精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高二上学期第二次质量检测暨数学计算大赛数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测暨数学计算大赛试卷 本训练分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知数列是等比数列，，，则（ ） A. 24 B. －24 C. D. 4 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④ 其中正确有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A B. C. D. 6. 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 12 8. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 11. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 12. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 从小到大排列的前n个正偶数的和为______. 14. 已知数列的前项和为，且，则_________. 15. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 16. 在数列中，，，则______． 17. 过点且以向量为方向向量的直线方程为______；过点且与向量垂直的直线方程为______． 18. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为_____；渐近线方程为_____． 19. 已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答） 20. 已知数列对任意的，都有，且. ①当时，______. ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则______. 三、解答题（共50分） 21. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 22. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 23. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l过点且与椭圆C交于A，B两点，D为上顶点，直线AD，BD分别与x轴交于点，两点. （i）若直线l过点，求三角形的面积； （ii）求证：，2，成等差数列 24. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测暨数学计算大赛试卷 本训练分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知数列是等比数列，，，则（ ） A. 24 B. －24 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项即可求解. 【详解】由于是等比数列，故，因此， 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可. 【详解】根据，可得， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 所以，即，则焦点坐标为， 故选：C. 3. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称点的知识确定正确答案. 【详解】点关于平面的对称点是， 所以点关于平面的对称点B的坐标为. 故选：C 4. 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用法向量的特征可得平面间的关系，利用直线方向向量和法向量的关系可得直线与平面的位置关系，进而可判断正误. 【详解】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确. 故选：B 5. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 6. 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 7. 已知为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前项和即可求解. 【详解】由题意有：， 所以， 故选：D. 8. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件找出数列的通项公式，再得出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，， 则， 所以． 故选：D． 10. 设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析直线与线段相交的条件，解得a的取值范围. 【详解】当时，直线为轴，显然与线段相交； 又， 当时，只需或，所以或. 综上，所以实数的取值范围是. 故选：C. 11. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 12. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】 如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 从小到大排列的前n个正偶数的和为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意从小到大排列的前n个正偶数组成一个等差数列， 所求和为：. 故答案为: 14. 已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系求解即可. 【详解】当时，， 当时，不满足上式， 则. 故答案：. 15. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 【答案】13 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，最后根据几何性质求出周长的最小值. 【详解】因为，故， 记抛物线C的准线为l，则， 记点P到l的距离为d，点到l的距离为， ， 故答案为： 16. 在数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 17. 过点且以向量为方向向量的直线方程为______；过点且与向量垂直的直线方程为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空由直线的方向向量得到斜率，再由点斜式得到直线方程；第二空由直线的法向量与斜率关系得到斜率，再由点斜式得到直线方程； 【详解】第一空：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 第二空：依题意知，所求直线与向量垂直，所以直线的斜率满足，解得，所以直线的方程为，即． 故答案为：； 18. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为_____；渐近线方程为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据直线的垂直关系求出，可得渐近线方程，然后结合离心率公式可求离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线的斜率为，所以，解得， 离心率为， 渐近线方程为. 故答案为：；. 19. 已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等差数列的基本性质，以及等差数列前项和公式，列出方程，求出公差，写出通项公式和前项和公式，进而求出的最小值. 【详解】由可得，解得， 所以，， 可知当或时，取最小值，即 故答案为：，. 20. 已知数列对任意的，都有，且. ①当时，______. ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则______. 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【分析】①根据递推关系写出几项，观察找出周期可求答案；②根据递推关系可设，结合整数乘积的特点可求答案. 【详解】①因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（奇数），所以； 因为（偶数），所以； 因为（偶数），所以； 观察可得，从​开始，数列以4，2，1为周期循环，周期为3. 因为从项开始循环，故是循环部分的第项，，余数为0， 所以是周期中的最后一项，即. ②当（，为奇数）时，为偶数，其后经过次除以2得到下一个奇数， 该奇数也必须为，故有，整理得， 因为，所以必有且，解得，故. 故答案为：； 三、解答题（共50分） 21. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心且圆为，结合所过的点并应用待定系数法求参数，即可得； （2）首先确定直线所过的定点，再判断点圆位置，结合圆的性质和弦长最短确定所求直线与的位置关系，即可得. 【小问1详解】 由题意，设圆心，则圆为（为半径）， 则且，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 已知直线过定点，圆心为， 又，即在圆内， 当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 而，所以，即. 22. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ①平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 23. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l过点且与椭圆C交于A，B两点，D为上顶点，直线AD，BD分别与x轴交于点，两点. （i）若直线l过点，求三角形的面积； （ii）求证：，2，成等差数列. 【答案】（1） （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的基本性质（短轴长、离心率、的关系），通过已知条件建立方程求解即可求出标准方程； （2）（i）通过“弦长公式与点到直线距离公式”计算三角形面积（以为底，到直线的距离为高）； （ii）通过“设直线方程，韦达定理和直线方程求交点”，将的横坐标用交点坐标表示，再化简为定值. 【小问1详解】 因为短轴长为，即， 椭圆离心率，所以， 因为，代入得：，则， 故椭圆的方程为：. 【小问2详解】 （i）直线过点和，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 设，由得， 由韦达定理可知，， 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为. （ii）已知，， ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意； ②当直线斜率为零时，即直线的方程为，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意； ③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即， 由，消元得. 由韦达定理可知， 直线的方程为，直线的方程为， 分别令，解得， 则，其中， 所以， 其中， 所以， 故，2，成等差数列，得证. 24. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $