第02讲 向量的加法、减法、数乘运算（思维导图+4知识点+六大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版

第02讲 向量的加法、减法、数乘运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：向量的加法】 【题型02：向量的减法】 【题型03：向量的数乘】 【题型04：用已知向量表达其他向量（加、减、数乘综合）】 【题型05：向量共线定理及其参数问题（含三点共线）】 【题型06：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2：向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 知识点3：向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点4：向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【题型01：向量的加法】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 2．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）（多选题）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【题型02：向量的减法】 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 2．（24-25高一下·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 4．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【题型03：向量的数乘】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 3．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量． 4．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型04：用已知向量表达其他向量（加、减、数乘综合）】 1．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 4．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【题型05：向量共线定理及其参数问题（含三点共线）】 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，不共线，，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 2．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【题型06：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2．（24-25高一下·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 4．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 6．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 7．（24-25高一下·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．（24-25高一下·四川德阳·月考）（多选题）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河北承德·月考）（多选题）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 12．（24-25高一下·四川绵阳·月考）设a，b是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 ． 13．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 14．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 15．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 向量的加法、减法、数乘运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：向量的加法】 【题型02：向量的减法】 【题型03：向量的数乘】 【题型04：用已知向量表达其他向量（加、减、数乘综合）】 【题型05：向量共线定理及其参数问题（含三点共线）】 【题型06：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的加法运算 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2：向量的减法运算 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 知识点3：向量的数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识点4：向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【题型01：向量的加法】 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 2．（24-25高一下·甘肃定西·月考）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 【详解】由向量加法的平行四边形法则得，． 故选：D. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得. 故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）在如图所示的方格纸中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在方格纸上作出，可得结论. 【详解】如图，根据平行四边形法则，可知，而. 故选：B． 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）（多选题）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 【题型02：向量的减法】 1．（24-25高一·上海·随堂练习）如图，在各小题中，已知，分别求作． 【答案】答案见解析 【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 2．（24-25高一下·天津静海·月考）在中，下列四式中成立的个数为（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则即可得解. 【详解】对于①，，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确； 故选：C. 3．向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 4．是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【分析】根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 【题型03：向量的数乘】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式． 3．（2024高一·江苏·专题练习）若，其中为已知向量，求未知向量． 【答案】 【分析】将向量方程展开，合并同类向量，移项后将的系数化为1即得. 【详解】由可得：， 即，解得：． 4．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：B 【题型04：用已知向量表达其他向量（加、减、数乘综合）】 1．（24-25高一下·北京丰台·期中）如图，在矩形中，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则结合向量的数乘运算即可. 【详解】在矩形中,， 因为为的中点，所以， 则 故选：A. 2．在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意：. 故选：B 3．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算和数乘运算直接求解. 【详解】根据题意，. 故选：D 4．，点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 5．（24-25高一下·广东深圳·期中）若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 【题型05：向量共线定理及其参数问题（含三点共线）】 1．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知向量，不共线，，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量，不共线，所以，解得. 故选：C 2．（24-25高一下·四川雅安·月考）已知向量与不共线，，且三点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线的性质即可求解. 【详解】由于，且三点共线，故， 故， 故选：C 3．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k=（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两个向量共线，且方向相同，列出方程组，求出参数值. 【详解】由题意知，即，解得， 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 5．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算与共线定理即可得出结论. 【详解】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 6．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 【题型06：向量的加法、减法、数乘运算在几何中的应用】 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 2．（24-25高一下·河南·期中）在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由，所以，即，判断的形状． 【详解】因为，所以， 所以，所以，即， 所以的形状是直角三角形． 故选：C． 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 4．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 5．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和向量加法得到可解. 【详解】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 1．（23-24高一下·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； 根据向量减法的三角形法则知，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 2．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在平行四边形中，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】根据向量的线性运算法则，可得. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）若四边形满足，则此四边形为（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为， 所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等， 所以四边形是平行四边形， 故选：B． 4．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解． 【详解】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 5．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 6．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 7．（24-25高一下·湖北·月考）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 若四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（24-25高一下·北京·月考）若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．若O是所在平面内一点，且满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状. 【详解】由，可得，即，， 等式两边平方，化简得，， 因此，是直角三角形. 故选：B. 10．（24-25高一下·四川德阳·月考）（多选题）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·河北承德·月考）（多选题）如图，在正六边形中，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量与向量是平行向量 【答案】AD 【分析】由平面向量加、减法的运算，结合平行向量的定义以及向量模的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，，，由正六边形的性质可知，即，故A正确； 对于B，设正六边形每条边长为，则，故B错误； 对于C，根据平行四边形法则有，与共线但方向相反，故C错误； 对于D，根据平行四边形法则有，与方向相同，故D正确. 故选：AD. 12．（24-25高一下·四川绵阳·月考）设a，b是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量共线的判定定理，列出关系式，求出结果. 【详解】P，Q，R三点共线， ,可得，化简得，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·期中）已知向量与不平行，与平行，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解. 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 14．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算及三点共线的性质即可求解. 【详解】，所以， ， 因为三点共线， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据向量的数乘运算求解； （2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可； （4）（5）根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）； （5） 16．（23-24高一下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算即可求解； （2）由平面向量线性运算得出，且有公共点，即可证明． 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，， 又， 所以． （2）证明：由（1）得，， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $