精品解析：浙江省宁波市同济中学2025-2026学年高二上学期数学学科练习试题

高二数学学科练习 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．) 1. 已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 2. 若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 3. 已知，，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，求出切线斜率，然后利用点斜式即可求解. 【详解】由，所以在点处的切线斜率为： ， 所以曲线在点处的切线方程为： 即， 故选：B. 5. 已知，为双曲线C：的左右焦点，点M的坐标为，若为直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的对称性及为直角三角形，可得再用勾股定理可得离心率的值. 【详解】因为点M在y轴上，由双曲线对称性可知，又因为为直角三角形， 所以，，， ，， 由勾股定理，得，即， 又因为代入得，，， 所以. 故选：A 6. 已知等差数列满足，，数列的前n项和，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等差数列可得，再由可得数列为等比数列，进而可得所求值. 【详解】因为等差数列满足，，设公差为， 所以，即，所以. 又因为数列的前n项和，满足， 当时，，得； 当时，，两式相减得， 即，所以数列是公比为2的等比数列， 所以. 故选：B. 7. 设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义将转化为，进而转化为到直线的距离减去6，再用点到直线的距离公式解得. 【详解】如图：由F是椭圆的右焦点，所以，设. 由椭圆的定义，所以， ， 所以的最小值就等价于的最小值， 就等价于到直线的距离减去6， ，所以的最小值为4. 故选：C. 8. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：构造，，利用导数判断其单调性即可；对于B：构造，，利用导数判断其单调性即可；对于C：举反例说明即可；对于D：构造，，利用导数判断其单调性即可. 【详解】对于选项A：构造，， 则，可知在内单调递增， 因为，则， 即，所以，故A错误； 对于选项B：构造，， 则，可知在内单调递减， 因为，则， 即，所以，故B错误， 对于选项C：因为， 令，因为， 所以，故C错误； 对于选项D：构造，， 则， 由选项B可知：在内单调递减，则，即， 则，可知在内单调递减， 因为，则，即， 所以，故D正确； 故选：D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．) 9. 已知函数，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数在区间上为增函数 D. 关于x的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导函数计算可判断A，根据导函数求得函数在区间上的单调性即可判断C，结合的值，即可判断B，D； 【详解】由函数，可得， 对于A中，，A选项正确； 对于B中，令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，由在递减，在上递增，且， 函数的值域为，所以B错误；C正确； 对于D中，由在递减，在上递增，且， 要使得方程在区间上有两解，则，所以D正确. 故选：ACD 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C截得弦长的最小值为 C. 当时，圆C上有且仅有3点到直线l的距离为 D. 是圆C上的点，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将直线化为点斜式即可解. 对于B，，当圆C的圆心到直线的距离最大时弦长最小，而，代入即可求解； 对于C，圆心到直线的距离为，又，故圆C上有且仅有3点到直线l的距离为.故C正确； 对于D，利用的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】如图： 对于A，可化为，故直线过定点，故A正确； 对于B，圆C：，的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 直线l与圆C截得弦长，故直线l与圆C截得弦长的最小值为，故B错误； 对于C，当时，直线为，圆心到直线的距离为， 又，故圆C上有且仅有3点到直线l的距离为.故C正确； 对于D，表示圆C上的点与点连线的斜率， 由图可知，当过的直线与圆C相切且斜率为正时斜率最大，即最大. 设切点为则，则， 所以该切线斜率为，的最大值为.故D错误. 故选：AC 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A. B. 以为直径的圆与l相切 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线经过定点可得故可判断A；再由焦点弦公式及弦中点坐标可判断B，对C直接用焦点弦公式可判断，对D用焦半径公式并结合根与系数关系可得A，B两点的横坐标，进而可得所求结果. 【详解】因为直线过定点，且经过抛物线C：的焦点F， 所以，，准线为，故A正确； 设，将代入得， ，是方程的两个根，， 所以的中点横坐标，, 所以的中点到准线的距离为，故以为直径的圆与l相切，所以B正确； 当时，由，故C错误； 当时，由抛物线的定义得，即. 又因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， ，所以，故D正确 故选：ABD. 非选择题部分 三、填空题(本大题共3小题，每个空5分，共15分．) 12. 在正项等比数列中，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，，再利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由等比中项得，又因为，所以. 因为，所以， 所以，因为解得， 所以。 故答案为：. 13. 已知双曲线C：的离心率为2，其中一条渐近线与圆交于M，N两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出，即可得双曲线的渐近线的方程，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】因为离心率，由，化简得到， 因此双曲线的渐近线方程为， 圆的圆心 ，半径为， 取渐近线，则圆心到渐近线的距离为； 利用弦长公式得到. 故答案为：. 14. 已知函数，，若成立，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】令，求出，构造函数利用函数导数求最值即可. 【详解】若成立，由， 设， 则由， ， 所以 设， 所以， 由与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值， 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 已知的三个顶点为，，． （1）求边AC的垂直平分线的方程； （2）若直线BC与圆相切，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出垂直平分线的斜率，利用点斜式直接求解即可； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径直接列方程求解即可. 【小问1详解】 边AC的中点，由已知得 所以AC的垂直平分线方程为，即 【小问2详解】 由，，∴ 直线BC的方程为 圆心到直线BC的距离，所以 16. 已知各项均不相等的正项等差数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设数列，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算性质可得，再根据等差数列的性质求解首项和公差分别为，d，即可得解； （2）根据奇数项和偶数项分组求和，其中奇数项裂项相消法求和 【小问1详解】 因为，即， 设等差数列的首项和公差分别为，d， 由已知条件可得，∴， 解得，∴； 【小问2详解】 . 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，，，M为PC中点． （1）求证：平面ADM； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量法即可求解. 小问1详解】 ∵，，∴平面PDC，平面∴ 又∵M为PC中点，，∴． 又∵，平面，平面∴平面ADM 【小问2详解】 过作平面，以D为原点为x轴，为y轴，为z轴，建系如图， 则令，则，，，，∴ ∴，，， 设平面PBC的法向量为，由（1）可知平面PDC的法向量为 这两个平面所成的锐二面角为，则， 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆C和抛物线的准线在第二象限交点的纵坐标为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）抛物线的焦点为，则，再将椭圆C和抛物线的准线在第二象限交点为,代入椭圆的标准方程列方程求解即可. （2）设，，直线l的方程为：，与椭圆的方程联立，得，，再证明直线与x轴交于一个定点， 则，利用基本不等式求得的面积有最大值. 【小问1详解】 由题意可知：抛物线的焦点为，∴ 椭圆C和抛物线的准线在第二象限交点为, 代入椭圆标准方程得， ∵，联立解得，，所以 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率不为0，所以设直线l的方程为：， 与椭圆的方程联立，得 消去x，得，所以， 设，，则， 由根与系数的关系，得，， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为，令， 得， 即直线与x轴交于一个定点，记为， 则 当且仅当时等号成立，的面积有最大值 19. 已知函数，． （1）求证：； （2）记函数． （ⅰ）若有两个零点，求实数a的取值范围； （ⅱ）当时，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）通过构造函数，并用导数求函数的最小值即可证明不等式； （2）（ⅰ）先对函数求导，进而可得函数的最小值，用导数对最小值求导并判断最小值小于零可得；（ⅱ）由（ⅰ）只需证明，再构造函数并用导数证明可得. 【小问1详解】 设，， 所以，解得，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以 所以，即，所以. 【小问2详解】 因为，即 （ⅰ），得，即. 当时，因为，所以，在R上递减，此时不可能有两个零点 当时，令，解得，且当时，，当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值． 则 . 令，∴， ∴在上单调递增，又因为， 所以当时，，即， 且当时，，当时,. 所以当时，函数有两个零点； 当时，，即，函数有一个零点； 当时，，即，没有零点， 所以实数a的取值范围. （ⅱ）当时，因函数在处取得最小值， 设， ， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科练习 考生须知： 1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．) 1. 已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 3. 已知，，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为双曲线C：的左右焦点，点M的坐标为，若为直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列满足，，数列的前n项和，满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设F是椭圆的右焦点，A是椭圆上的动点，B是直线上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分．) 9. 已知函数，，则下列命题正确的是（ ） A B. 函数的值域为 C. 函数在区间上为增函数 D. 关于x的方程有2个不同的根当且仅当 10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. 直线l过定点 B. 直线l与圆C截得弦长的最小值为 C. 当时，圆C上有且仅有3点到直线l距离为 D. 是圆C上的点，则的最大值为 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点，l为抛物线C的准线，则（ ） A. B. 以为直径的圆与l相切 C 当时， D. 当时， 非选择题部分 三、填空题(本大题共3小题，每个空5分，共15分．) 12. 在正项等比数列中，已知，，则______． 13. 已知双曲线C：的离心率为2，其中一条渐近线与圆交于M，N两点，则______． 14. 已知函数，，若成立，则最小值为______． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. 已知的三个顶点为，，． （1）求边AC的垂直平分线的方程； （2）若直线BC与圆相切，求b的值． 16. 已知各项均不相等的正项等差数列的前n项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设数列，求数列的前2n项和． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，，，M为PC中点． （1）求证：平面ADM； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点和椭圆的右焦点重合，且椭圆C和抛物线的准线在第二象限交点的纵坐标为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）求证：； （2）记函数． （ⅰ）若有两个零点，求实数a取值范围； （ⅱ）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $