寒假培优：圆柱（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假培优讲义：圆柱 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：认识圆柱的特征，理解圆柱的侧面积、表面积的含义；掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中常见的圆柱形物体（如易拉罐、水杯、柱子等）进行观察；动手制作圆柱模型，理解展开图；通过公式推导和例题练习掌握计算方法。 3.预习重点：圆柱的特征、侧面积与表面积的计算公式及其应用。 4.温馨提示：本讲义内容注重空间想象与实际操作，建议准备纸张、剪刀、胶水等工具，动手“做一做”，帮助理解更深刻。 知识梳理 1、圆柱的认识 （1）生活中的圆柱：生活中许多物体是圆柱形的，如饮料罐、水管、蜡烛、柱子等。它们上下一样粗，两个底面是大小相同的圆。 （2）圆柱的特征： 圆柱有两个完全相同的圆形底面，分别叫上底面和下底面。 两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高，且每条高都相等。 圆柱有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个长方形（或正方形）。 2、圆柱的侧面展开图 （1）展开过程：沿着圆柱的高剪开侧面，会得到一个长方形。 长方形的长 = 圆柱底面的周长（C = 2πr） 长方形的宽 = 圆柱的高（h） 所以，侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积。 3、圆柱的面积计算 （1）侧面积： 圆柱的侧面积计算公式为：侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为S_侧 = 2πr × h 或 S_侧 = πd × h。 （2）表面积： 圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面的面积。 其字母公式表示为：S_表 = S_侧 + 2 × πr²。 （3）说明： 计算时注意单位统一（如半径是厘米，高也用厘米）。 π一般取近似值3.14，题目有要求时按要求取值。 实际问题中，有些圆柱只有一个底面（如水桶、无盖水杯），表面积要根据实际情况调整。 4、生活中的应用举例 制作一个圆柱形纸盒，需要多少纸？→ 求表面积 给一根柱子刷油漆，刷的是哪部分？→ 求侧面积 做一个无盖水桶，需要多少铁皮？→ 求侧面积 + 一个底面积 5、注意事项 （1）圆柱的高是两个底面之间的垂直距离，不是斜高。 （2）侧面展开图一定是沿高剪开才是长方形；斜着剪开是平行四边形，本册不涉及。 （3）计算表面积时，要先判断是否“有盖”，避免多算或少算底面积。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱的底面半径是4 cm，高是10 cm，求它的侧面积。 解析： 底面周长 = 2 × 3.14 × 4 = 25.12（cm） 侧面积 = 周长 × 高 = 25.12 × 10 = 251.2（cm²） 答：它的侧面积是251.2平方厘米。 【跟踪练习】 一个圆柱的底面直径是6 cm，高是8 cm，求它的侧面积。 【典型例题2】 一个圆柱形水杯，底面半径是5 cm，高是12 cm，做这个水杯需要多少平方厘米的材料？（水杯无盖） 解析： 无盖水杯：表面积 = 侧面积 + 一个底面积 侧面积 = 2 × 3.14 × 5 × 12 = 376.8（cm²） 一个底面积 = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） 总面积 = 376.8 + 78.5 = 455.3（cm²） 答：做这个水杯大约需要455.3平方厘米的材料。 【跟踪练习】 一个圆柱形铁皮水桶，底面直径是4 dm，高是6 dm，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（无盖） 【典型例题3】 一个圆柱的侧面积是188.4 cm²，高是10 cm，求它的底面半径。 解析： 侧面积 = 底面周长 × 高 底面周长 = 侧面积 ÷ 高 = 188.4 ÷ 10 = 18.84（cm） 又因为 周长 = 2πr 所以 r = 周长 ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3（cm） 答：它的底面半径是3厘米。 【跟踪练习】 一个圆柱的侧面积是251.2 dm²，高是8 dm，求它的底面直径。 答案及解析 【跟踪练习1答案】 底面直径 = 6 cm → 半径 = 3 cm 底面周长 = 3.14 × 6 = 18.84（cm） 侧面积 = 周长 × 高 = 18.84 × 8 = 150.72（cm²） 答：侧面积是150.72平方厘米。 解析：先求周长，再用“周长×高”求侧面积。 【跟踪练习2答案】 直径 = 4 dm → 半径 = 2 dm 侧面积 = 3.14 × 4 × 6 = 75.36（dm²） 一个底面积 = 3.14 × 2² = 12.56（dm²） 总面积 = 75.36 + 12.56 = 87.92（dm²） 答：至少需要87.92平方分米的铁皮。 解析：无盖水桶，只算一个底面。 【跟踪练习3答案】 侧面积 = 251.2 dm²，高 = 8 dm 底面周长 = 251.2 ÷ 8 = 31.4（dm） 直径 = 周长 ÷ π = 31.4 ÷ 3.14 = 10（dm） 答：底面直径是10分米。 解析：先求周长，再用“周长 ÷ π”求直径。 培优练习 一、选择题 1．一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 【答案】B 【分析】铁块放入盛水容器中，水上升的体积就是铁块的体积，据此解答。 【详解】（cm3） 故答案为：B 2．一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】A 【分析】用水桶的容积乘，求出水的容积，再除以水桶的内底面积，可得到水的高度，再根据1米＝10分米，把单位换算成分米作单位，据此解答。 【详解】（立方米） （米） 2米＝20分米 所以水面的高是20分米。 故答案为：A 3．把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径就是4dm，圆柱的高是4dm，那么底面半径是（dm）；根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可解答。 【详解】底面半径：（dm） 圆柱的体积：（dm3） 故答案为：A 4．一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍 【答案】B 【分析】圆柱的侧面积（d表示直径，h表示高），当圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍时，根据积的变化规律，圆柱的侧面积扩大到原来的倍。 【详解】一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 5．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 【答案】B 【分析】将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了20平方分米，增加了2个长方形，长方形的长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高，则1个长方形的面积是平方分米，则圆柱的底面直径是分米。 【详解】由分析可得： 这根木料的直径是2分米。 故答案为：B 二、填空题 6．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 【答案】 底面积 高 相等 底面积 高 【分析】通过将圆柱切拼成长方体，分析两者之间的关系来得出圆柱体积公式。 如图所示，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积是由圆柱底面的扇形拼接而成，所以长方体的底面与圆柱的底面相等；在切拼过程中，圆柱的高并没有发生变化，所以长方体的高与圆柱的高相等；因为是将圆柱切拼成长方体，物质的量没有增加或减少，所以长方体的体积与圆柱的体积相等。由长方体体积＝底面积×高，且长方体体积与圆柱体积相等，由此推出圆柱的体积公式，据此解答。 【详解】由分析可知，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积与圆柱的体积相等，即圆柱的体积＝底面积×高。 7．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 【答案】3 【分析】圆柱底面积＝体积÷高、圆半径平方＝圆面积÷π、半径×半径＝半径平方，根据这些数量关系解答。 【详解】底面积：（平方米） 圆半径平方：（平方米） 因为：，所以：底面半径是3米。 一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为3m。 8．一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 圆柱 301.44 401.92 【分析】这个长方形以长为轴旋转一周得到的是圆柱，其中长方形的宽就是圆柱底面的半径，长就是这个圆柱的高，根据圆柱的表面积公式：，圆柱的体积公式：，将数据代入到公式中即可得解。 【详解】一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。 （） （） 一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是圆柱。这个立体图形的表面积是301.44，体积是401.92。 9．一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 【答案】113.04 【分析】将一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，圆柱的高等于长方形的长，即4cm，圆柱的底面半径等于长方形的宽，即3cm；根据圆柱的体积公式：，代入数据计算，据此解答。 【详解】（cm3） 因此，一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是113.04cm3。 10．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 【答案】50.24 【分析】正方体棱长为4cm，削成最大圆柱时，圆柱的底面直径等于正方体棱长，高也等于正方体棱长。根据圆柱的体积公式（取3.14，为底面圆的半径，是圆柱的高），圆的半径等于直径的一半。据此解答。 【详解】 （cm） 一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是50.24cm。 三、判断题 11．把一个圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，则体积也扩大到原来的3倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆柱体积公式V＝πr2h以及积的变化规律可知，当圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变时，体积的变化由半径的平方决定，即体积扩大到原来的（3×3）倍。 【详解】3×3＝9 把一个圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，则体积也扩大到原来的9倍。 原题说法错误。 故答案为：× 12．圆柱的侧面展开图不可能是平行四边形。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图如果沿高展开是长方形或正方形，如果不沿高展开，把圆柱的侧面斜着剪开，展开图是平行四边形，据此解答。 【详解】圆柱的侧面斜着剪开，展开图是平行四边形，所以“圆柱的侧面展开图不可能是平行四边形”这一说法错误。 故答案为：× 13．从一段底面半径1分米，长20分米的圆柱形木材上锯下一段长6分米的小圆柱木材，圆柱形木材的表面积就减少了37.68平方分米。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱形木材锯下一段小圆柱后，表面积减少的部分是锯下小圆柱的侧面积。运用圆柱侧面积公式S＝2πrh（r为底面半径，h为高）计算减少的侧面积，据此解答。 【详解】已知底面半径r＝1分米，锯下小圆柱的高h＝6分米，根据圆柱侧面积公式S＝2πrh，可得减少的侧面积为： 2×3.14×1×6 ＝6.28×1×6 ＝6.28×6 ＝37.68（平方分米），与题目中表述一致，所以该说法正确。 故答案为：√ 14．圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( ) 【答案】 × 【分析】圆柱体积公式为V＝。假设原来圆柱的半径是1，高是4，底面直径扩大到原来的4倍，半径也扩大到原来的4倍，即变化后的圆柱的半径是。高缩小到原来的，即变化后的圆柱的高是。分别代入数据求出原来圆柱和变化后圆柱的体积，再比较。 【详解】原圆柱体积： 变化后的圆柱体积： ，且 圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积扩大到原来的4倍，原题说法错误。 故答案为：× 15．用一张长方形的硬纸片可以卷成两种不同的圆柱，它们的体积相等。( ) 【答案】× 【分析】用长方形卷成两种不同的圆柱时，一种以长为底面周长、宽为高，另一种以宽为底面周长、长为高。设长方形长为，宽为。根据圆的周长公式：C＝2πr，圆柱的体积公式：V＝πr2h，分别求出两种卷法所得到的圆柱的体积，最后比较即可。 【详解】设长方形长为，宽为 第一种卷法：底面周长为，高为 底面半径： 体积： 第二种卷法：底面周长为，高为 底面半径： 体积： 比较和： 若，则，即 仅当时，，但题干未限定长宽相等，因此结论不成立。 故答案为：× 四、计算题 16．计算下面图形的侧面积和表面积。（单位：cm） 【答案】502.4cm；904.32cm 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长高，圆柱的表面积＝侧面积＋2个底面积，进行分析。 【详解】侧面积： （cm） 表面积： （cm） 五、解答题 17．一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 【答案】157立方米 【分析】先根据花坛的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入求出需要填的土的体积。 【详解】 （立方米） 答：花坛中填入沙土157立方米。 18．一个盛奶粉的圆柱形铁罐，高是1.3dm，底面周长是31.4cm。做一个这样的铁罐至少需要铁皮多少平方厘米？（接口处不计，得数保留整数） 【答案】566平方厘米 【分析】先把高的单位换算成厘米作单位，再利用底面周长求出底面半径，最后根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，求出铁罐需要铁皮的面积。（注意题目要求得数保留整数） 【详解】1.3分米＝13厘米 底面半径： （厘米） 底面积：（平方厘米） 侧面积：（平方厘米） 表面积： （平方厘米） 答：做一个这样的铁罐至少需要铁皮566平方厘米。 19．有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 【答案】64立方分米 【分析】正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长。因此，圆柱的体积为，可得到（立方分米），所以正方体的体积为，再把的数值代入此公式，可得到这个纸盒的体积，据此解答。 【详解】由分析可知， （立方分米） 正方体纸盒的体积：（立方分米） 答：这个纸盒的体积是64立方分米。 【点睛】本题考查圆柱的体积的应用，理解正方体纸盒恰好能装入一个圆柱，说明圆柱的底面直径正好等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，是解题的关键。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假培优讲义：圆柱 知识梳理+例题讲解+培优练习 预习说明 1.预习目标：认识圆柱的特征，理解圆柱的侧面积、表面积的含义；掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法，并能解决简单的实际问题。 2.预习方法：结合生活中常见的圆柱形物体（如易拉罐、水杯、柱子等）进行观察；动手制作圆柱模型，理解展开图；通过公式推导和例题练习掌握计算方法。 3.预习重点：圆柱的特征、侧面积与表面积的计算公式及其应用。 4.温馨提示：本讲义内容注重空间想象与实际操作，建议准备纸张、剪刀、胶水等工具，动手“做一做”，帮助理解更深刻。 知识梳理 1、圆柱的认识 （1）生活中的圆柱：生活中许多物体是圆柱形的，如饮料罐、水管、蜡烛、柱子等。它们上下一样粗，两个底面是大小相同的圆。 （2）圆柱的特征： 圆柱有两个完全相同的圆形底面，分别叫上底面和下底面。 两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高，且每条高都相等。 圆柱有一个曲面，叫做侧面，侧面展开后是一个长方形（或正方形）。 2、圆柱的侧面展开图 （1）展开过程：沿着圆柱的高剪开侧面，会得到一个长方形。 长方形的长 = 圆柱底面的周长（C = 2πr） 长方形的宽 = 圆柱的高（h） 所以，侧面展开图的面积就是圆柱的侧面积。 3、圆柱的面积计算 （1）侧面积： 圆柱的侧面积计算公式为：侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为S_侧 = 2πr × h 或 S_侧 = πd × h。 （2）表面积： 圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面的面积。 其字母公式表示为：S_表 = S_侧 + 2 × πr²。 （3）说明： 计算时注意单位统一（如半径是厘米，高也用厘米）。 π一般取近似值3.14，题目有要求时按要求取值。 实际问题中，有些圆柱只有一个底面（如水桶、无盖水杯），表面积要根据实际情况调整。 4、生活中的应用举例 制作一个圆柱形纸盒，需要多少纸？→ 求表面积 给一根柱子刷油漆，刷的是哪部分？→ 求侧面积 做一个无盖水桶，需要多少铁皮？→ 求侧面积 + 一个底面积 5、注意事项 （1）圆柱的高是两个底面之间的垂直距离，不是斜高。 （2）侧面展开图一定是沿高剪开才是长方形；斜着剪开是平行四边形，本册不涉及。 （3）计算表面积时，要先判断是否“有盖”，避免多算或少算底面积。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱的底面半径是4 cm，高是10 cm，求它的侧面积。 解析： 底面周长 = 2 × 3.14 × 4 = 25.12（cm） 侧面积 = 周长 × 高 = 25.12 × 10 = 251.2（cm²） 答：它的侧面积是251.2平方厘米。 【跟踪练习】 一个圆柱的底面直径是6 cm，高是8 cm，求它的侧面积。 【典型例题2】 一个圆柱形水杯，底面半径是5 cm，高是12 cm，做这个水杯需要多少平方厘米的材料？（水杯无盖） 解析： 无盖水杯：表面积 = 侧面积 + 一个底面积 侧面积 = 2 × 3.14 × 5 × 12 = 376.8（cm²） 一个底面积 = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5（cm²） 总面积 = 376.8 + 78.5 = 455.3（cm²） 答：做这个水杯大约需要455.3平方厘米的材料。 【跟踪练习】 一个圆柱形铁皮水桶，底面直径是4 dm，高是6 dm，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？（无盖） 【典型例题3】 一个圆柱的侧面积是188.4 cm²，高是10 cm，求它的底面半径。 解析： 侧面积 = 底面周长 × 高 底面周长 = 侧面积 ÷ 高 = 188.4 ÷ 10 = 18.84（cm） 又因为 周长 = 2πr 所以 r = 周长 ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 18.84 ÷ 6.28 = 3（cm） 答：它的底面半径是3厘米。 【跟踪练习】 一个圆柱的侧面积是251.2 dm²，高是8 dm，求它的底面直径。 培优练习 一、选择题 1．一个盛水的圆柱形容器的底面直径是10cm，把一块铁块放入这个容器中（铁块全部浸没在水中），水面上升2cm。这块铁块的体积是（    ）。 A．628 B．157 C．125.6 D．78.5 2．一个圆柱形水桶的容积是，里面装了桶的水。已知水桶的内底面积是，水面的高是（    ）dm。 A．20 B．30 C．40 D．50 3．把一个棱长为4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（    ）。 A． B． C． D． 4．一个圆柱的底面直径和高都扩大到原来的2倍，侧面积扩大到原来的（    ）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍 5．将一根5dm长的圆柱形木料沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了。这根木料的直径是（    ）。 A．4dm B．2dm C．8dm D．6dm 二、填空题 6．如下图，把圆柱切开再拼成长方体，长方体的底面积等于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，长方体的体积与圆柱的体积( )，即圆柱的体积＝( )×( )。 7．一个圆柱的体积为，高为7m，其底面半径为( )m。 8．一个长和宽分别为8cm和4cm的长方形，以长为轴旋转一周得到的立体图形是( )。这个立体图形的表面积是( )，体积是( )。 9．一张长4cm、宽3cm的长方形纸，以它长的一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱。这个圆柱的体积是( )。 10．一个正方体的棱长是4cm，把它削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )。 三、判断题 11．把一个圆柱体的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，则体积也扩大到原来的3倍。( ) 12．圆柱的侧面展开图不可能是平行四边形。( ) 13．从一段底面半径1分米，长20分米的圆柱形木材上锯下一段长6分米的小圆柱木材，圆柱形木材的表面积就减少了37.68平方分米。( ) 14．圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，它的体积不变。( ) 15．用一张长方形的硬纸片可以卷成两种不同的圆柱，它们的体积相等。( ) 四、计算题 16．计算下面图形的侧面积和表面积。（单位：cm） 五、解答题 17．一个圆柱形大花坛的底面内直径为20m，高为0.8m。如果花坛里面填入沙土的高度为0.5m，那么花坛中填入沙土多少立方米？ 18．一个盛奶粉的圆柱形铁罐，高是1.3dm，底面周长是31.4cm。做一个这样的铁罐至少需要铁皮多少平方厘米？（接口处不计，得数保留整数） 19．有一个正方体纸盒，其中恰好能装入一个体积是的圆柱。这个纸盒的体积是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $