6.1：平面向量的概念【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学常考题型归纳 【6.1：平面向量的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.向量的定义 知识点：既有大小，又有方向的量叫做向量；只有大小，没有方向的量叫做数量（也叫标量） 易错辨析：①混淆向量与数量的核心区别，误认为“有大小的量就是向量”，忽略“方向”这一关键要素（如“路程”是数量，“位移”是向量）；②误将向量的“大小”与“方向”割裂，认为方向不影响向量的判定，实际上两个向量必须大小和方向都确定，才能区分异同 重点记忆：向量的两大核心要素——大小（也叫模长）和方向，二者缺一不可；常见向量：位移、速度、力、加速度等，常见数量：路程、长度、质量、温度、时间等 常考结论：①数量可以比较大小，向量不能比较大小（只能比较模长的大小）；②若一个量既有大小又有方向，一定是向量；若只有大小没有方向，一定是数量 2.向量的几何表示 知识点：用一条有向线段来表示向量，这条有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向；有向线段的起点叫做向量的起点，终点叫做向量的终点，记作（起点为A，终点为B），读作“向量AB” 易错辨析：①误认为“有向线段就是向量”，实则有向线段是向量的几何表示，不是向量本身（向量可以脱离有向线段存在，如多个有向线段只要大小、方向相同，就表示同一个向量）；②书写有向线段时，误将起点和终点颠倒（如与是相反向量，不能混淆） 重点记忆：①有向线段的三要素：起点、方向、长度，与向量的三要素（起点可任意，大小、方向固定）不完全一致；②向量的模长（大小）记作，读作“向量AB的模”，模长是数量，可以比较大小 常考结论：①若两条有向线段的大小、方向完全相同，无论起点是否相同，都表示同一个向量；②有向线段的起点不同，但大小、方向相同，对应的向量是相等向量 3.向量的字母表示 知识点：①用小写英文字母加箭头表示，如、、，读作“向量a”“向量b”“向量c”；②手写时，必须在字母上方标注箭头（如），不能省略；印刷时，可用粗体字母表示（如a、b、c） 易错辨析：①手写时省略字母上方的箭头（如将写成a），混淆向量与数量；②印刷体与手写体混淆，误将印刷体的粗体a，手写为普通a 重点记忆：①向量的字母表示核心是“体现方向”，箭头不可省略（手写）；②模长表示：向量的模长记作，读作“向量a的模”，是数量，非向量 常考结论：①，当且仅当为零向量时，；②若，只能说明两个向量的模长相等，不能说明两个向量相等（还需方向相同） 4.零向量 知识点：长度为0的向量叫做零向量，记作（手写时为，印刷时为粗体0）；零向量的方向是任意的，模长 易错辨析：①混淆零向量与数量0，误将写成0（是向量，有方向；0是数量，无方向）；②误认为“零向量有固定方向”，实则零向量的方向任意，可与任意向量平行 重点记忆：①零向量的唯一特征：模长为0，方向任意；②书写零向量时，必须标注箭头（），不能写成普通的0；③零向量与任意向量的特殊关系：平行、垂直（后续衔接） 常考结论：①只有零向量的模长为0，所有非零向量的模长都大于0；②零向量与任意向量平行（共线）；③（零向量的相反向量是它本身） 5.单位向量 知识点：长度（模长）为1的向量叫做单位向量；若是一个非零向量，则与同向的单位向量记作，且 易错辨析：①误认为“单位向量都相等”，实则单位向量只有模长都为1，方向可以不同（方向不同的单位向量不是相等向量）；②误将“模长为1的数量”当作单位向量，忽略单位向量的方向属性 重点记忆：①单位向量的核心特征：模长，方向任意；②任意非零向量都有且只有两个单位向量：一个与它同向，一个与它反向；③单位向量的计算公式（核心）：（非零向量） 常考结论：①若是单位向量，则，反之，若，则是单位向量；②与反向的单位向量为 6.相等向量 知识点：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；若向量与相等，记作 易错辨析：①只考虑模长相等，忽略方向相同，误将“模长相等的向量”当作相等向量；②误认为“起点相同、终点相同的向量才是相等向量”，实则相等向量与起点无关，只要模长和方向相同，无论起点在哪里，都是相等向量 重点记忆：①相等向量的两个必备条件（缺一不可）：模长相等（）、方向相同；②相等向量的传递性：若，，则；③相等向量与起点、终点的位置无关，只与大小和方向有关 常考结论：①若两个向量相等，则它们的模长一定相等，方向一定相同；②若两个向量的模长相等但方向不同，一定不是相等向量；③所有零向量都相等（） 7.相反向量 知识点：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量；若向量的相反向量记作，则；有向线段的相反向量是，即 易错辨析：①只考虑方向相反，忽略模长相等，误将“方向相反的向量”当作相反向量；②误将的模长当作负数，实则（模长是数量，非负）；③混淆相反向量与相等向量，误认为（只有时成立） 重点记忆：①相反向量的两个必备条件（缺一不可）：模长相等（）、方向相反；②相反向量的核心关系：（一个向量的相反向量的相反向量是它本身）；③零向量的相反向量是它本身（） 常考结论：①若，则；②若与是相反向量，则，反之，若，则；③，且与平行（共线） 8.平行向量（共线向量） 知识点：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量；若向量与平行（共线），记作；规定：零向量与任意向量平行（共线），即（为任意向量） 易错辨析：①忽略“非零向量”这一前提，误将“方向相同或相反的向量”都当作平行向量（零向量与任意向量平行，单独的零向量无需考虑方向）；②误认为“平行向量（共线向量）一定在同一条直线上”，实则平行向量只需方向相同或相反，与是否共线无关（可以在同一条直线上，也可以平行但不共线）；③混淆“平行向量”与“相等向量”，误认为“平行向量就是相等向量”（相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量） 重点记忆：①平行向量（共线向量）的核心特征：方向相同或相反（非零向量），与模长无关；②零向量的特殊规定：零向量与任意向量平行（共线），这是考试高频易错点；③平行向量（共线向量）的表示方法：用“”表示，不能用“=”表示（除非同时满足相等条件） 常考结论：①平行向量的传递性：若，，则（注意：若，则传递性不成立，因为零向量与任意向量平行）；②相等向量一定是平行向量，相反向量也一定是平行向量；③若两个非零向量平行，则它们的方向要么相同，要么相反；④任意两个非零平行向量，都可以表示为（为非零实数，后续衔接数乘运算） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量的概念及表示】 （24-25高一下·全国·课前预习）（1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量．经典例题1例题 （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. （24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ）经典例题2例题 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ）小试牛刀1 A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 （24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 （24-25高一下·全国·课前预习）定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 .小试牛刀3 【题型2：向量的模长】 （24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.经典例题1例题    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．经典例题2例题 (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． （24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．小试牛刀1 (1)作出，，，； (2)求的模． （23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． （24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量．小试牛刀3 (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【题型3：零向量与单位向量】 【多选题】（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ）经典例题1例题 A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 （24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．有无数个 B．与可能反向 C． D． （23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？小试牛刀1 （23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量小试牛刀2 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． （21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【题型4：相等向量】 （24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：经典例题1例题    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：经典例题2例题 (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. （24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量.小试牛刀1 （2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.小试牛刀2      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ （24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 .小试牛刀3 【题型5：平行向量与共线向量】 （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：经典例题1例题 (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【多选题】（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ）经典例题2例题 A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 （2026高三·全国·专题练习）设是非零向量，则是成立的（　　）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的 条件．小试牛刀2 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．5 D．25 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 6．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 7．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 9．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 11．（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 12．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 13．（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 14．（24-25高一下·陕西榆林·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量是一个单位向量 D．零向量没有方向 三、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 16．（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 四、判断题 18．（2026高三·全国·专题练习）若向量与同向，且，则.( ) 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学常考题型归纳 【6.1：平面向量的概念】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.向量的定义 知识点：既有大小，又有方向的量叫做向量；只有大小，没有方向的量叫做数量（也叫标量） 易错辨析：①混淆向量与数量的核心区别，误认为“有大小的量就是向量”，忽略“方向”这一关键要素（如“路程”是数量，“位移”是向量）；②误将向量的“大小”与“方向”割裂，认为方向不影响向量的判定，实际上两个向量必须大小和方向都确定，才能区分异同 重点记忆：向量的两大核心要素——大小（也叫模长）和方向，二者缺一不可；常见向量：位移、速度、力、加速度等，常见数量：路程、长度、质量、温度、时间等 常考结论：①数量可以比较大小，向量不能比较大小（只能比较模长的大小）；②若一个量既有大小又有方向，一定是向量；若只有大小没有方向，一定是数量 2.向量的几何表示 知识点：用一条有向线段来表示向量，这条有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向；有向线段的起点叫做向量的起点，终点叫做向量的终点，记作（起点为A，终点为B），读作“向量AB” 易错辨析：①误认为“有向线段就是向量”，实则有向线段是向量的几何表示，不是向量本身（向量可以脱离有向线段存在，如多个有向线段只要大小、方向相同，就表示同一个向量）；②书写有向线段时，误将起点和终点颠倒（如与是相反向量，不能混淆） 重点记忆：①有向线段的三要素：起点、方向、长度，与向量的三要素（起点可任意，大小、方向固定）不完全一致；②向量的模长（大小）记作，读作“向量AB的模”，模长是数量，可以比较大小 常考结论：①若两条有向线段的大小、方向完全相同，无论起点是否相同，都表示同一个向量；②有向线段的起点不同，但大小、方向相同，对应的向量是相等向量 3.向量的字母表示 知识点：①用小写英文字母加箭头表示，如、、，读作“向量a”“向量b”“向量c”；②手写时，必须在字母上方标注箭头（如），不能省略；印刷时，可用粗体字母表示（如a、b、c） 易错辨析：①手写时省略字母上方的箭头（如将写成a），混淆向量与数量；②印刷体与手写体混淆，误将印刷体的粗体a，手写为普通a 重点记忆：①向量的字母表示核心是“体现方向”，箭头不可省略（手写）；②模长表示：向量的模长记作，读作“向量a的模”，是数量，非向量 常考结论：①，当且仅当为零向量时，；②若，只能说明两个向量的模长相等，不能说明两个向量相等（还需方向相同） 4.零向量 知识点：长度为0的向量叫做零向量，记作（手写时为，印刷时为粗体0）；零向量的方向是任意的，模长 易错辨析：①混淆零向量与数量0，误将写成0（是向量，有方向；0是数量，无方向）；②误认为“零向量有固定方向”，实则零向量的方向任意，可与任意向量平行 重点记忆：①零向量的唯一特征：模长为0，方向任意；②书写零向量时，必须标注箭头（），不能写成普通的0；③零向量与任意向量的特殊关系：平行、垂直（后续衔接） 常考结论：①只有零向量的模长为0，所有非零向量的模长都大于0；②零向量与任意向量平行（共线）；③（零向量的相反向量是它本身） 5.单位向量 知识点：长度（模长）为1的向量叫做单位向量；若是一个非零向量，则与同向的单位向量记作，且 易错辨析：①误认为“单位向量都相等”，实则单位向量只有模长都为1，方向可以不同（方向不同的单位向量不是相等向量）；②误将“模长为1的数量”当作单位向量，忽略单位向量的方向属性 重点记忆：①单位向量的核心特征：模长，方向任意；②任意非零向量都有且只有两个单位向量：一个与它同向，一个与它反向；③单位向量的计算公式（核心）：（非零向量） 常考结论：①若是单位向量，则，反之，若，则是单位向量；②与反向的单位向量为 6.相等向量 知识点：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；若向量与相等，记作 易错辨析：①只考虑模长相等，忽略方向相同，误将“模长相等的向量”当作相等向量；②误认为“起点相同、终点相同的向量才是相等向量”，实则相等向量与起点无关，只要模长和方向相同，无论起点在哪里，都是相等向量 重点记忆：①相等向量的两个必备条件（缺一不可）：模长相等（）、方向相同；②相等向量的传递性：若，，则；③相等向量与起点、终点的位置无关，只与大小和方向有关 常考结论：①若两个向量相等，则它们的模长一定相等，方向一定相同；②若两个向量的模长相等但方向不同，一定不是相等向量；③所有零向量都相等（） 7.相反向量 知识点：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量；若向量的相反向量记作，则；有向线段的相反向量是，即 易错辨析：①只考虑方向相反，忽略模长相等，误将“方向相反的向量”当作相反向量；②误将的模长当作负数，实则（模长是数量，非负）；③混淆相反向量与相等向量，误认为（只有时成立） 重点记忆：①相反向量的两个必备条件（缺一不可）：模长相等（）、方向相反；②相反向量的核心关系：（一个向量的相反向量的相反向量是它本身）；③零向量的相反向量是它本身（） 常考结论：①若，则；②若与是相反向量，则，反之，若，则；③，且与平行（共线） 8.平行向量（共线向量） 知识点：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量；若向量与平行（共线），记作；规定：零向量与任意向量平行（共线），即（为任意向量） 易错辨析：①忽略“非零向量”这一前提，误将“方向相同或相反的向量”都当作平行向量（零向量与任意向量平行，单独的零向量无需考虑方向）；②误认为“平行向量（共线向量）一定在同一条直线上”，实则平行向量只需方向相同或相反，与是否共线无关（可以在同一条直线上，也可以平行但不共线）；③混淆“平行向量”与“相等向量”，误认为“平行向量就是相等向量”（相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量） 重点记忆：①平行向量（共线向量）的核心特征：方向相同或相反（非零向量），与模长无关；②零向量的特殊规定：零向量与任意向量平行（共线），这是考试高频易错点；③平行向量（共线向量）的表示方法：用“”表示，不能用“=”表示（除非同时满足相等条件） 常考结论：①平行向量的传递性：若，，则（注意：若，则传递性不成立，因为零向量与任意向量平行）；②相等向量一定是平行向量，相反向量也一定是平行向量；③若两个非零向量平行，则它们的方向要么相同，要么相反；④任意两个非零平行向量，都可以表示为（为非零实数，后续衔接数乘运算） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面向量的概念及表示】 （24-25高一下·全国·课前预习）（1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量．经典例题1例题 （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 【答案】 大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 || （24-25高一下·河南开封·月考）下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ）经典例题2例题 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A （24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ）小试牛刀1 A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【分析】根据向量的定义判定. 【详解】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D （24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． （24-25高一下·全国·课前预习）定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 .小试牛刀3 【答案】有向线段 【题型2：向量的模长】 （24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.经典例题1例题    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．经典例题2例题 (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． （24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．小试牛刀1 (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． （23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：小试牛刀2 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. （24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量．小试牛刀3 (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 【题型3：零向量与单位向量】 【多选题】（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ）经典例题1例题 A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． （24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ）经典例题2例题 A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． （23-24高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？小试牛刀1 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． （23-24高一下·全国·课前预习）向量的模及两个特殊向量小试牛刀2 （1）向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的 (或称模)，记作 ． （2）零向量：长度为 的向量，记作. （3）单位向量：长度等于 的向量． 【答案】 长度 0 1个单位长度 【分析】根据向量模、零向量、和单位向量的定义内容以及表示方法填写即可. 【详解】向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作； 零向量：长度为0的向量，记作； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 故答案为：长度；；0；1个单位长度 （21-22高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ）小试牛刀3 A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【详解】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 【题型4：相等向量】 （24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：经典例题1例题    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【答案】(1)与相反的向量有，，；与相反的向量有， (2)相等的向量为，，相等的向量为 【分析】运用相等向量，相反向量概念可解. 【详解】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. （24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：经典例题2例题 (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． （24-25高一上·上海·课堂例题）如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量.小试牛刀1 【答案】，，. 【分析】根据几何性质得到向量之间的关系，结合相等向量的概念即可直接得到答案. 【详解】∵分别是各边的中点， ∴，，，，， ∴；；. （2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.小试牛刀2      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    （24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 .小试牛刀3 【答案】平行四边形 【分析】根据向量相等的概念可得结果. 【详解】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 【题型5：平行向量与共线向量】 （24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：经典例题1例题 (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 【多选题】（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ）经典例题2例题 A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. （2026高三·全国·专题练习）设是非零向量，则是成立的（　　）小试牛刀1 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C （25-26高二上·河北·期中）四边形中，“”是“是梯形”的 条件．小试牛刀2 【答案】充分不必要 【分析】根据共线向量的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立， 若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立. 所以“”是“是梯形”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【分析】对变形，然后结合计算. 【详解】由，所以，于是，所以． 故选：A. 4．（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 6．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量、向量模长、相等向量与相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 7．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 8．（2025高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 9．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知 且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 10．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 二、多选题 11．（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 12．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 13．（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 14．（24-25高一下·陕西榆林·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】BC 【分析】根据单位向量、共线向量及零向量的定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，错； B：由向量、向量的方向相反、模长相同，即长度相等，对； C：对于任意非零向量，表示与同向的单位向量，对； D：根据零向量的定义，其方向任意，错. 故选：BC 三、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】4个． 【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们标注一些点， 由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个． 16．（24-25高一下·全国·课前预习）已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地． (1)作出向量，，，； (2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？ 【答案】(1)答案见解析 (2)地在地的东南方向，距地 【分析】（1）根据向量的定义即可求解， （2）根据三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，作出向量，，，，如图所示．    （2）依题意知，为正三角形，所以． 又因为，， 所以为等腰直角三角形，则，， 所以地在地的东南方向，距地． 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 四、判断题 18．（2026高三·全国·专题练习）若向量与同向，且，则.( ) 【答案】错误 【分析】根据向量的定义，分析即可得答案. 【详解】向量由大小和方向来确定，故向量不能比较大小，向量的模可以比较大小. 故答案为：错误 1 学科网（北京）股份有限公司 $