精品解析：贵州省遵义市红花岗区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

红花岗区2024-2025学年度第一学期期末质量监测高二年级 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 过点，斜率为2的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线方程的点斜式求出方程即得. 【详解】依题意，所求直线方程为，即. 故选：B 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积运算律计算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 4. 设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 5. 设函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合指数运算求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 即，化简得， 解得 故选：C. 6. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质并结合中间变量比较大小即可. 【详解】由题意得，， ，而，， 则，得到. 故选：B 7. 已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式和最值求出的值，得到抛物线方程. 【详解】联立，消去并化简得：， 因为点到直线的最短距离为， 所以抛物线与直线无交点，且点到直线的距离为， 所以，且 所以，且当时，， 解得或，又，所以， 所以抛物线方程为， 故选：C 8. 设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线性质可得，，结合双曲线定义可得，，利用余弦定理列式求解即可. 【详解】因为为的平分线，且，，， 则，即， 由双曲线定义可得，即，解得， 又因为的平分线垂直于，则， 可得，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数的定义域为 C. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为 D. 记的内角，，的对边分别为，，，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定即可求解，对于B，由真数大于零即可求解；对于C，由方程求出，即可求解，对于D，由正弦定理化边为角即可求解. 【详解】对于A，根据存在量词命题的否定可知，原命题的否定是“，”故A正确； 对于B，由得，所以函数的定义域为，故B错误； 对于C，由知，，所以双曲线的渐近线方程为，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 所以，又，所以，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可． 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点 ，即， 所以，即，又，所以， ， 对于B：当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：ABC． 11. 设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，四面体外接球的半径的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用三棱锥的体积公式判断A，利用两点间距离公式结合二次函数性质判断B，合理构建平面直角坐标系，转化距离长度判断C，将点代入球的方程，得到，进而求解半径的取值范围判断D即可. 【详解】在正四棱柱中，可得面，， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 而，，由题意得，，， ，，则，，， 可得， 设，则， 得到，解得，则， 对于A，当时，， 由三棱锥的体积公式得， 则三棱锥的体积为，故A正确， 对于B，当时，此时可得，此时， 由两点间距离公式得， ， 则， 令，， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到最小值为，即的最小值为，故B错误， 对于C，连接，在面内，由题意得， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 此时设，，，，, 因为，所以，得到， 由两点间距离公式得 ， 则，当且仅当共线时取等， 由两点间距离公式得, 得到的最小值为，故C正确， 对于D，由题意得，，， 当时，可得，即，此时， 设球心为，半径为， 得到四面体外接球的方程为， 将代入方程，可得， 将代入方程，可得， 两式相减可得，解得， 将代入方程，可得， 与相减可得，解得， 则球心变为，此时， 化简得，将代入方程， 可得， 则，解得， 得到，解得，令， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，当时，，当时，， 得到，即， 可得四面体外接球的半径的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简求值． 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 13. 已知直线被圆所截得的弦长为，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长公式建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以由弦长公式得，解得或. 故答案为：或 14. 早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____. 【答案】 【解析】 【分析】计算半圆柱和截面下方的圆锥的体积即可求出. 【详解】设半球中阴影截面圆的半径，球半径为，截面高度为， 则，截面圆面； 圆柱中截面小圆半径，圆柱底面半径为， 则截面圆环面积，所以， 所以半球中截面与底面之间的几何体体积等于半圆柱的体积减去截面下的圆锥体积. 半圆柱的体积为， 截面下方的圆锥体积为， 则半球中底面与截面之间的几何体的体积为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求边上的高线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线交点计算得到的坐标，结合点斜式方程求解即可； （2）先根据垂直关系计算斜率，结合点斜式方程求解即可； 【小问1详解】 设点坐标为，点坐标为， 因为是中点，，所以， 在中线上，代入得：， 化简得，又在直线上，满足， 联立解得，即， 点在直线上，联立和， 解得，即 直线的斜率为，直线的方程为， 整理得 【小问2详解】 由边上的高线可知，故， 点，直线的方程为，整理得. 16. 如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1） 因为是矩形，所以， 因为底面，所以以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，且设，所以，，， ，，因为，分别为，的中点， 所以由中点坐标公式得，，则， 由题意得面的法向量为， 因为，面，所以平面. （2） 由题意得，， 设面的一个法向量为， 则，由题意得，令，解得， 得到，此时， 可得，故平面. 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点、分别作圆的切线，，且与的交点为，求四边形的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）通过圆心在弦AB的垂直平分线和已知直线上联立方程组求得圆心，接着求半径即可得解； （2）先求出两条切线的交点，再利用四边形的面积等于进行计算即可求面积. 【小问1详解】 由题可知圆心为弦AB的垂直平分线和已知直线的交点， 弦AB的垂直平分线所在直线斜率为，弦AB的中点为， 所以弦AB的垂直平分线所在直线方程为即， 联立，即圆心，则半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得切线、斜率分别为， 所以切线方程为即， 切线方程为即， 联立解得，两条切线的交点， 则，又， 所以四边形的面积为. 18. 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为. （1）设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）； （2）求三棱锥的表面积； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的性质确定关键点的位置，进而作出截面即可. （2）找到二面角的平面角并结合余弦定理求出，再利用勾股定理和三角形面积公式求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 若截面平面， 且面面，面面， 则，因为，所以， 同理可得，则连接即可， 如图，作出截面. 【小问2详解】 找的中点，连接， 因为菱形的边长为2， 所以，则，同理可得， 则是二面角的平面角， 因为二面角的余弦值为， 所以，由题意得， 则由余弦定理得，解得（负根舍去）， 由折叠性质得， 则，则，同理可得， 由三角形面积公式得，， ，， 则三棱锥的表面积为. 【小问3详解】 如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，设， 则，，， 因为，所以，解得，此时， 由题意得，由两点间距离公式得， 因为，所以， 联立方程组，解得， 得到，则，， 由题意得面的法向量为，设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，设二面角为， 得到，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 故，即二面角的正切值为. 19. 已知椭圆的中心在坐标原点，点在椭圆上，右焦点，点的坐标为，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点. ①为弦的中点，求点的轨迹方程； ②设，直线和的斜率分别为，，当点，在轴的上方时，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出得椭圆的标准方程. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦中点的轨迹方程；②由①中信息，利用斜率坐标公式列式，结合韦达定理化简并求出范围. 【小问1详解】 由，，，得， 则，椭圆，由点在椭圆上， 得，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知点，显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，解得， 设，则， 由为弦的中点，得， 当时，，则， 而，整理得，当时，满足上式， 因此，由，得， 所以点的轨迹方程为. ②由①得，由点，在轴的上方，得， 点，， ， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红花岗区2024-2025学年度第一学期期末质量监测高二年级 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上的答案无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 过点，斜率为2的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. -2 B. C. D. 2 4. 设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线上任意一点，若点到直线的最短距离为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于，两点，若的平分线垂直于，且交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数的定义域为 C. 已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为 D. 记的内角，，的对边分别为，，，且，则 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 11. 设点是正四棱柱内一动点，，，，，如图所示，则下列正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，四面体外接球的半径的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 若复数满足（为虚数单位），则_____. 13. 已知直线被圆所截得的弦长为，则_____. 14. 早在南北朝时期，我国数学家祖冲之的儿子祖暅提出了几何体体积的计算原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，如果两个等高的几何体在任意同高处的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.如图3所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，利用祖暅原理就可以推出球的体积公式.已知半球半径为2，若平行于半球与圆柱底面的平面过球半径的中点，则半球中底面与截面之间的几何体的体积_____. 四、解答题：本题共5小题，共计77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点的坐标为，直线的方程为，边上的中线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求边上的高线的方程. 16. 如图，底面为矩形的四棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 已知圆经过点，，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点、分别作圆的切线，，且与的交点为，求四边形的面积. 18. 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为. （1）设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）； （2）求三棱锥的表面积； （3）求二面角的正切值. 19. 已知椭圆的中心在坐标原点，点在椭圆上，右焦点，点的坐标为，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点. ①为弦的中点，求点的轨迹方程； ②设，直线和的斜率分别为，，当点，在轴的上方时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $