第5章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册苏科版

第5章二次函数精选练习-2025-2026学年数学九年级下册苏科版 一、选择题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D．y=2x-1 2．抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的下方，且则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 5．将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（　　） A． B． C． D． 8． 如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线x=1，有以下四个结论：① ab<0，② b < ，③ a=－k ，④ 0.8a+b>k ，其中正确的个数（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是　 　．（不写定义域） 10．抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么　 　0．（填“>”或“<”） 11．若二次函数 当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M-m的值为　 　. 12．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为　 　米． 13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是　 　． 14．如图，二次函数与一次函数y2=mx+c的图象交于点（0，3）和（-3，0），则满足ax2+bx＞mx的x的取值范围为　 　. 15．已知二次函数 和正比例函数 的图象如图所示，则方程 的两根之和　 　O(填“>”“<”或“=”). 16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，且满足a+b+c=0.则下列5个结论： ①该二次函数的图象经过点（1，0）； ②abc＜0； ③若9a+3b+c=0，则此二次函数的对称轴为直线x=2； ④若a＜b＜c，则此二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； ⑤若存在-3＜m＜-2满足am2+bm+c=0，则当x＜-1时，y随着x的增大而减小； 其中正确的结论有　 　（只填写正确的序号即可）. 三、解答题 17．春节前，某厂家准备将一件工艺品投放市场，其成本价为60元/件，在试销过程中发现每天的销量y（件）与售价x（元）满足如图所示的函数关系． （1）写出y与x的函数关系式． （2）春节期间，该商品将正式上市销售，同时厂家规定每天的销售量不低于150件，请你制定一种销售策略：当售价定为多少时商家获得最大利润，并求出最大利润？ 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数的表达式； （2）若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 19．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 20．定义：在平面直角坐标系中一点，点P的纵坐标n与其横坐标m的差称为点P的“影差”．例如：点的“影差”为：． （1）已知二次函数，当，时“影差”值为0． ①求b，c的值； ②求此时该二次函数点“影差”最大值． （2）若二次函数的“影差”最小值为，点M与点N分别是此二次函数图象与x轴和y轴的交点，且点M与点N的“影差”相等，求c的值． 21．如图，抛物线（b为常数）． （1）求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧； （2）当抛物线L经过点时， ①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； ②若时，函数的最大值与最小值的差总为，求n的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】9 12．【答案】6 13．【答案】3 14．【答案】-3＜x＜0 15．【答案】< 16．【答案】①③④ 17．【答案】（1）； （2）当售价定为125时，利润最大，最大利润为9750元． 18．【答案】（1）解：∵， ∴二次函数， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， 综上，； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ∴， 如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当时，取最小值， ∵， ∴此时不符合题意； 如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， ∴ ∴， ∴的值为1． 19．【答案】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）解：水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 20．【答案】（1）①，；②二次函数点“影差”有最大值为4 （2）c的值为1或3 21．【答案】（1）证明：在中，令， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根，即抛物线L一定与x轴有两个交点. 设的根分别为， ， 该一元二次方程有两个异号的实数根，即抛物线L与x轴的两个交点分居在原点的两侧； （2）解：①抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线：， 即 ， ∴L的函数表达式为 ∵． ∴抛物线L的顶点坐标为， 令， 解得：（负数舍去）， ∴抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标． ②与y轴交于点， 则点D关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是，最低点总是， 此时两个点的竖直距离总为：， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 学科网（北京）股份有限公司 $