD-CE=1-0.2=0.8(米)， 在RtADE中，tan ZDAE=DE AD ∠DAE=22°， 4D=0808-2（米)， tan22°0.4 又在RtaABF中，AF=VAB2-BF2=V22-1P=√5（米）， DF=AD-AF=2-V5≈0.3（米）， BC=DF=03米， 答：水平横管BC的长度约为0.3米。 变式1.(25-26九年级上重庆南岸期末)如图，一艘货轮从A出发以一定的速度匀速航行，给正东方向的B岛运 送货物，再沿南偏西30°的方向航行120 n mile到达D港.一艘巡航舰从A出发匀速航行，沿西南方向航行至C岛， 再立即向东航行80 n mile到达D港.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45） 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 A B北 个东 D (I)求A,C两港的距离（结果精确到1 n mile): (②)若巡航舰的航行速度是货轮的√2倍，巡航舰与货轮同时从A港出发，货轮在B港卸货物的时间忽略不计.请通 过计算说明，巡航舰与货轮谁先到达D港。 【答案】(1)147 n mile (2)货轮先到达D港 【详解】(1)解：分别过点A,B作CD的垂线，垂足分别为E,F. 北 45° 东 30° ∠AEC=∠BFD=90°. AB∥CD, ∠EAB=90°， ∴四边形ABFE是矩形. :AE BF. 在Rt△BFD中，∠DBF=30°，BD=120, C0s30°=B D' BF=120cos30°=60V5. 在Rt△AEC中，∠CAE=45°，AE=BF=603, AC 4C=60V3 .sin450=A =606≈147. sin 45 答：A,C两港的距离为147 n mile. (2)解：设货轮的航行速度为vkn,则巡航舰的航行速度为√2k如，根据题意，得 在Rt△BFD中，∠DBF=30°，BD=120, :DF=120sin30°=60. 在Rt△AEC中，∠CAE=45°，AE=60V3, 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 CE=AE=60√3. 四边形ABFE是矩形， :AB=EF. AB=EF=CD+DF-CE=80+60-60V3=140-60V3. ∴货轮从A到B,再到D需要的时间为： AB+BD_140-60V5+120_260-60√5156.2 1 巡航舰从A到C,再到D需要的时间为： AC+CD60W6+8060W3+40W2160.2 2v 2v 156.2160,.2 所以，货轮先到达D港. 变式2.(25-26九年级上·湖南永州期末)祁阳籍门将19号唐嘉年，2025湘超最佳守门员，永州队夺冠的“定海神 针”，兼具现代门将能力+大赛心脏+励志底色，是草根逆袭的标杆.如图，球迷小明在球场边的B点看比赛，测得 球场内门将唐嘉年在他的北偏东60方向的A点处；小明以1米/秒的速度向东走了20秒到达C点，此时门将唐嘉 年在他的北偏东30方向的A点处.请问小明继续向东走多少米后，与球员唐嘉年所在A点处的距离最近？ 北 A 30% 60° C 【答案】向东走10米 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D, 北 30 60° B 根据题意得∠ABC=30,∠ACD=60°， 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 ,∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°， .CA=CB, :CB=20×1=20(米)， CA=20(米)， 在直角三角形△4DC中，∠ACD=60°，∠CAD=30°， c0-4c-方x20=10c米 答：向东走10米 变式3.(25-26九年级上广东茂名·期末)如图，花城广场对岸有广州塔AB,小明同学站在花城广场的C处看塔顶 点A的仰角为32°，向塔前进360米到达点D,在D处看塔顶A的仰角为45°，求广州塔AB的高度. (sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625) D 【答案】广州塔AB的高度约为600米 【详解】解：设广州塔AB的高度为x米， :∠ADB=45°，∠ABD=90°， ∠DAB=45°， .∠ADB=∠DAB, :BD AB=x, .BC=360+x, :∠ACB=32°，tan∠ACB=AB BC -≈0.625， 360+ 解得x=600(米)， 答：广州塔AB的高度约为600米.。 变式4.(25-26九年级上·重庆铜梁期末)如图，五边形ABCDE是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道， 线段AD是连接小湖南北的一条步道，步道AD的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行.己知点D在点A 的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西30°方向，∠AED=90°，测 得AE=300米，DE=400米，BC=200米.（参考数据：√2≈1.414，V3≈1.732，） 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 北 西 一东 南 B A (1)计算步道AD的长度； (②)小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①A-E-D;②A-B-C-D. 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短.（计算结果保留到1米） 【答案】(1)步道AD的长度为500米 (2)线路①路程更短 【详解】(1)解：LAED=90°， 由勾股定理得：AD=VAE2+DE2=V3002+4002=500(米)， ∴步道AD的长度为500米 (2)解：如图，过点C作CG⊥AD于点G, D dG B 点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向， ∴.∠CBA=∠BAD=90°， 四边形ABCG为矩形， AG=BC=200(米)，AB=CG, DG=AD-AG=500-200=300(米)， ~点C在点D的南偏西30°方向， ÷LCDG=30°， 在Rt△CGD中，tan∠CDG=CG DG COs /CDG=DG , CG=DG.tan30°=30×5 =100√5≈173.2（米）， CD=DG=300=2005≈3464 cos30°√5 (米)， 2 AB+BC+CD=AB+CG+CD=200+173.2+346.4=719.6≈720（米）， 0 三角函数的实际应用问题、三角函数与圆的性质综合问题专项训练 AE+ED=300+400=700(米)， AE+ED<AB+BC+CD, 线路①路程更短. 10