专题02 平面向量的运算（思维导图+8大知识点+8大题型）（讲义+精练）-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题02 平面向量的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一： 4 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 4 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 4 知识点三：向量的减法 5 知识点四：数乘向量 5 知识点五：向量共线的条件 6 知识点六： 平面向量的数量积 7 知识点七：向量数量积的性质 8 知识点八：向量数量积的运算律 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一、加法运算 9 题型二、减法运算 10 题型三、与向量的模问题 12 题型四、数乘运算 13 题型五、三点共线问题 14 题型六、数量积的运算 16 题型七、平面向量模的问题 18 题型八、向量垂直与夹角问题 19 05 强化训练 23 知识点一： 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 知识点六： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点七：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点八：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、，则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型一、加法运算 【例题1】化简或计算： (1)； (2)． 【解析】（1）． （2）． 【例题2】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【变式1】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【解析】由题意可得：； 可以推广，推广可得：对于平面上任意个点， 均有. 证明如下： . 【变式2】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【解析】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 【变式3】化简： (1)． (2)． 【解析】（1）. （2）. 题型二、减法运算 【例题3】如图，已知向量，求作向量． 【解析】作图如下． 【例题4】化简： (1)； (2). 【解析】（1）由向量的线性运算法则， 可得. （2）由向量的运算法则，可得. 【变式4】化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）易知； （2）易知； （3）易知 【变式5】化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）． （2）. （3）. 【变式6】化简： (1)； (2)． 【解析】（1）； （2） . 题型三、与向量的模问题 【例题5】已知，求的取值范围． 【解析】解∵， ∴，即的取值范围是． 【例题6】已知|，，求： (1)的范围； (2)若，求的值. 【解析】（1）法一： ∴. 法二： ∴ （2）∵，∴ ∴，∴. ∴. 即. 【变式7】已知单位向量满足，则的范围是 . 【答案】 【解析】设的夹角为， 因为， 又为单位向量，得到， 又，得到，所以， 故答案为：. 【变式8】已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； ， 的取值范围为. 故答案为：. 题型四、数乘运算 【例题7】化简：（1）； （2）. 【解析】（1）. （2）原式. 【例题8】化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【解析】（1）原式； （2）原式． 【变式9】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式10】化简下列各式： (1)． (2)； 【解析】（1） . （2）. 【变式11】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 题型五、三点共线问题 【例题9】已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【解析】与反向共线，则存在实数k使（）， 于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 【例题10】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【解析】因为与共线， 所以， 解得：， 故选：A 【变式12】已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 【变式13】已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 【变式14】已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由向量，，， 可得，， 因为三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 题型六、数量积的运算 【例题11】已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 【例题12】已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 【变式15】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 【变式16】已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【解析】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 【变式17】在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【答案】D 【解析】由题意可得， 所以. 故选：D. 题型七、平面向量模的问题 【例题13】已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 【例题14】已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式18】已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【答案】B 【解析】因为，，， 所以. 故选：B. 【变式19】已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】由题可知：， . 故选：B 题型八、向量垂直与夹角问题 【例题15】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D 【例题16】已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【解析】（1）， 所以 . （2）. 【变式20】设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【解析】（1）由，可得， 因，则有， 又与有公共点，故A、B、D三点共线. （2）依题意，设，则得，解得， 当时，，， 此时显然有，符合题意； 当时，，， 此时显然有，符合题意. 故时，和 共线. （3）因，，则. 由题意，可得且与不共线， 由，即， 故，解得或； 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 综上，λ的取值范围为. 【变式21】已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 【解析】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 【变式22】如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【解析】（1）因为， ， ， ，，， 所以，所以. （2）设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 【变式23】已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 1．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 2．（2023高三·北京海淀·专题练习）已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为为单位向量，所以两边平方得， 所以，而，所以为0或锐角， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：B. 3．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 4．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 所以， 即， 又，， 所以，所以. 因为，则， 所以，代入上式可得： 同理， 代入可得： 如图所示，，，，， 所以即. 故选：D 5．（25-26高三上·河南安阳·月考）已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 6．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与的夹角为， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，∵， ∴． 故选：D． 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 8．（2025高一·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设，，，． 由极化恒等式得，求得， 所以，所以． 设，，则， 点在以点为圆心，半径为的圆上，所以， 即， 故选:A． 9．（多选题）（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，， ，. 故选：ACD 10．（多选题）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】BD 【解析】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 11．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【解析】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 12．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【答案】 【解析】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 【答案】/ 【解析】因为，且， 所以，所以， 因为，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【解析】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【解析】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 16．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【解析】（1）由题意可知，， 则； （2）； （3）， 则， 因，则， 故与的夹角为 17．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在平面直角坐标系中，点、、在以原点为圆心半径为1的圆上，并且满足：在轴的正半轴上，在第一象限中，在第二象限中且横坐标是.记，为锐角，为钝角. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）由题意，可知，因为， 故可设点的坐标为，则有，所以， 又为锐角，在第一象限，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，且在第二象限， 所以，则， 所以； （2）由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 18．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【解析】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 19．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【解析】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一： 4 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 4 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 4 知识点三：向量的减法 5 知识点四：数乘向量 5 知识点五：向量共线的条件 6 知识点六： 平面向量的数量积 7 知识点七：向量数量积的性质 8 知识点八：向量数量积的运算律 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一、加法运算 9 题型二、减法运算 10 题型三、与向量的模问题 11 题型四、数乘运算 11 题型五、三点共线问题 13 题型六、数量积的运算 13 题型七、平面向量模的问题 14 题型八、向量垂直与夹角问题 14 05 强化训练 16 知识点一： 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 知识点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 知识点三：向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 知识点四：数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点五：向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 知识点六： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： 1、两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． （2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． （3）在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． 2、投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 3、投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 知识点七：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点八：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点诠释： 1、已知实数、、，则．但是； 2、在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 题型一、加法运算 【例题1】化简或计算： (1)； (2)． 【例题2】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【变式1】已知A、B、C、D、E是平面上任意五个点，求证：．这个结果可以推广到更多点的情况吗？ 【变式2】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【变式3】化简： (1)． (2)． 题型二、减法运算 【例题3】如图，已知向量，求作向量． 【例题4】化简： (1)； (2). 【变式4】化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5】化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【变式6】化简： (1)； (2)． 题型三、与向量的模问题 【例题5】已知，求的取值范围． 【例题6】已知|，，求： (1)的范围； (2)若，求的值. 【变式7】已知单位向量满足，则的范围是 . 【变式8】已知，，则的范围是 . 题型四、数乘运算 【例题7】化简：（1）； （2）. 【例题8】化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【变式9】化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式10】化简下列各式： (1)． (2)； 【变式11】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 题型五、三点共线问题 【例题9】已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【例题10】已知向量不共线，与共线，则实数的值为（    ） A． B．2 C．6 D． 【变式12】已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式13】已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式14】已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 题型六、数量积的运算 【例题11】已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例题12】已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【变式15】在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【变式16】已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【变式17】在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 题型七、平面向量模的问题 【例题13】已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【例题14】已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式18】已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【变式19】已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 题型八、向量垂直与夹角问题 【例题15】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【例题16】已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【变式20】设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 【变式21】已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 【变式22】如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. (1)求线段的长度， (2)求的值. 【变式23】已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 2．（2023高三·北京海淀·专题练习）已知向量是两个单位向量，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023高三·全国·专题练习）向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南安阳·月考）已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北孝感·月考）已知非零向量满足，且，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知平面向量满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9．（多选题）（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若非零向量，满足，则 11．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 12．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 13．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非零向量、满足，且，则与的夹角为 （用弧度表示）． 14．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 15．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 16．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 17．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在平面直角坐标系中，点、、在以原点为圆心半径为1的圆上，并且满足：在轴的正半轴上，在第一象限中，在第二象限中且横坐标是.记，为锐角，为钝角. (1)求的值； (2)求的值. 18．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 19．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $