精品解析：重庆九龙坡区2025-2026学年学业质量测评(中学) 八年级(上)数学试题

2025-2026学年学业质量测评（中学） 八年级（上）数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上；作答前请认真阅读答题卡上的注意事项； 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 以下是四款常用人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. 文心一言 D. 豆包 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点，，三点共线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ） A. 点 B. 点 C. 直线上 D. 无法确定 10. 如图，中，平分，且，，过点C作的延长线的垂线，垂足为点E．下列结论正确的个数是（ ） ①的面积是的面积的4倍； ②若，则； ③． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 若分式的值为0．则x的值是_____． 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于D、E两点，若，则_____度． 14. ，，则的值=_____． 15. 关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为_________． 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18每题8分，第19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上． 17. 化简： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值，其中x的值从不等式非负整数解中任选一个． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将y轴向右平移一个单位长度得到直线（如图），关于直线的轴对称图形为． （1）在所给的平面直角坐标系中作； （2）分别写出各顶点的坐标：________，________，______； （3）求的面积． 21. 作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． （1）若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请写出你的作图依据： ①________； ②________． 22. 阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： （1）； （2）． 23. 在元旦前夕，某小区的商品连锁店购进甲、乙两种预制菜，销售过程中发现甲种预制菜比乙种预制菜销售量大，店主决定将乙种预制菜每件降价3元促销，降价后顾客用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买乙种预制菜数量的1.3倍． （1）求降价后每件乙种预制菜的售价是多少元？ （2）春节之前，该店店主决定将乙种预制菜的售价恢复到元旦前夕降价前的售价，已知每件甲种预制菜的售价比每件乙种预制菜的售价多12元，甲种预制菜进价为10元/件，乙种预制菜进价为6元/件，若店主购进两种预制菜共500件而利润不少于5500元，问至少购进甲种预制菜多少件． 24. 将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）填空：①若，则 ； ②若，则 ． （3）如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 25. 在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年学业质量测评（中学） 八年级（上）数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上；作答前请认真阅读答题卡上的注意事项； 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 3．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 以下是四款常用人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. 文心一言 D. 豆包 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，C是轴对称图形，符合题意； A，B，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A. 5、8、2 B. 2、5、4 C. 4、3、5 D. 8、14、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】A．2+5<8，不能组成三角形，故此选项符合题意； B．2+4＞5，能组成三角形，故此选项不符合题意； C．3+4＞5，，能组成三角形，故此选项不符合题意； D．8+7＞14，，能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘除法等性质，需逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A： ，∴ A计算错误，不符合题意． B：，∴ B计算错误，不符合题意． C： ，∴ C计算错误，不符合题意． D： ，与右边相等，∴ D计算正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图，将一副三角尺叠放在一起，其中点，，三点共线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得：， 是的外角， ， 故选：D． 5. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判定，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式． 检查各选项分子和分母是否可约分即可求解． 【详解】解：，的分子和分母有公因式，不是最简分式；故A不符合题意； 的分子和分母无公因式，是最简分式；故B符合题意； ，的分子和分母有公因式，不是最简分式故C不符合题意； ，的分子和分母有公因式y，不是最简分式，故D不符合题意； 故选：B 6. 如图，，于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键．根据因式分解的定义，判断等式从左到右是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：∵因式分解是将多项式分解为几个整式的积， ∴选项A从左到右是整式乘法且计算错误，不是因式分解； 选项B从左到右是整式乘法且计算错误，不是因式分解； 选项C从左到右将多项式化为平方形式，是积的形式，属于因式分解； 选项D右边不是积的形式，不是因式分解． 故选C． 8. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 9. 把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ） A. 点 B. 点 C. 直线上 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 10. 如图，中，平分，且，，过点C作的延长线的垂线，垂足为点E．下列结论正确的个数是（ ） ①的面积是的面积的4倍； ②若，则； ③． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质． 过点作， ，根据角平分线的性质可得，由此得出，结合已知即可得出①正确； 由可得：，进而求出，由平分可得，故②正确； 过点作，交延长线于点，可得，，进而可得，，根据等角对等边可得，，，再证明，由此得出由此得出，进而可得．故③正确． 【详解】解：过点作， ，垂足分别为、 ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即的面积是的面积的4倍，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即 ∴，故②正确； 过点作，交延长线于点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴．即， ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上所述：正确的结论①、②、③． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为． 12. 若分式的值为0．则x的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得 x2-25=0，且x+5≠0， 解得 x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 13. 如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于D、E两点，若，则_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角、内角和定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由得到，，然后，则，最后在中运用内角和定理建立方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵线段的垂直平分线分别交于D、E两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴在中，由得， 解得， ∴， 故答案为：36． 14. ，，则的值=_____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：50． 15. 关于的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出或或，再检验得出符合题意的的值，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或， ∵为整数，且，， ∴或或， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数N的各数位上的数字互不相等，若千位上的数字与百位上的数字之差等于十位上的数字与个位上的数字之和，那么称这样的四位数为“阴阳数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，则若四位数为“阴阳数”，其中，则四位数______；规定，若“阴阳数”满足为整数，则满足条件的N的最小值为______． 【答案】 ①. 9216 ②. 【解析】 【分析】根据“阴阳数”的定义可得x与y的关系，进而根据的求法可得x的值，即可判断出y的值，进而可得A的值；根据“阴阳数”的定义可得a与b，c，d的关系，分别得到N和的值，根据所给条件，判断出a，b，c合适的值即可得到满足条件的N的最小值． 本题考查新定义的相关知识．理解并应用新定义的意义解决问题是解决本题的关键．难点是判断出各个数位上合适的数字． 【详解】解：四位数为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得， ； 为“阴阳数”， ， ， ， ， ， ， ∵为整数， ∴为整数， 为整数， ∴是11的倍数， ∵N的十位数字与千位数字调换后可以组成新的四位数， ∴， 当时，∴d可取的最小自然数为6（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为1（要满足是11的倍数）， ∵要使N最小， ∴要保证a最小， ∵， ∴当b、c、d同时取得最小值时，a有最小值，即此时N有最小值， 当的值为0时，，此时N的值为， ∵，且此时N的四个各数位上的数字互不相等， ∴此时N是“阴阳数”， 当时， ∴d可取的最小自然数为7（要满足是11的倍数）， ∴，此时不符合题意； 当c取别的自然数时，此时a的值一定大于3，即满足题意的N一定比大， 综上所述，满足条件的N的最小值为， 故答案为：9216，． 三、解答题：（本大题9个小题，第17-18每题8分，第19-25题每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上． 17. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的化简，涉及幂的运算和乘法公式． （1）先计算积的乘方，再进行乘法运算； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算．再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程． （1）根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否是分式方程的解即可． （2）根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验，看整式方程的解是否是分式方程的解即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以 ，得  ， 解得：， 检验：当  时，，  所以分式方程的解为 ． 【小问2详解】 解：  方程两边同时乘以 ，得   解得， 检验：当  时，， 所以分式方程的解为 ． 19. 先化简，再求值，其中x的值从不等式非负整数解中任选一个． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的分式减法，再算除法，即可化简分式，然后解不等式，得出非负整数解，选择能使分式有意义的值，代入求解即可． 【详解】解： ； 解不等式得： ∵是非负整数， 或或， 或时分式无意义， 的值只能取0， 原式． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将y轴向右平移一个单位长度得到直线（如图），关于直线的轴对称图形为． （1）在所给的平面直角坐标系中作； （2）分别写出各顶点的坐标：________，________，______； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2），，； （3）10 【解析】 【分析】本题考查在坐标系中画轴对称图形，写对称点的坐标，分割法求三角形的面积； （1）找到对应点连接即可； （2）观察图形即可解答； （3）分别过点C、B作直线轴，直线轴，过点A作轴，交直线于点F，交直线于点E，利用计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察图形可知，，，； 【小问3详解】 解：分别过点C、B作直线轴，直线轴，过点A作轴，交直线于点F，交直线于点E， 由图可知， ，，， ∴，，，， ∴ 21. 作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． （1）若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】（1） 如图，点G即为所求， （2）①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【解析】 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 22. 阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， 【小问2详解】 解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 23. 在元旦前夕，某小区的商品连锁店购进甲、乙两种预制菜，销售过程中发现甲种预制菜比乙种预制菜销售量大，店主决定将乙种预制菜每件降价3元促销，降价后顾客用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买乙种预制菜数量的1.3倍． （1）求降价后每件乙种预制菜的售价是多少元？ （2）春节之前，该店店主决定将乙种预制菜的售价恢复到元旦前夕降价前的售价，已知每件甲种预制菜的售价比每件乙种预制菜的售价多12元，甲种预制菜进价为10元/件，乙种预制菜进价为6元/件，若店主购进两种预制菜共500件而利润不少于5500元，问至少购进甲种预制菜多少件． 【答案】（1）10 （2）250 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键． （1）通过设乙种预制菜原售价，根据降价后用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买数量的1.3倍列方程求解； （2）通过设甲种预制菜购进件数，根据利润不少于5500元，列不等式即可求解最小购进件数． 【小问1详解】 解：设乙种预制菜原售价为元/件，则降价后售价为元/件，依题意得： 解并检验得：， 所以降价后售价为0元， 答：降价后每件乙种预制菜的售价是10元． 【小问2详解】 解：设购进甲种预制菜件，则购进乙种预制菜件 每件甲利润为元，每件乙利润为元 根据利润不少于5500元，得不等式： 解得： 所以至少购进甲种预制菜250件． 答：至少购进甲种预制菜250件． 24. 将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即，又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，求的值； （2）填空：①若，则 ； ②若，则 ． （3）如图，在长方形中，，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （）由体题意可得，，，即得，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形运算，完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可得，，， ∵长方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积和为． 25. 在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2） 证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论； （3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，． 根据图形翻折的性质可知． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $