二次函数翻折、平移与二次函数的性质综合问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数翻折、平移与二次函数的性质综合问题专项训练 二次函数翻折、平移与二次函数的性质综合问题专项训练 考点目录 二次函数翻折与二次函数的性质综合问题 二次函数平移与二次函数的性质综合问题 考点一 二次函数翻折与二次函数的性质综合问题 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 例2．（2025·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点． (1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________． (2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知． ①求k的值． ②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值． 例3．（22-23九年级上·山西朔州·期中）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： (1)（问题） 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则 ，点A的坐标为 ． (2)（操作） 将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： ． (3)（探究） 在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． (4)（应用） 结合上面的操作与探究，继续思考： 如图③，若抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左)，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）      例4．（25-26九年级上·广东江门·月考）【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 变式1．（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 变式2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为． (1)求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标． (2)将该函数图象沿x轴翻折，如图①， ①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式； ②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴． (3)将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围． 变式3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； (3)将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 变式4．（24-25九年级上·广东江门·期末）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 考点二 二次函数平移与二次函数的性质综合问题 例1．（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 例2．（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 例3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 例4．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 变式1．（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 变式2．（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 变式4．（2024·河北邯郸·三模）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止． (1)若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标； (2)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m． ①用含m的式子表示顶点D的坐标； ②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式； (3)在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数翻折、平移与二次函数的性质综合问题专项训练 二次函数翻折、平移与二次函数的性质综合问题专项训练 考点目录 二次函数翻折与二次函数的性质综合问题 二次函数平移与二次函数的性质综合问题 考点一 二次函数翻折与二次函数的性质综合问题 例1．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 例2．（2025·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点． (1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________． (2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知． ①求k的值． ②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值． 【答案】(1)，；（），（或） (2)①② 【详解】（1）解：由图象得，原抛物线轴交于点和， ∴对称轴为直线， ∴原抛物线顶点的坐标为：， 则抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∴由函数的对称性，原抛物线位于轴下方的图象沿x轴翻折后的图象解析式为：（）， 原抛物线位于轴上方的图象解析式为：（或）． 故答案为：，；（），（或）； （2）解：翻折后抛物线的表达式为：， 联立上式和得：， 解得：或（舍）， 即点， 同理可得，点， ∵ ， 解得：或， ∵直线过第一象限， ∴； ②由①知，点的坐标为：，直线的表达式为：， 在上取点，则， 作轴于点，交于点，过点作于点， 设，则，，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则点， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 设点，点， 则，由勾股定理得： 即， 解得：，（舍）， 解得：，（舍）， 即点、的坐标分别为：， ， 则． 例3．（22-23九年级上·山西朔州·期中）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： (1)（问题） 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则 ，点A的坐标为 ． (2)（操作） 将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： ． (3)（探究） 在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ． (4)（应用） 结合上面的操作与探究，继续思考： 如图③，若抛物线与x轴交于A，B两点(A在B左)，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）      【答案】(1)1、 (2) (3)或 (4) 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得， 则抛物线解析式为， 令得， 解得， 点A坐标为， 故答案为：1、； （2）解：因为翻折后抛物线与原抛物线的开口方向相反、形状相同，且新抛物线的顶点坐标为， 所以翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式， 故答案为， （3）解：在图2中，新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是或， 故答案为或； （4）解：令得， 解得， 故点． 例4．（25-26九年级上·广东江门·月考）【问题背景】如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点为，现将图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，翻折后的部分与原图象轴上方部分组成新的函数图象． (1)【问题探究】请直接写出、、三点的坐标； (2)【问题探究】若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求的值； (3)【问题拓展】如图2，直线与轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、、三点的坐标分别为、、 (2)或 (3) 【详解】（1）解：令， 解得或， 则点、的坐标分别为、，函数的对称轴为直线， 当时，， 则点的坐标为； （2）由题意得翻折部分翻折后的表达式为：， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得， 整理得有且只有1个解， 则， 解得； ②当直线经过点时： 将点的坐标代入得， 则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得点翻折后的点坐标为， 直线经过该点时，与新的函数图象恰有3个公共点，此时， 直线向下移动且保持在轴上方时，与新的函数图象有4个公共点， 则． 变式1．（2025·湖南·二模）已知抛物线． (1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值； (2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)①；② 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为． 当时 根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ． 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 图象“W”的解析式为：， ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线的解析式为， 当时， 解得：或； 点的横坐标为， 当， 解得：或； 点的横坐标为； 当时， 解得：或； 点的横坐标为； 如图，作轴，过点作轴交于点， 作轴，过点作交于点， 由各点横坐标可得：， ， ， 轴，轴， ， ， ，， ， ， ， ； ②当且时，图象“G”是解析式为：， 由①可得点的横坐标为，点的横坐标为， 当， 解得：， 点的横坐标为：； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点； 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， ； 当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点， 由各点横坐标可得：， ， ，， ， ， 则； 综上所述，用含的式子表示为； 变式2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B、C，且，点A坐标为． (1)求出该二次函数表达式，并求出顶点坐标． (2)将该函数图象沿x轴翻折，如图①， ①请直接写出翻折后的图象对应的函数表达式； ②翻折前后的函数图象在一起构成轴对称图形，请写出对称轴． (3)将两图象在x轴上方的部分去掉，如图②，当直线与两抛物线所剩部分有4个交点时，请求出k的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为（1，4）； (2)①； ②直线，直线（或x轴）； (3). 【详解】（1）解：由 令 则 则 B（3，0），而点A坐标为， 设， 把C（0，3）代入，得， ∴， ∵， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）①把关于x轴翻折可得： 整理得：， ②翻折后关于抛物线的对称轴对称， 此时对称轴为直线， 同时两个图象关于两个图象的交点所在的中线对称， 此时对称轴为：直线（或x轴）； （3）解：当直线过点A时，则有3个交点， 把代入，得， 当直线与抛物线只有一个交点（相切）时，则有3个交点． 则， 则，即 ，解得， 由图像知：若有4个交点，则． 变式3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)将点C向左平移个单位长度得到点D，点D关于原点的对称点E在抛物线上．求a的值； (3)将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象，若直线与新图象有四个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，, (2) (3) 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得，， ∴，, 当时，， ∴； （2）解：∵， 又将点C向左平移个单位长度得到点D， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， 把点代入，得： ， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以，； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后图象的顶点坐标为，如图， ∴直线与新图象有四个交点时，． 变式4．（24-25九年级上·广东江门·期末）【问题背景】如图1，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象． 【问题探究】 （1）请求出A、B、C三点的坐标； （2）若直线与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值； 【问题拓展】 （3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，从左到右依次为点P、Q、M、N，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）A、B、C三点的坐标分别为：、、；（2）或；（3）． 【详解】解：（1）对于，令，则或1， 则函数的对称轴为直线， 当时，， 则， 故A、B、C三点的坐标分别为：、、； （2）由翻折的性质得，翻折后的抛物线表达式为：， 分两种情况讨论， ①当直线与函数的图象相切时： 联立和得：， 整理得： 则，则， ②当直线经过点B时： 将点B的坐标代入得：，则， 综上，或； （3）根据函数的对称性得：， ∵，则，即， 设直线l为：， 联立和得：， 则，， 则， 同理可得：， 则， 解得：， 令， 解得：(舍去负值)， 即点． 考点二 二次函数平移与二次函数的性质综合问题 例1．（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)或． 【详解】（1）解：抛物线：经过，两点， 故， 解得， 故抛物线：的表达式为． （2）解：根据题意，抛物线，顶点沿直线l：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为， 故的顶点D坐标为， 由的顶点D与原点重合时平移停止， 故， 解得， 抛物线停止平移后的表达式． （3）解：设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n． 根据顶点沿着平移，故顶点D的纵坐标为， 新抛物线的表达式为， 故点， 故， 当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为． （4）解：根据（2）得到抛物线停止平移后的表达式， 直线的表达式为，抛物线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 由平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G， 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 综上所述，当线段与图象G有交点时，m的取值范围是或． 例2．（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和． (1)求平移后抛物线的顶点坐标； (2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由； (3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为， 将点和代入， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大， ∵M、N与对称轴的距离的关系为，， ∴， ∴； （3）解：设，则，， 当时， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得或（舍）， ∴； 当时， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得，，不合题意； 综上所述：P点坐标为或． 例3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间 ②存在或使得直线平分矩形面积，理由见详解 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限， ∴， ∵抛物线的顶点在线段上， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵矩形与矩形关于原点对称， ∴，如图所示， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， 线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到， 抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点， 设抛物线，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标， ∴向下平移的范围是之间， ∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间； ②存在，理由如下， ∵， ∴， 当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴得到解析式为：， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点为， 令 则平移后的抛物线的顶点在抛物线上， 令，解得，， ∴，， 则，是靠近其端点的两个四等分点， 因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积， 如图所示， ∵，，原抛物线的顶点是 ∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； 当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； ∴或 ∴存在或使得直线平分矩形面积． 例4．（24-25九年级上·山东济宁·月考）如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 变式1．（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置． 我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D． (1)抛物线的表达式为：___________， (2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（   ，   ）．抛物线与轴交于两点，线段___________ (3)平移求解（参考图1、图2） ①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（   ，   ） ②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________ (4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________ 【答案】(1) (2)，4 (3)①或；②或 (4)或 【详解】（1）解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为：； （2）联立抛物线和抛物线得， 解得 将代入 ∴； ∵抛物线 ∴当时， 解得， ∴， ∴； （3）①∵抛物线 ∴对称轴为直线 ∴当点A平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； ∴当点B平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上 ∵ ∴点F的横坐标为 ∴将代入 ∴； 综上所述，点F的坐标为或； ②根据题意得，， ∴ 当点D平移到抛物线上的点G时，则点B平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 当点B平移到抛物线上的点G时，则点D平移到抛物线上的点H时， 设，则，即 根据题意得， 解得 ∴ ∴点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或； （4）如图所示，当直线与抛物线只有一个交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴联立直线与抛物线得 ，即 根据题意得， ∴； 如图所示，当直线经过抛物线与抛物线的交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点， ∴将代入得， 解得 综上所述，的值为或． 变式2．（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； （3）秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)当，最大，且最大值为， (3)点M的坐标为或 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的解析式为，得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，交x轴与点N， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则 ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当，最大，且最大值为， ∴； （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故设该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故设平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得，解得， 故平移后抛物线的解析式为，即， 取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得或（舍去）， ∴，此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴直线的解析式为：． 联立，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 变式4．（2024·河北邯郸·三模）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止． (1)若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标； (2)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m． ①用含m的式子表示顶点D的坐标； ②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式； (3)在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①顶点D的坐标为；② (3) 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，得，解得或． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：①∵抛物线， 可得顶点，且顶点在直线上． 又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到， ∴其顶点D也在直线l上， 将横坐标为m代入，得， ∴顶点D的坐标为． ②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为， 当时，， ∵， ∴当时，有最小值， 此时点C与原点的距离最大， 此时抛物线的解析式为． （3）解：当抛物线在平移停止后，抛物线的解析式为， 当时，得， 解得， ， 同理可得， ， 由于为整数，且需求的最大值， 则为最小，即为， 此时，解得， 故n的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $