第01讲 平面向量的概念及加减运算 寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的概念及加减运算 教学目标 1．理解平面向量的相关概念，掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念，理解两个向量相等的含义以及向量的加减运算的法则； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系； 难点：向量之间加减运算的法则，特别是向量的减法法则。 教学内容 平面向量的概念及加减运算 知识点一：平面向量的相关概念 一、向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的表示法 （1）有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． （2）向量的表示方法：①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 三、向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等；③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.规定：与任一向量共线. 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一：平面向量的概念与表示 【例1】下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【变式训练】 1．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 2．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 题型二：向量的几何表示与向量的模 【例2】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． （1），点A在点O的正西方向； （2），点B在点O的北偏西方向； （3）根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【变式训练】 1．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 题型三：零向量与单位向量 【例3】下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 题型四：相等向量与平行向量（共线向量） 【例4-1】如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    （1）与模长相等的向量有多少个？ （2）写出与相等的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请列出与相等的向量． 【例4-2】（多选）下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【变式训练】 1．（多选）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 知识点二：平面向量的加法运算 一、平面向量的加法运算 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的 三角形法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 二、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 三、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：. 题型五：平面向量的加法运算 【例5-1】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则或平行四边形法则作出向量． （1）   （2）   （3）   【例5-2】如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心. （1）化简； （2）化简； （3）化简； （4）求向量的模. 【变式训练】 1．设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： （1）； （2）； （3）． 2．如图所示，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点三：向量的减法运算 一、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. 二、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 三、向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则. 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 题型六：平面向量的减法运算 【例6-1】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【例6-3】如图，已知向量 （1）用表示； （2）用表示； （3）用表示； （4）用表示； （5）用表示 【变式训练】 1．如图，四边形ABCD中，设，，，试用，，分别表示，． 2．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3．向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 4．下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 1．下列说法中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 3．如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ） 5．化简等于（ ） A． B． C． D． 6．化简后等于（ ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 8．在平行四边形中，若，则四边形的形状为__________. 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. （1）找出与相等的向量； （2）找出与共线的向量. 10．化简下列各式： （1）； （2）． 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的概念及加减运算 教学目标 1．理解平面向量的相关概念，掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念，理解两个向量相等的含义以及向量的加减运算的法则； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系； 难点：向量之间加减运算的法则，特别是向量的减法法则。 教学内容 平面向量的概念及加减运算 知识点一：平面向量的相关概念 一、向量的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的表示法 （1）有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． （2）向量的表示方法：①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 三、向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． （3）单位向量：长度等于1个单位的向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等；③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 四、向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）.规定：与任一向量共线. 注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 题型一：平面向量的概念与表示 【例1】下列四个命题正确的是（    ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【解题思路】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案． 【解答过程】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同； 若与不共线，则与都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线； 共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量； 两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移． 故选：B． 【变式训练】 1．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【解题思路】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【解答过程】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选：A． 2．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【解题思路】根据向量的概念，逐项判断. 【解答过程】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确． 故选D． 题型二：向量的几何表示与向量的模 【例2】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． （1），点A在点O的正西方向； （2），点B在点O的北偏西方向； （3）根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【变式训练】 1．在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【详解】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 2．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． （1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）； （2）求的模． 【答案】（1）作图见解析（2） 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 题型三：零向量与单位向量 【例3】下列说法正确的是（    ） A．单位向量均相等 B．单位向量 C．零向量与任意向量平行 D．若向量，满足，则 【答案】C 【解析】对于A：单位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的.故选：C 【变式训练】 1．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【解析】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C. 题型四：相等向量与平行向量（共线向量） 【例4-1】如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    （1）与模长相等的向量有多少个？ （2）写出与相等的向量有哪些？ （3）与共线的向量有哪些？ （4）请列出与相等的向量． 【答案】（1）有9个；（2），；（3），，，，，，；（4） 【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且，所以与相等的向量为. 【例4-2】（多选）下列命题中正确的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断A；根据相反向量的定义可判断B；根据向量的概念可判断C；根据平行向量和相等向量的定义可判断D. 【详解】A，由平行向量和共线向量可知，故A正确； B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故B错误； C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故C错误； D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，故D正确. 故选：AD. 【变式训练】 1．（多选）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由正六边形的结构特征可知， 与方向相同，长度相等，，故选项A正确， 与方向相反，，故选项B正确， 由正六边形的性质可知，，故选项C正确， 与不共线，所以不会相等，故选项D错误，故选：ABC． 2．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】BD 【解析】．若，则方向不一定相同，即两向量不一定相等，故不正确； ．，则，正确； C.，则与不能比较大小； ．，则，因此正确． 故选：． 知识点二：平面向量的加法运算 一、平面向量的加法运算 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量加法的 三角形法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量加法的 平行四边形法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 二、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 三、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律：. 题型五：平面向量的加法运算 【例5-1】如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则或平行四边形法则作出向量． （1）   （2）   （3）   【解析】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.    （2）解：作，，，则即为所求作的向量.    （3）解：作，，，则即为所求作的向量.        【例5-2】如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心. （1）化简； （2）化简； （3）化简； （4）求向量的模. 【答案】（1）（2）（3）（4）2 【解析】（1）解：根据向量的平行四边形法则得； （2）解：根据题意，，所以； （3）解：因为，所以； （4）解：因为，所以， 所以 【变式训练】 1．设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 2．如图所示，求： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 知识点三：向量的减法运算 一、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量. 二、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 三、向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则. 即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 题型六：平面向量的减法运算 【例6-1】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的运算法则可得结果. 【详解】易知. 故选：B 【例6-2】化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 【例6-3】如图，已知向量 （1）用表示； （2）用表示； （3）用表示； （4）用表示； （5）用表示 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】（1）. （2）. （3） （4）. （5） 【变式训练】 1．如图，四边形ABCD中，设，，，试用，，分别表示，． 【答案】，. 【解析】由题图知：， 又，所以. 2．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【解答过程】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B. 3．向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【解答过程】. 故选：D. 4．下列各式化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加减法运算法则求解. 【解答过程】对于A，因为，A错误， 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：D. 1．下列说法中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量的概念可判断D. 【解答过程】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确; 若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确; 向量不能比较大小,C不正确; 若，则,D,不正确. 故选：B. 2．下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【解题思路】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【解答过程】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 3．如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加法、减法法则可判断各选项. 【解答过程】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：B． 4．已知正方形的边长为1，，，，则等于（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】 因为，，，所以． 故选：A． 5．化简等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 故选：B. 6．化简后等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 .故选：A 7．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 【解题思路】A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断. 【解答过程】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误； B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误； C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有， 若，则，则四边形是平行四边形，故正确； D.由零向量的规定，知正确． 故选：CD. 8．在平行四边形中，若，则四边形的形状为__________. 【答案】矩形 【详解】 解：根据向量加法的平行四边形法则得， 向量减法的三角形法则得， 因为，即， 所以平行四边形的对角线相等， 所以该平行四边形为矩形.故答案为：矩形 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. （1）找出与相等的向量； （2）找出与共线的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【解答过程】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 10．化简下列各式： （1）； （2）． 【解题思路】（1）由向量的加减法运算即可得答案； （2）由向量的加减法运算即可得答案. 【解答过程】（1）． （2）. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $