精品解析：江苏镇江市2025---2026学年上学期期末考试九年级数学试卷

2025~2026学年第一学期初中阶段性学习评价Ⅱ 九年级数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，某比赛场馆开设了、、、四个安检通道．若甲随机选择一个通道进入比赛场馆，则 甲从通道进入比赛场馆的概率是（ ） A. B. C. D. 1 2. 的半径为4，点在外，点到圆心的距离满足的条件是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 某博物馆招聘了10名讲解员，其中23岁的有3人，24岁的有5人，对于这10名讲解员年龄数据的分析，下列统计量确定的是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 极差 D. 平均数 4. 一元二次方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，点，在圆上，若，则的度数为（ ） A. 68° B. 66° C. 64° D. 62° 6. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 7. 已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 8. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 我市今年某五天的空气质量指数为：，，，，，则这组数据的中位数是________． 12. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 13. 用半径为，圆心角为的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_______． 14. 向一个边长为2的正方形中投掷小石子（假设小石子全部投入正方形区域内且投入正方形区域内的每一点是等可能的），那么小石子落在此正方形的内切圆中的概率是________． 15. 通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 16. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0 （1）若此方程有实根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根． 19. 如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． （1）求证：所在直线是的切线； （2）若的直径为6，，求的长． 20. 化学实验课上，李老师带来了三个相同的无标签不透明容器，分别存放（铁）、（锌）、（银）三种金属，小明从中拿了两个不透明容器，得到的两种金属都能与硫酸铜反应置换出铜的概率是多少？请用列表或画树状图的方法求解． （根据金属活动顺序可知：、能与硫酸铜反应置换出铜，而不能与硫酸铜反应置换出铜．） 21. 某校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，各分成、、、四组（用表示成绩分数），组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级20名学生得分在组中的分数为：84，86，86，87，88，89； 八年级20名学生的得分：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的七年级和八年级学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 组所占百分比 七 88 96 八 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（写出一条理由即可）： （3）已知该校七年级有1000人参加测试，八年级有900人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 22. 今年一月某大型冰雪游乐场开业，吸引众多游客前往，游乐场分日场和夜场2个时间段，票价相同，统计表明，当票价为元/人时，每天的日场和夜场平均人数分别为万和万人．票价每降低10元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加万人和万人． （1）若票价降了元/人，则平均每天的日场和夜场的游玩人数共增加______万人（用含的代数式表示）； （2）已知票价不低于元/人，那么怎样定价可使平均每天的门票总收入达到1500万元？ 23. 活动一：有甲、乙两只不透明的袋子，甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，所有这些球除编号外都相同，搅匀后从中任意摸球．记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数． （1）填空：________，________； （2）用列表或画树状图方法求，的值； 小明发现：，，这三者满足等量关系：． 活动二：利用活动一的经验，解决如下问题： （1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是________； （2）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，像这样有放回的先后摸球5次，求至少有1次摸到红球的概率． 24. 有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期初中阶段性学习评价Ⅱ 九年级数学试卷 本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地联合举办，某比赛场馆开设了、、、四个安检通道．若甲随机选择一个通道进入比赛场馆，则 甲从通道进入比赛场馆的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 直接利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：场馆开设了、、、四个安检通道，甲随机选择一个安检通道进入场馆， 总共有4种等可能的结果，甲从通道进入比赛场馆的可能有1种， 则甲从通道进入比赛场馆的概率是． 故选：A． 2. 的半径为4，点在外，点到圆心的距离满足的条件是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径得出结果． 【详解】解：点在外，的半径为4， 点P到圆心的距离， 故选C． 3. 某博物馆招聘了10名讲解员，其中23岁的有3人，24岁的有5人，对于这10名讲解员年龄数据的分析，下列统计量确定的是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 极差 D. 平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，算术平均数，极差和众数，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．已知23岁3人、24岁5人，总10人，剩余2人年龄未知，众数由最高频年龄决定，24岁频数5已超半数，故必为众数且确定，方差、极差、平均数均依赖未知年龄，故不确定． 【详解】解：总人数，已知23岁3人、24岁5人， ∴ 剩余2人年龄未知， ∵ 24岁出现次数5次，大于其他可能年龄的最大出现次数（最多3次）， ∴ 众数确定为24岁， 方差、极差、平均数需所有数据值，故无法确定． 故选：A． 4. 一元二次方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将方程变形为完全平方形式． 详解】解：∵ ∴ ∴（添加一次项系数一半的平方） ∴ 因此，方程可变形为，对应选项B， 故选：B． 5. 如图，为的直径，点，在圆上，若，则的度数为（ ） A. 68° B. 66° C. 64° D. 62° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，根据题意可知，． 【详解】如图所示，连接． ∵为的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：D 6. 下表是小丽参加演讲比赛的得分表，她的总得分是（ ） 小丽 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 80 95 80 权重 A. 86 B. 85.5 C. 86.5 D. 88 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：她的总得分是：（分． 故选：A 7. 已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 8. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用平均数，方差做决策，首先比较平均数，平均数较小的用时较少，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：甲和丙的平均数较小，用时较短 从甲和丙中选择一人参加竞赛， 丙的方差较小， 选择丙参加比赛， 故选：C． 9. 小聪解决了一道拓展题，并把解法教会了名同学，然后所有会做该题的每名同学又各自教会了名同学，这样全班共有人会做该题，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每名同学各自教会了名同学，根据全班共有人会做该题，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设每名同学各自教会了名同学， 根据题意得：． 故选：B． 10. 水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ） A B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或， ， 点是的中点，即， 或． 故选：D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 我市今年某五天的空气质量指数为：，，，，，则这组数据的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握求中位数的方法是解题的关键． 将数据从小到大排列后，取中间位置的数作为中位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，， 数据个数为5，是奇数， 中位数是第3个数据，即． 故答案为：． 12. 将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 13. 用半径为，圆心角为扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_______． 【答案】4 【解析】 【详解】因为圆锥侧面展开图是一个扇形,根据圆锥侧面积公式:(r为圆锥底面半径),因为圆锥的母线长l,即展开扇形的半径,所以展开扇形面积公式:,所以,可得,即,解得r=3,所以圆锥的高h=,故答案为4. 14. 向一个边长为2的正方形中投掷小石子（假设小石子全部投入正方形区域内且投入正方形区域内的每一点是等可能的），那么小石子落在此正方形的内切圆中的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，计算正方形的内切圆面积与正方形面积之比． 【详解】解：如图， 正方形的边长为2，其面积为． 内切圆的半径等于正方形边长的一半，即，面积为． 因此小石子落在此正方形的内切圆中的概率为． 故答案为：． 15. 通过学习，我们知道：若关于的一元二次方程有两个实数根，，则，．已知，，且，则代数式的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式化简与方程构造的综合应用，解题的关键是通过换元构造出同解方程，从而利用韦达定理建立与的关系，再代入代数式化简求值． 由方程和，设，则，令，代入得，与第一个方程同解，故和是方程的两个根，根据根与系数的关系，得和，即和．代入代数式，化简后利用计算． 【详解】解：和， 设，则． 令，代入得，与形式相同， 故和是方程的两个根． 根据根与系数的关系，得： 即： 代入代数式： 由，得， 代入分子：， ∴， 由，得 ，代入分子：， ∴． 16. 如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．当与相切时及当过点时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当与相切时，与矩形的边有三个公共点， 四边形是矩形， ， 与相切， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可设，则， 在中，， ， ， ； 解：如图，当过点时，与矩形的边有三个公共点， 设，则， 在中，， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； 故答案为：或2． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）采用直接开平方法求解即可； （2）采用因式分解法求解即可． 小问1详解】 解：， 所以，； 【小问2详解】 解： 或 所以，． 18. 已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+2）x+m2﹣3＝0 （1）若此方程有实根，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）由（1）得到m的最小整数，可得方程为x2+2x+1=0，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）∵一元二次方程x2﹣4（2m+2）x+m2﹣3=0有实根，∴△=（2m+2）2﹣4（m2﹣3）=8m+16≥0，∴m≥﹣2； （2）m满足条件的最小值为m=﹣2，此时方程为x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时方程没有实数根． 19. 如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． （1）求证：所在直线是的切线； （2）若的直径为6，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，可得，利用等腰三角形的性质和角之间的等量代换，易证，即可证明； （2）设，根据线段之间的关系，求出，再根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 所在直线是的切线； 【小问2详解】 解：设，则， 的直径为6， 半径， 则， 在中，， 则，解得， 答：的长为4． 20. 化学实验课上，李老师带来了三个相同的无标签不透明容器，分别存放（铁）、（锌）、（银）三种金属，小明从中拿了两个不透明容器，得到的两种金属都能与硫酸铜反应置换出铜的概率是多少？请用列表或画树状图的方法求解． （根据金属活动顺序可知：、能与硫酸铜反应置换出铜，而不能与硫酸铜反应置换出铜．） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 先画出树状图，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：树状图如图所示， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可置换出铜的可能有2种， 则． 故得到的两种金属都能与硫酸铜反应置换出铜的概率是． 21. 某校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行整理分析，各分成、、、四组（用表示成绩分数），组：，B组：，C组：，D组：，下面是部分信息： 七年级20名学生的得分在组中的分数为：84，86，86，87，88，89； 八年级20名学生的得分：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的七年级和八年级学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 组所占百分比 七 88 96 八 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（写出一条理由即可）： （3）已知该校七年级有1000人参加测试，八年级有900人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七年级在此次人工智能科普测试中表现更好 （3）估计七、八年级得分在组的共有人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据众数、中位数的定义及百分比的概念求解即可； （2）根据众数、平均数和中位数的意义求解即可； （3）分别用七、八总人数乘样本中组人数所占比例，再相加即可得出答案． 【小问1详解】 解：八年级20名学生的得分中98出现4次，出现的次数最多，故八年级的众数； 七年级20名学生中，组有人，七年级20名学生的得分按从大到小排列，前名都在组，第10名得分89，第11名88，故七年级中位数， 七年级20名学生中，组有人，组有人，组有人，则组有人，故，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：七年级在此次人工智能科普测试中表现更好， 由表知，七、八年级学生成绩的平均数相等，而七年级成绩的中位数大于八年级，组高分段人数更多，所以七年级高分人数多于八年级， 所以七年级在此次人工智能科普测试中表现更好； 【小问3详解】 解：， 答：估计七、八年级得分在组的共有人． 22. 今年一月某大型冰雪游乐场开业，吸引众多游客前往，游乐场分日场和夜场2个时间段，票价相同，统计表明，当票价为元/人时，每天的日场和夜场平均人数分别为万和万人．票价每降低10元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加万人和万人． （1）若票价降了元/人，则平均每天的日场和夜场的游玩人数共增加______万人（用含的代数式表示）； （2）已知票价不低于元/人，那么怎样定价可使平均每天的门票总收入达到1500万元？ 【答案】（1） （2）票价定为元/人 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，审清题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意，计算出平均每天的日场和夜场人数增加的人数，计算即可求解； （2）根据“票价不低于元/人”，列出不等式，求出x的取值范围，再根据“总收入达到1500万元”列出方程，解方程计算即可． 【小问1详解】 解：票价每降低10元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加万人和万人， 当票价每降低1元/人时，则平均每天的日场和夜场人数分别增加万人和万人， 票价降了元/人，平均每天的日场和夜场人数分别增加万人和万人， ； 故答案：； 【小问2详解】 解：设降价元/人， 票价不低于元/人， ，解得， 由题意得， 解得：，（舍）． （元）， 答：票价定为300元/人． 23. 活动一：有甲、乙两只不透明的袋子，甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，所有这些球除编号外都相同，搅匀后从中任意摸球．记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数；事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数． （1）填空：________，________； （2）用列表或画树状图的方法求，的值； 小明发现：，，这三者满足等量关系：． 活动二：利用活动一的经验，解决如下问题： （1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是________； （2）一只不透明的袋子中装有3个白球，1个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，像这样有放回的先后摸球5次，求至少有1次摸到红球的概率． 【答案】活动一：（1），；（2），；活动二：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查用列表或画树状图求概率； 活动一：（1）根据概率公式求解即可； （2）先画出树状图，再根据事件的结果求概率即可； 活动二：（1）先求出单次抛掷的结果都是正面朝上的概率是，再根据活动一的结论求解即可； （2）先求出单次不是红球的概率，再根据活动一的结论求解即可． 【详解】活动一： （1）甲袋中放有编号为1，2，3，4，5的5个小球，记事件：在甲袋中任意摸出一个球，编号是偶数有2种情况，； 乙袋中放有编号为6，7，8，9的4个小球，事件：在乙袋中任意摸出一个球，编号是偶数有2种情况，； 故答案为：，； （2）画树状图如图， 在甲、乙两袋中各摸出一个球，共有20种情况，事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号都是偶数有4种情况，； 事件：在甲、乙两袋中各摸出一个球，编号不都是偶数有16种情况，； 活动二：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币4次，单次抛掷的结果都是正面朝上的概率是，则4次抛掷的结果都是正面朝上的概率是； 故答案为：； （2）从3个白球，1个蓝球和2个红球中任意摸出一个球，不是红球的概率是， ∴像这样有放回的先后摸球5次，都不是红球的概率是， ∴至少有1次摸到红球的概率． 24. 有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【解析】 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，，， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心； 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外接圆，点和圆的位置关系，基本作图，正确掌握基本作图的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $