2026年中考数学第一轮复习专题讲练第2讲整式与因式分解

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第一单元 数与式 《第2讲 整式与因式分解》答案解析 一、单选题 1．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、合并同类项 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方及合并同类项的运算，解题的关键是牢记法则并熟记计算．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可得答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、去括号、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 6．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：, 故选：D． 7．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】运用完全平方公式进行运算、合并同类项、去括号、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 9．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算．直接根据积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 10．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 11．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 12．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 13．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 14．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 15．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 16．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解： ， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 17．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 19．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 二、填空题 20．（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据幂的乘方求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 21．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 22．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 23．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得， ； 故答案为 ． 25．（2025·河北·中考真题）计算： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．（2025·江西·中考真题）因式分解： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 28．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 【答案】 【难度】0.85 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 29 ．（2025·江苏扬州·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 30．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 31．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 32．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 33．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 35．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 36．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 【答案】（）；（） 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、单项式乘多项式的应用 【分析】（）先算乘法，再进行加法运算即可； （）先算乘法，再合并同类项即可； 本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 37．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 38．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 39．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 40．（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 【答案】(1)7 (2)5个，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）令和，分别得到，，得到，根据可知； （2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵为常数项， ∴， ； （2）解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴， ∴，或，或，或，， ∴，（舍去）或，或，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)． 41．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【难度】0.4 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、列代数式、数字类规律探索、不等式的性质 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第一单元 数与式 《第2讲 整式与因式分解》 【知识梳理】 1.整式的有关概念 (1)单项式:由　数　与　字母　或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,单独的一个数或一个字母也叫单项式.  (2)多项式:由几个单项式　相加　组成的代数式叫做多项式.  (3)整式:　单项式和多项式　统称为整式.  (4)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的　指数　的和叫做这个单项式的次数.  (5)单项式的系数:单项式中的　数字因数　叫做这个单项式的系数.  (6)多项式的次数:一个多项式中,次数　最高　的项的次数就是这个多项式的次数.  2.同类项、合并同类项 (1)同类项:多项式中,所含字母　相同　,并且相同字母的　指数　也相同的项叫做同类项,所有的常数项也看做同类项.  (2)合并同类项:把同类项的　系数　相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数　不变　.  3.整式的运算 (1)整式的加减:几个单项式的和（合并同类项）。 (2)正整数指数幂的运算: ①同底数幂相乘:am·an＝　am+n　(m,n都是正整数).  ②幂的乘方:(am)n＝　amn　(m,n都是正整数).  ③积的乘方:(ab)n＝　anbn　(n是正整数).  ④同底数幂相除:am÷an＝　am－n　(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n).  (3)整式的乘法: ①单项式与多项式相乘: m(a＋b＋c)＝　ma＋mb＋mc　.  ②多项式与多项式相乘: (m＋n)(a＋b)＝　ma＋mb＋na＋nb　.  (4)整式的除法: ①单项式除以单项式:把系数、同底数幂分别　相除　,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.  ②多项式除以单项式:先把这个多项式的　每一项　除以这个单项式,再把所得的商　相加　.  4.常用公式 (1)平方差公式:两数和与这两数差的积等于这两数的平方差,即(a＋b)(a－b)＝　a2－b2　.  (2)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍,即(a±b)2＝　a2±2ab＋b2　.  (3)常用恒等变形: ①a2＋b2＝(a＋b)2－　2ab　＝(a－b)2＋　2ab　.  ②(a－b)2＝(a＋b)2－　4ab　.  5.因式分解的概念及方法 (1)因式分解:一般地,把一个多项式化成几个　整式的积　的形式,叫做因式分解.因式分解和　整式的乘法　有互逆关系,因此,可以用　整式的乘法　运算来检验因式分解的正确性.  (2)公因式:一般地,一个多项式中每一项都含有的　相同　的因式,叫做这个多项式各项的公因式.  (3)提取公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法,叫做提取公因式法.用字母表示为: ma＋mb＋mc＝　m(a＋b＋c)　.  (4)公式法: ①平方差公式:a2－b2＝　(a＋b)(a－b)　.  ②完全平方公式:a2＋2ab＋b2＝　(a＋b)2　,a2－2ab＋b2＝　(a－b)2　.  (5)二次多项式x2＋(p＋q)x＋pq可以因式分解为　(x＋p)(x＋q)　.  (6)当n是奇数时,(a－b)n＝　－(b－a)n　;当n是偶数时,(a－b)n＝(b－a)n.  【2025年考题探究】 一、单选题 1．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·海南·中考真题）下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 10．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 11．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 19．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 二、填空题 20．（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 21．（2025·江苏无锡·中考真题）请写出单项式的一个同类项： ． 22．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 23．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 25．（2025·河北·中考真题）计算： ． 26．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 27．（2025·江西·中考真题）因式分解： 28．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解 29．（2025·江苏扬州·中考真题）分解因式： ． 30．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 31．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 32．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 33．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 34．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ． 35．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 三、解答题 36．（2025·广西·中考真题）（）计算：     （）化简： 37．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 38．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 39．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 40．（2025·福建·中考真题）已知整式，其中，． (1)若，求的值； (2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 41．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $