天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高二上学期第二次质量检测暨数学计算大赛数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测暨数学计算大赛试卷 本训练分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知数列是等比数列，，，则（ ） A. 24 B. －24 C. D. 4 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系，点关于平面的对称点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 0 B. 3 C. D. 12 8. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 设点，，若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 12. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 从小到大排列的前n个正偶数的和为______. 14. 已知数列的前项和为，且，则_________. 15. 已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为_____. 16. 在数列中，，，则______． 17. 过点且以向量为方向向量的直线方程为______；过点且与向量垂直的直线方程为______． 18. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为_____；渐近线方程为_____． 19. 已知是等差数列的前项和，，则的通项公式为__________，的最小值为__________.（用数字作答） 20. 已知数列对任意的，都有，且. ①当时，______. ②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则______. 三、解答题（共50分） 21. 已知圆经过，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线截得圆弦长最短时，求实数的值. 22. 四棱锥，面，，，，，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 23. 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l过点且与椭圆C交于A，B两点，D为上顶点，直线AD，BD分别与x轴交于点，两点. （i）若直线l过点，求三角形的面积； （ii）求证：，2，成等差数列. 24. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测暨数学计算大赛试卷 本训练分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题（每题5分，共60分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 【11题答案】 【答案】B 【12题答案】 【答案】C 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 二、填空题（每题5分，共40分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】13 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 ①. ②. 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 【19题答案】 【答案】 ①. ②. 【20题答案】 【答案】 ①. 1 ②. 1 三、解答题（共50分） 【21题答案】 【答案】（1）； （2）. 【22题答案】 【答案】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2）① ②存在点满足题意， 易知，， 假设存在点满足题意，设，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 【23题答案】 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明:已知，， ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意； ②当直线的斜率为零时，即直线的方程为，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意； ③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即， 由，消元得. 由韦达定理可知， 直线的方程为，直线的方程为， 分别令，解得， 则，其中， 所以， 其中， 所以， 故，2，成等差数列，得证. 【24题答案】 【答案】（1）， （2） （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $