第5章二次函数寒假作业-2025-2026学年苏科版数学九年级下册

（寒假作业）第5章二次函数-2025-2026学年数学九年级下册苏科版 一、单选题 1．下列是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是(        ) A． B． C． D． 3．把抛物线先向左平移3个单位再向下平移4个单位，所得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（    ） A．到之间 B．到0之间 C．1到2之间 D．2到3之间 5．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设每件涨价元，则每星期售出商品的利润随之变化，所得利润．下列结论中正确的是（    ） A．涨价时不存在利润最大 B．自变量的取值范围是 C．当时，最大利润为6000元 D．当定价65元时，利润最大为6250元 8．如图，已知函数与的图象交于两点，当时，的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 9．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 二、填空题 10．二次函数的对称轴是直线 ． 11．二次函数的图象如图所示，则 0．（填“”、“”或“”） 12．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 13．如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为 ． 14．函数的图象如图所示，则 ．      15．已知抛物线中b，c满足．下列四个结论： ①若，则当时，y都随x的增大而减小； ②该抛物线与x轴一定有两个交点； ③当时，y的最小值为，则； ④点，，都在这个二次函数的图象上，且．则n的取值范围是． 其中正确的结论是 (填写序号)． 16．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 三、解答题 17．已知关于的二次函数（是常数）． (1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，三个小正方形的边长均为1，且正方形的边与坐标轴平行，边在x轴的正半轴上，边在y轴的正半轴上，抛物线经过点C和点D．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)将正方形沿x轴向右平移，使点B落在抛物线上，求平移的距离． 19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形，为美化环境，用总长为的篱笆围成四块矩形，其中（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）． (1)若，用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； (2)求矩形的面积关于的解析式，并求出面积的最大值． 20．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，是否为直角？若是，请说明理由． 21．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点，与轴交于点，直线与抛物线相交于、两点，且与轴相交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段的一个动点，过点作轴的平行线与抛物线相交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线与原抛物线交于点，在新抛物线对称轴找一点，在新抛物线找一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出的坐标 ． 22．受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格（元）与周次（是正整数，）的关系可近似用函数刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格（元）从第5周的6元/下降至第6周的元/，与周次（）的关系可近似用函数刻画． (1)求，的值． (2)若前五周该蔬菜的销售量与每周的平均销售价格（元）之间的关系可近似用如图所示的函数图象刻画，第周的销售量与第周相同，求与的函数表达式； (3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值（）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（寒假作业）第5章二次函数-2025-2026学年数学九年级下册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D C D B C A D C B 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义为形如 的函数，其中的最高次数为，据此判断即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：是反比例函数，不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：是三次函数，不是二次函数，故C选项不符合题意； D选项：符合二次函数的定义，是二次函数，故D选项符合题意． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 3．D 【分析】根据函数图像平移规则，根据“左加右减，上加下减”即可求解 本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握基本概念是解题关键． 【详解】原抛物线为 . ∵ 向左平移3个单位， 再向下平移4个单位， ∴ 所得抛物线为 ， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时，，得到当时，，再进一步作答即可． 【详解】解：∵当时，y的值都为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，， ∴当时，， 又∵时，， ∴的一个较小的实数根， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 6．A 【分析】本题考查二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据距离大小判断纵坐标的大小关系． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线． 计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且， ∴； 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，y取得最大值，为6250， 即涨价5元时存在利润最大，为6250元，故A、C选项错误，不符合题意； 此时当定价65元时，利润最大为6250元，故D选项正确，符合题意； 根据题意得：且， 即自变量的取值范围是，故B选项错误，不符合题意； 故选：D 8．C 【分析】本题考查二次函数与不等式，利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．结合图象进行分析可知：当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方，即可求解． 【详解】解：已知两函数图象交于、两点， 由图可知，当或时，对应的函数的图象在函数的图象下方， ∴当时，或． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 10．1 【分析】本题考查二次函数的性质，利用二次函数对称轴公式求解． 【详解】解：二次函数中，，， 则， 则对称轴为直线； 故答案为：1． 11． 【分析】本题考查二次函数图象的性质，解题中用到 “图象分析法”，解题关键是结合图象特征确定a、c的正负性，进而判断的符号．本题先由二次函数图象开口向下，得；再由图象与y轴交于负半轴，得；最后根据 “同号相乘得正”，判断出． 【详解】解：∵由图可知开口向下， ∴． ∵二次函数图象与y轴的交点为，由图可知，图象与y轴交于负半轴， ∴． ∵，， ∴， 故答案为>． 12． 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 13．12 【分析】本题主要考查了一元二次函数的应用及一元二次函数的最值，掌握一元二次函数的最值求法是解题的关键． 设车棚宽度的长为，则车棚长度为，列出一元二次函数，再求最值即可； 【详解】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 14．0 【分析】本题考查了二次函数图象和系数的关系，整式的加减，化简绝对值，灵活运用抛物线的性质是解题的关键． 由抛物线的图象开口向上，交轴于负半轴，以及对称轴的位置，确定判定a、b、c的符号，由图象可知，当时，，当时，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵抛物线的图象开口向上，交轴于负半轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由图象可知，当时，，当时，， ∴原式 ， 故答案为：0． 15．②③ 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数的最值，当时，求出b的值，从而求出抛物线对称轴，根据二次函数的性质即可判断①；根据，从而得出判别式，即可判断②；当y的最小值为时，分三种情况讨论即可得出结论；先根据点，都在这个二次函数的图象上，得出b，c与n的关系，再根据在抛物线上，得出t与n的关系，然后根据对称轴是直线得出结论． 【详解】解：由题意，若， ∴． ∴抛物线的对称轴是直线． 又∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故①错误； ∵， ∴． ∴ ， 又对于任意的实数c，， ∴， ∴抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确； ∵抛物线为， 又， ∴． 又当时，y的最小值为， ∴分以下三种情形． 当时，此时对称轴需满足 ，而由 可得 ，对称轴为 ，与前提矛盾，故该情形不成立； 当时，y的最小值， ∴． ∴，故此时当时取最小值，这与最小值矛盾， ∴不合题意； 当时，y取最小值． ∴或． ∴若，则， 又当时， ∴当时，y取最小值为1，不合题意； 若，则． 又当时， ∴当时，y取最小值为，符合题意； 综上，，． ∴当时，y的最小值为，则，故③正确； ∵点，都在这个二次函数的图象上， ∴抛物线为的对称轴是直线， 又抛物线对称轴为， ． ∴， ∴． ∴抛物线为， 又在抛物线上， ∴， ∴， 由题意，， ， 又， ∴， ∴或，故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③． 16．27 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 抛物线的顶点坐标是， ， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ， 关于x轴对称， 平移后阴影部分的面积等于的面积， ， 故答案为：27． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键． （1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解； （2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解． 【详解】（1）证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数解析式的求解（待定系数法）及图形平移的应用．第(1)问需先确定点和点的坐标，再代入抛物线方程求出和的值；第(2)问需先确定点的初始坐标，再求出抛物线上值为1的点，取右侧的点为平移后的位置，减去初始位置即为平移距离． 【详解】（1）解：由图可知点, 给定抛物线方程为， 代入得到，解得：． 代入得到．解得： 综上所述，抛物线的解析式为． （2）将正方形沿轴向右平移，点的纵坐标不变，仍为1 将 代入抛物线方程: 解得：， 因为点B向右移动，所以落在 点B的初始横坐标为1． 平移距离为． 【点睛】本题通过图形分析确定关键点坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式，再结合图形平移的性质（纵坐标不变），通过代入函数解析式求解平移距离．关键在于准确读取图形中各点的坐标信息，并熟练运用函数与方程的关系解决问题． 19．(1)，的取值范围是 (2)，面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数在图形面积问题中的实际应用，包括二次函数的最值求解，以及利用面积关系推导边长． （1）通过面积相等关系推导的长度，结合篱笆总长确定的取值范围； （2）通过边长表示面积，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：∵四边形，，，都是矩形， ∴，，． ∵， ∴， ∴，即矩形的面积是矩形的， ∴， ∴，即 ∵篱笆的总长为， ∴，即， ， 解不等式组，得 综上，，的取值范围是． （2）由（1）知，，， ∴， ，， ∴当时，有最大值，此时最大值为． 20．(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质、勾股定理的逆定理和两点间的距离，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式． （1）根据抛物线的对称轴以及A点的坐标，可得B点的坐标，再根据A、B的坐标和对称轴，可求出a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，再把B点和C点的坐标代入直线中，求出m、n的值，即可得出一次函数的解析式； （2）设直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，再把代入直线的解析式中，即可求出点的坐标； （3）先求出点D坐标，再分别求出，进而根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，， ， 将对称轴、点C和点A代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 把、代入直线， 得， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：设直线与对称轴的交点为M，连接，如图， A，B两点关于对称轴对称，M在上， ， 则， ∴此时点到点的距离与到点的距离之和最小， 把代入直线得，， ， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； （3）解：是直角，理由如下： 由题意得，当时， ， ∴， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 21．(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】（1）把，代入，求的值即可； （2）先求直线的解析式，设，，求出关于的关系式．延长交轴于点，证明是等腰直角三角形，得到，再求出关于的关系式，即可求解的最大值及此时点的坐标； （3）先求出新抛物线的解析式，设，，分，，为对角线，分类讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 直线与抛物线相交于、两点， ， 解得或， ． 设，， ， 且， ． 如图，延长交轴于点， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． ，开口向下， 该函数图象有最大值， 对称轴为直线， 且在中， 当时，取最大值，为． 把代入中得，， ； （3）解：由题意得新抛物线的解析式为：， 对称轴为轴，即直线， 设，， ①若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ②若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； ③若为对角线， ，解得， 把代入中得，， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数的解析式． 22．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用、求一次函数解析式、一元二次方程的应用，从图象获取准确的信息、理解题意得到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）根据图象取相应点代入对应的函数即可求解； （2）设函数关系式为，根据图象取两个点代入即可求解； （3）由题意列一元二次方程计算出的值，再利用估算法即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：，； （2）解：设函数关系式为， 把代入得：， 解得， 与的函数表达式为； （3）解：当时，， 由题意得： ， 解得：或（舍去）， ∵， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $