6.2.1-6.2.3向量的加法，减法，数乘运算【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.1-6.2.3向量的加法，减法，数乘运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.2.1向量的加法 1.向量加法的定义 知识点：求两个向量和的运算，叫做向量的加法；已知两个非零向量、，在平面内任取一点A，作，再作，则向量叫做与的和，记作，即 易错辨析：①误认为“向量加法是模长相加”，忽略方向对和向量的影响（和向量的模长不一定等于两个向量模长之和）；②零向量与非零向量加法时，误将算成或，混淆向量与数量 重点记忆：①向量加法的核心是“首尾相接”（后续三角形法则基础）；②零向量与任意向量相加，仍得这个向量，即；③两个向量相加，结果仍是向量，既有大小，又有方向 常考结论：①若两个向量同向，则和向量的方向与这两个向量方向相同，模长等于两个向量模长之和，即；②若两个向量反向，则和向量的方向与模长较大的向量方向相同，模长等于两个向量模长之差的绝对值，即 2.向量加法的三角形法则 知识点：已知两个向量、，任取一点A，作，再以B为起点，作，则以A为起点、C为终点的向量就是，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 易错辨析：①运用三角形法则时，误将第二个向量的起点与第一个向量的终点断开，未做到“首尾相接”；②多个向量相加时，混淆运算顺序，导致和向量求解错误（三角形法则可连续运用，首尾依次相接） 重点记忆：①三角形法则的核心口诀：“首尾相接，起点接终点”；②三角形法则适用于任意两个向量相加，包括同向、反向、不共线向量；③多个向量相加（如），可连续运用三角形法则，依次首尾相接，最终和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 常考结论：①三角形法则中，和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；②若，，则，反之，，，可由和向量推导分向量 3.向量加法的平行四边形法则 知识点：已知两个不共线的非零向量、，任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线向量就是与的和，这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 易错辨析：①平行四边形法则误用于共线向量（共线向量无法构成平行四边形，只能用三角形法则求和）；②误将平行四边形的对角线当作和向量，混淆和向量的起点（和向量起点必须与两个分向量起点一致） 重点记忆：①平行四边形法则的核心口诀：“起点相同，对角线为和”；②适用条件：仅适用于不共线的两个非零向量相加（共线向量只能用三角形法则）；③两个分向量的起点必须重合，才能以它们为邻边作平行四边形，和向量的起点与分向量起点相同 常考结论：①平行四边形法则中，另一条对角线（后续减法铺垫）；②若与垂直，则平行四边形为矩形，和向量的模长满足；③平行四边形法则与三角形法则求不共线向量和的结果一致 4.向量加法的运算律 知识点：①交换律：两个向量相加，交换加数的位置，和不变，即；②结合律：三个向量相加，先把前两个向量相加，或者先把后两个向量相加，和不变，即 易错辨析：①多个向量相加时，忽略结合律的运用，导致运算繁琐或错误；②误将向量加法的交换律、结合律与数量加法混淆，忽略向量方向的影响（运算律成立但需结合向量加法法则） 重点记忆：①交换律可通过平行四边形法则验证（邻边交换，对角线不变）；②结合律可通过三角形法则验证（连续首尾相接，运算顺序不影响最终和向量）；③多个向量相加，可利用运算律调整顺序，简化运算（如将同向向量先相加） 常考结论：①任意多个向量相加，运算律均成立，可任意调整运算顺序和分组；②若，则这n个向量首尾依次相接，可构成一个封闭的多边形；③利用运算律可推导： 二、6.2.2向量的减法 1.向量减法的定义 知识点：向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；若，则向量叫做与的差，记作，即 易错辨析：①误认为“向量减法是模长相减”，忽略方向的影响（差向量的模长不一定等于两个向量模长之差）；②混淆向量减法与数量减法，误将写成（二者互为相反向量）；③零向量减法误算，如将算成，实际为 重点记忆：①减法的核心口诀：“减向量，加相反”；②零向量减去任意向量，结果为该向量的相反向量，即；③任意向量减去自身，结果为零向量，即；④差向量仍是向量，既有大小，又有方向 常考结论：①（差向量的相反向量等于被减向量与减向量互换后的差向量）；②若与同向，则；③若与反向，则 2.向量减法的三角形法则 知识点：已知两个向量、，任取一点O，作，，则向量就是，这种求向量差的方法叫做向量减法的三角形法则 易错辨析：①运用三角形法则时，误将两个向量的起点断开，未做到“起点相同”；②误将差向量的方向搞反，把当作（正确应为）；③求差向量时，混淆被减向量与减向量的位置 重点记忆：①三角形法则的核心口诀：“起点相同，指向被减”；②步骤：先将两个向量的起点移至同一点，再连接两个向量的终点，差向量的方向由减向量的终点指向被减向量的终点；③向量减法的三角形法则适用于任意两个向量相减，包括共线、不共线向量 常考结论：①若两个向量起点相同，则差向量为“被减向量终点-减向量终点”对应的向量；②若，，则；③结合加法法则可推导： 3.向量减法的平行四边形法则（拓展） 知识点：已知两个不共线的非零向量、，任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线向量， 易错辨析：①平行四边形法则误用于共线向量（共线向量无法构成平行四边形，只能用三角形法则求差）；②混淆平行四边形中两条对角线对应的向量，误将和向量当作差向量或反之 重点记忆：①平行四边形法则中，“同向对角线”为和向量（），“反向对角线”为差向量（）；②适用条件：仅适用于不共线的两个非零向量相减；③差向量的起点为减向量的终点，终点为被减向量的终点 常考结论：①若与垂直，则平行四边形为矩形，差向量的模长满足；②平行四边形中，（高频拓展结论） 三、6.2.3向量的数乘运算 1.向量数乘的定义 知识点：实数与向量的积是一个向量，叫做向量的数乘，记作；其大小（模长）为；其方向为：当时，与同向；当时，与反向；当时，，方向任意 易错辨析：①误认为“数乘向量是实数与模长相乘”，忽略方向的变化（的符号决定方向）；②当时，误将的方向与同向；③误将算成实数0，实际为零向量；④混淆与（前者一定非负，后者可正可负） 重点记忆：①数乘的核心：“模长乘绝对值，方向看符号”；②数乘的结果仍是向量，不是实数；③实数与向量不能进行加减运算（如无意义），但可进行数乘运算；④若，则无论为何实数，都有 常考结论：①若，则必有或；②，且（即数乘-1的结果为原向量的相反向量）；③若，则与（、为实数）必共线 2.向量数乘的运算律 知识点：设、为实数，、为向量，则数乘运算满足以下运算律：①结合律：；②第一分配律（实数对向量的分配）：；③第二分配律（向量对实数的分配）： 易错辨析：①运用结合律时，误将实数运算与向量运算混淆，如误算成（实数与向量不能交换位置）；②运用分配律时，漏乘向量，如误算成；③误将合并为（仅当时成立） 重点记忆：①运算律与实数运算律类似，但需注意“实数与向量不能交换”；②多个向量数乘与加法混合运算，可先利用运算律去括号、合并同类项（同类项指方向相同或相反的向量）；③运算时需同时关注模长和方向，优先化简实数系数 常考结论：①利用运算律可化简复杂向量表达式，如；②若，则；③（分配律延伸，可直接运用） 3.向量共线定理（数乘核心应用） 知识点：向量（）与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得 易错辨析：①忽略定理中“”这一前提，误将“存在使得”当作任意两个共线向量的充要条件（若，则为任意向量时均有，但不唯一）；②共线向量判定时，误将写成（需保证）；③误认为“共线向量一定同向”，忽略反向共线的情况（时反向） 重点记忆：①定理核心：“非零向量共线，必能表示为数乘形式，且唯一”；②应用场景：判定两个向量是否共线、证明三点共线（转化为向量共线）、求解向量表达式中的参数；③三点A、B、C共线的充要条件：存在实数，使得（或） 常考结论：①若与共线，且与共线，，则与共线（共线传递性）；②若，（），则，即与共线；③若与不共线，且，则 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量的加法法则】 （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质可得，再利用平行四边形可求. 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. （24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. （24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. （24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用向量加法法则即可求解. 【详解】. 故选：D. （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，且，则实数 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】， ， ． 故答案为：. 【题型2：向量的加法定律】 （25-26高一上·全国·课前预习）向量的加法经典例题1例题 （1）三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点A，作，，作出向量，则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量)．向量与的和向量记作，因此 ．这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 （2）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 ． （3）向量加法的运算律： 交换律： ；结合律： ． 【答案】 三角形法则 平行四边形法则 （24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算：经典例题2例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． （22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】因为为边中点，可得， 又因为，可得. 故选：B. （2024高一·江苏·专题练习）化简：小试牛刀2 (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. （24-25高一下·广西桂林·期中）化简等于 .小试牛刀3 【答案】 【分析】运用向量运算律计算即可. 【详解】 故答案为：. 【题型3：向量的加法在几何中的应用】 （25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）经典例题1例题    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. （25-26高二上·浙江金华·月考）已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的中点公式可得答案. 【详解】因为平行四边形的对角线互相平分，所以既是的中点，又是的中点， 所以， 故选：D （2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则，结合向量的模长即可判断. 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. （24-25高一下·贵州贵阳·月考）设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质及向量线性运算可得解. 【详解】    如图所示，易知点为，，的中点， 所以，，， 所以， 故选：D. （24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中， 在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 【题型4：向量的减法法则】 （24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ）经典例题1例题 A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A （25-26高一上·全国·课前预习）向量的减法经典例题2例题 （1）相反向量：给定一个向量，我们把与这个向量方向 、大小 的向量称为它的相反向量． （2）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 ．平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 ． 【答案】 相反； 相等； ； . （25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ．小试牛刀1 【答案】1 【分析】根据向量减法的运算法则，结合菱形的几何性质可求得正确答案. 【详解】因为四边形为菱形，所以， 又因为，所以是等边三角形，即. 所以. 故答案为：1 （24-25高一下·全国·课前预习）与，之间的关系小试牛刀2 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 【答案】 【分析】根据向量减法的运算法则可得结果. 【详解】由三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得 ，当，共线时取等号. 当，共线，且同向时，有或. 当，共线，且反向时，有. 故答案为：；；；；. （24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 小试牛刀3 【答案】 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【题型5：向量的减法运算定律】 （24-25高一下·江西南昌·期中）化简：经典例题1例题 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. （23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B （23-24高一下·上海·期中）化简 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： （2023高一·全国·专题练习）（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可． 【详解】由题意可得：. 故选：C． 【题型6：向量的减法在几何中的应用】 （24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ）经典例题1例题 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. （24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .经典例题2例题    【答案】2 【分析】应用向量加减法的几何意义化简得，即可得答案. 【详解】由图知. 故答案为：2 （23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形. 【详解】因为， 所以， 因为向量，，，， 所以， 即， 所以，且， 所以四边形ABCD是平行四边形. （23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ）小试牛刀2 A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. （2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 【题型7：向量的数乘运算】 （2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D （25-26高二上·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C （24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. （24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B （24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 【题型8：向量的运算在几何中的应用】 （25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ）经典例题1例题 A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B （25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. （25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B （25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·宁夏陕西·月考）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法、减法运算法则计算即可. 【详解】． 故选：B 2．（24-25高一下·广东东莞·月考）在矩形中，若，，则向量的长度为（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【分析】根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求的模长. 【详解】在矩形中，由，，可得, 故选：A. 3．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 4．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 5．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 【答案】A 【分析】根据向量基本定理得到. 【详解】点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)， 故， 所以. 故选：A 7．（25-26高三上·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 8．（24-25高一下·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 10．（25-26高三上·山东·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减法则以及已知条件建立向量之间的关系. 【详解】由题意得，，又，， ，即， 故选：C. 11．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到，结合图像即可求解. 【详解】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 12．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 13．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 二、多选题 14．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 15．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】ABD 【分析】根据向量共线的特征进行求解. 【详解】根据平面向量的平行四边形或三角形法则， 当与不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 有. 当与同向时有，反之也成立； 当与反向时有，，反之也成立. 故选:ABD. 16．（20-21高一下·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 17．（24-25高三上·湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 【答案】BCD 【分析】根据零向量、单位向量、共线向量的定义，以及向量的性质，逐项判断即可. 【详解】对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； 对于B，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； 对于C，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时，才成立，故C正确； 对于D，由向量相等的定义知结论正确，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 18．（24-25高一下·甘肃·月考）设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 【答案】①③⑤ 【分析】先计算出，对于①，零向量和任意向量平行，①正确；对于②③，利用向量加法法则计算；对于④⑤，利用模长的概念进行判断 【详解】， 对于①，零向量和任意向量平行，，①正确； 对于②③，，②错误，③正确； 对于④，，两者不等，④错误； 对于⑤，，⑤正确. 故答案为：①③⑤ 四、解答题 19．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， ． （2） 20．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.1-6.2.3向量的加法，减法，数乘运算】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.2.1向量的加法 1.向量加法的定义 知识点：求两个向量和的运算，叫做向量的加法；已知两个非零向量、，在平面内任取一点A，作，再作，则向量叫做与的和，记作，即 易错辨析：①误认为“向量加法是模长相加”，忽略方向对和向量的影响（和向量的模长不一定等于两个向量模长之和）；②零向量与非零向量加法时，误将算成或，混淆向量与数量 重点记忆：①向量加法的核心是“首尾相接”（后续三角形法则基础）；②零向量与任意向量相加，仍得这个向量，即；③两个向量相加，结果仍是向量，既有大小，又有方向 常考结论：①若两个向量同向，则和向量的方向与这两个向量方向相同，模长等于两个向量模长之和，即；②若两个向量反向，则和向量的方向与模长较大的向量方向相同，模长等于两个向量模长之差的绝对值，即 2.向量加法的三角形法则 知识点：已知两个向量、，任取一点A，作，再以B为起点，作，则以A为起点、C为终点的向量就是，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 易错辨析：①运用三角形法则时，误将第二个向量的起点与第一个向量的终点断开，未做到“首尾相接”；②多个向量相加时，混淆运算顺序，导致和向量求解错误（三角形法则可连续运用，首尾依次相接） 重点记忆：①三角形法则的核心口诀：“首尾相接，起点接终点”；②三角形法则适用于任意两个向量相加，包括同向、反向、不共线向量；③多个向量相加（如），可连续运用三角形法则，依次首尾相接，最终和向量为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 常考结论：①三角形法则中，和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点；②若，，则，反之，，，可由和向量推导分向量 3.向量加法的平行四边形法则 知识点：已知两个不共线的非零向量、，任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线向量就是与的和，这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 易错辨析：①平行四边形法则误用于共线向量（共线向量无法构成平行四边形，只能用三角形法则求和）；②误将平行四边形的对角线当作和向量，混淆和向量的起点（和向量起点必须与两个分向量起点一致） 重点记忆：①平行四边形法则的核心口诀：“起点相同，对角线为和”；②适用条件：仅适用于不共线的两个非零向量相加（共线向量只能用三角形法则）；③两个分向量的起点必须重合，才能以它们为邻边作平行四边形，和向量的起点与分向量起点相同 常考结论：①平行四边形法则中，另一条对角线（后续减法铺垫）；②若与垂直，则平行四边形为矩形，和向量的模长满足；③平行四边形法则与三角形法则求不共线向量和的结果一致 4.向量加法的运算律 知识点：①交换律：两个向量相加，交换加数的位置，和不变，即；②结合律：三个向量相加，先把前两个向量相加，或者先把后两个向量相加，和不变，即 易错辨析：①多个向量相加时，忽略结合律的运用，导致运算繁琐或错误；②误将向量加法的交换律、结合律与数量加法混淆，忽略向量方向的影响（运算律成立但需结合向量加法法则） 重点记忆：①交换律可通过平行四边形法则验证（邻边交换，对角线不变）；②结合律可通过三角形法则验证（连续首尾相接，运算顺序不影响最终和向量）；③多个向量相加，可利用运算律调整顺序，简化运算（如将同向向量先相加） 常考结论：①任意多个向量相加，运算律均成立，可任意调整运算顺序和分组；②若，则这n个向量首尾依次相接，可构成一个封闭的多边形；③利用运算律可推导： 二、6.2.2向量的减法 1.向量减法的定义 知识点：向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；若，则向量叫做与的差，记作，即 易错辨析：①误认为“向量减法是模长相减”，忽略方向的影响（差向量的模长不一定等于两个向量模长之差）；②混淆向量减法与数量减法，误将写成（二者互为相反向量）；③零向量减法误算，如将算成，实际为 重点记忆：①减法的核心口诀：“减向量，加相反”；②零向量减去任意向量，结果为该向量的相反向量，即；③任意向量减去自身，结果为零向量，即；④差向量仍是向量，既有大小，又有方向 常考结论：①（差向量的相反向量等于被减向量与减向量互换后的差向量）；②若与同向，则；③若与反向，则 2.向量减法的三角形法则 知识点：已知两个向量、，任取一点O，作，，则向量就是，这种求向量差的方法叫做向量减法的三角形法则 易错辨析：①运用三角形法则时，误将两个向量的起点断开，未做到“起点相同”；②误将差向量的方向搞反，把当作（正确应为）；③求差向量时，混淆被减向量与减向量的位置 重点记忆：①三角形法则的核心口诀：“起点相同，指向被减”；②步骤：先将两个向量的起点移至同一点，再连接两个向量的终点，差向量的方向由减向量的终点指向被减向量的终点；③向量减法的三角形法则适用于任意两个向量相减，包括共线、不共线向量 常考结论：①若两个向量起点相同，则差向量为“被减向量终点-减向量终点”对应的向量；②若，，则；③结合加法法则可推导： 3.向量减法的平行四边形法则（拓展） 知识点：已知两个不共线的非零向量、，任取一点O，作，，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线向量， 易错辨析：①平行四边形法则误用于共线向量（共线向量无法构成平行四边形，只能用三角形法则求差）；②混淆平行四边形中两条对角线对应的向量，误将和向量当作差向量或反之 重点记忆：①平行四边形法则中，“同向对角线”为和向量（），“反向对角线”为差向量（）；②适用条件：仅适用于不共线的两个非零向量相减；③差向量的起点为减向量的终点，终点为被减向量的终点 常考结论：①若与垂直，则平行四边形为矩形，差向量的模长满足；②平行四边形中，（高频拓展结论） 三、6.2.3向量的数乘运算 1.向量数乘的定义 知识点：实数与向量的积是一个向量，叫做向量的数乘，记作；其大小（模长）为；其方向为：当时，与同向；当时，与反向；当时，，方向任意 易错辨析：①误认为“数乘向量是实数与模长相乘”，忽略方向的变化（的符号决定方向）；②当时，误将的方向与同向；③误将算成实数0，实际为零向量；④混淆与（前者一定非负，后者可正可负） 重点记忆：①数乘的核心：“模长乘绝对值，方向看符号”；②数乘的结果仍是向量，不是实数；③实数与向量不能进行加减运算（如无意义），但可进行数乘运算；④若，则无论为何实数，都有 常考结论：①若，则必有或；②，且（即数乘-1的结果为原向量的相反向量）；③若，则与（、为实数）必共线 2.向量数乘的运算律 知识点：设、为实数，、为向量，则数乘运算满足以下运算律：①结合律：；②第一分配律（实数对向量的分配）：；③第二分配律（向量对实数的分配）： 易错辨析：①运用结合律时，误将实数运算与向量运算混淆，如误算成（实数与向量不能交换位置）；②运用分配律时，漏乘向量，如误算成；③误将合并为（仅当时成立） 重点记忆：①运算律与实数运算律类似，但需注意“实数与向量不能交换”；②多个向量数乘与加法混合运算，可先利用运算律去括号、合并同类项（同类项指方向相同或相反的向量）；③运算时需同时关注模长和方向，优先化简实数系数 常考结论：①利用运算律可化简复杂向量表达式，如；②若，则；③（分配律延伸，可直接运用） 3.向量共线定理（数乘核心应用） 知识点：向量（）与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得 易错辨析：①忽略定理中“”这一前提，误将“存在使得”当作任意两个共线向量的充要条件（若，则为任意向量时均有，但不唯一）；②共线向量判定时，误将写成（需保证）；③误认为“共线向量一定同向”，忽略反向共线的情况（时反向） 重点记忆：①定理核心：“非零向量共线，必能表示为数乘形式，且唯一”；②应用场景：判定两个向量是否共线、证明三点共线（转化为向量共线）、求解向量表达式中的参数；③三点A、B、C共线的充要条件：存在实数，使得（或） 常考结论：①若与共线，且与共线，，则与共线（共线传递性）；②若，（），则，即与共线；③若与不共线，且，则 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量的加法法则】 （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 .小试牛刀1 （24-25高一下·北京朝阳·期末）在平面四边形中，（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，且，则实数 ．小试牛刀3 【题型2：向量的加法定律】 （25-26高一上·全国·课前预习）向量的加法经典例题1例题 （1）三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量，在该平面内任取一点A，作，，作出向量，则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量)．向量与的和向量记作，因此 ．这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 （2）平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 ． （3）向量加法的运算律： 交换律： ；结合律： ． （24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算：经典例题2例题 (1)； (2)． （22-23高一下·北京延庆·期中）已知是所在平面内的一点，为边中点，且,那么（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2024高一·江苏·专题练习）化简：小试牛刀2 (1)． (2)． （24-25高一下·广西桂林·期中）化简等于 .小试牛刀3 【题型3：向量的加法在几何中的应用】 （25-26高二上·北京·期末）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ）经典例题1例题    A． B． C． D． （25-26高二上·浙江金华·月考）已知点是平行四边形的对角线交点，点是平行四边形所在平面外一点，则 （    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中， 在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：向量的减法法则】 （24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ）经典例题1例题 A．1 B． C． D．2 （25-26高一上·全国·课前预习）向量的减法经典例题2例题 （1）相反向量：给定一个向量，我们把与这个向量方向 、大小 的向量称为它的相反向量． （2）向量减法的三角形法则：一般地，平面上任意给定两个向量，，如果向量满足，则称为与的差，记作 ．平面内任取一点O，作，，作出向量，由于，因此向量就是向量与的差（也称为向量与的差向量），即 ． （25-26高一上·上海黄浦·月考）在菱形中，若，则 ．小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课前预习）与，之间的关系小试牛刀2 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． （24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 小试牛刀3 【题型5：向量的减法运算定律】 （24-25高一下·江西南昌·期中）化简：经典例题1例题 (1)； (2). （24-25高一下·浙江宁波·开学考试）化简 .经典例题2例题 （23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （23-24高一下·上海·期中）化简 ．小试牛刀2 （2023高一·全国·专题练习）（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：向量的减法在几何中的应用】 （24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ）经典例题1例题 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 （24-25高一下·福建厦门·月考）已知菱形的边长为2，则向量 .经典例题2例题    （23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形．小试牛刀1 （23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ）小试牛刀2 A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 （2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【题型7：向量的数乘运算】 （2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：向量的运算在几何中的应用】 （25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ）经典例题1例题 A．-2 B． C． D．2 （25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ）经典例题2例题 A． B． C．1 D．2 （25-26高三上·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ．小试牛刀1 （25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三上·宁夏陕西·月考）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东东莞·月考）在矩形中，若，，则向量的长度为（    ） A． B． C．12 D．6 3．（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽·月考）在平行四边形中，点E是AD的中点，点F是CD的一个三等分点(靠近点C)，则=（   ） A．+ B．+ C．+ D．- 7．（25-26高三上·北京顺义·月考）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 8．（24-25高一下·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 10．（25-26高三上·山东·月考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，为非零向量，则下列命题中正确的是（   ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 16．（20-21高一下·江苏常州·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·湖北随州·期末）（多选题）下列命题正确的是（    ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若则 三、填空题 18．（24-25高一下·甘肃·月考）设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 四、解答题 19．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，． (1)试用，表示向量，． (2)试用，表示向量． 20．（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $