精品解析：湖南岳阳市岳阳县2025-2026学年九年级上学期期末质量监测数学试题

2025年下学期期末质量监测试题九年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数 的图像所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像，反比例函数的图像位置由系数k的符号决定，时图像在第一、三象限，时图像在第二、四象限． 根据作答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在第一、三象限． 故选：C． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∴，； 故选：． 3. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，顶点坐标是． 由二次函数的顶点式，顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标是． 故选：B． 4. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：五条平行横线的距离都相等， ， ， ， 故选：A． 5. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据根的情况得到，进而求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 为了调查我县初中学生近视人数，凯凯同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每1000名初中生中，大约有200人近视．若我县初中生人数约为2万，据此凯凯推断出我县初中生的近视人数是（ ） A. 万 B. 万 C. 万 D. 万 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体． 根据样本中近视比例推断总体近视人数即可． 【详解】解：∵样本中每1000初中生有200人近视， ∴近视比例为， ∵总初中生人数为2万， ∴近视人数为万． 故选：C． 7. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义tanB=，即可求得AC的长． 【详解】 ∵tanB==2， ∴AC=2BC=2×3=6. 故选D. 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义. 8. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴其顶点（0，0）也向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新函数的顶点（1，3）． ∴根据平移的性质，所得图象的函数解析式是：． 故选A． 10. 已知经过闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（ ） A. B. 当， C. 图象经过一、三象限 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的解析式求法及图象性质，注意实际情境中变量取值范围；根据表格中时，，求出反比例函数解析式，再逐一验证选项． 【详解】解：与是反比例函数关系，且当时，， 设，则， ， ． 对于A：当时，； 当时，， ，A错误． 对于B：当时，， ，B错误． 对于C：， ，图象只在第一象限，不经过第三象限，C错误． 对于D：当时，， 图象经过点，D正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 12. 已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 13. 甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差 ，乙运动员训练成绩的方差 ，你认为应该选择____参加比赛．（填甲或者乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差的意义，方差越小表示成绩越稳定，因此选择方差较小的运动员． 【详解】解：∵甲、乙两运动员射击训练成绩的平均数相同，且，， ∴， 因此乙运动员的成绩更稳定，应该选择乙参加比赛． 故答案为：乙． 14. 已知，是反比例函数 图像上的两个点，则 _____（用“”“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征. 计算出，，即可解答． 【详解】解：，是反比例函数图象上的两个点， 则， ， 故答案为：． 15. 一元二次方程与的所有实数根的和等于_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． 先判断方程是否有实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系，分别计算两个方程的两根之和，再求和即可． 【详解】解：对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 对于方程，，方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 因此，所有实数根的和为． 故答案为：3． 16. 我们约定：当，，，满足且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图像上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，判断下列说法正确的序号是_______ ①点与点且是一对“对偶点”； ②函数（是非零常数）的图像上存在无数对“对偶点”； ③函数一定不是“对偶函数”； ④函数的图像上至少存在两对“对偶点”． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查新定义，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 根据“对偶点”的定义，点与点为一对“对偶点”，且；由平方非负性可得且，即点与点满足“对偶点”条件，当时成立，故①正确；对于函数（），取点和点，满足“对偶点”条件且存在无数对“对偶点”，故②正确；对于函数，解方程组得唯一可能点，但，不满足条件，故③正确；对于函数，解方程组得仅有点或，但均不满足，故④错误． 【详解】解：对于①：由定义，得且，因此，，即点与点满足“对偶点”条件；当时，，故①正确； 对于②：设函数上一点为，则“对偶点”为，代入验证满足且，且当时成立，由于为非零常数，存在无数个满足条件，故②正确； 对于③：设函数上两点和，由“对偶点”条件得方程组和，解得，，对应点，但，不满足条件，故无对偶点，③正确； 对于④：设函数上两点和，由“对偶点”条件得和，解得或；若，则，点不满足；若，则，点不满足，故无对偶点，④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题：（共72分）） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法是关键． （1）利用配方法计算即可； （2）利用公式法计算即可． 【小问1详解】 解：  ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴ ∴． 解得：． 19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行并使直角边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，且测点到地面的距离米，，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后由相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，米， ∴四边形CBGD是矩形， ∴， ∵∠ADC=∠ADC，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入两个解析式得到k、m值即可； （2）将分别代入两个解析式求出点B、C坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：∵轴于点D，， ∴， ∴将代入得， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴． 21. 学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， （1）设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 （2）求的长是多少？ 【答案】（1）， （2）的长是米 【解析】 【分析】（1）设，则，； （2）根据“劳动基地的总面积（不包含水池）为”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，设，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵劳动基地的总面积（不包含水池）为， ∴， 整理得：， 解得：或； ∵， ∴； ∴； ∴的长是米． 22. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论; （2）解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1, ∴△AEF是等边三角形, ∴∠AFE＝60°, 连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK, ∵△AEF是等边三角形, ∴AK＝, ∴, ∴FM＝2FK＝, ∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）; （2）∵∠AFE＝74°, ∴∠AFK＝37°, ∴KF＝AF•cos37°≈0.80, ∴FM＝2FK＝1.60, ∴BC＝4FM＝6.40＜6.92, 6.92﹣6.40＝0.5, 答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键. 23. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1， 若，求； （2）如图2， 当，且时， 求的长； （3）如图3， 延长，与的角平分线交于点交于点，当时，求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，可得到，即可求解； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作于点． ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质和勾股定理是解题的关键． 24. 如图， 二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线，直线的函数表达式．且为二次函数图像上两点． （1）求二次函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点M ，N重合），且点 P 的横坐标为，作，若直线与线段分别交于点D，E 且 与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】（1） （2） 不存在实数m使得，理由如下： 为二次函数图像上两点， ， ． ． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ， ∴不存在实数m使得． （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）根据一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方法判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为 把B，C代入得，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为， ∴，， ， ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试题九年级数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数 的图像所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，同一条直线上的三个点都在平行线上．若，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 为了调查我县初中学生近视人数，凯凯同学对自己所在城区的初中生近视人数做了调查，发现每1000名初中生中，大约有200人近视．若我县初中生人数约为2万，据此凯凯推断出我县初中生的近视人数是（ ） A. 万 B. 万 C. 万 D. 万 7. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则它们位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为 A. B. C. D. 10. 已知经过闭合电路的电流（单位：A）与电路的电阻（，单位：）是反比例函数关系．根据下表判断正确的为（ ） A. B. 当， C. 图象经过一、三象限 D. 图象经过点 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则＝_______． 12. 已知为锐角，，则的度数是______． 13. 甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差 ，乙运动员训练成绩的方差 ，你认为应该选择____参加比赛．（填甲或者乙） 14. 已知，是反比例函数 图像上的两个点，则 _____（用“”“”或“”填空）． 15. 一元二次方程与的所有实数根的和等于_______． 16. 我们约定：当，，，满足且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图像上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，判断下列说法正确的序号是_______ ①点与点且是一对“对偶点”； ②函数（是非零常数）的图像上存在无数对“对偶点”； ③函数一定不是“对偶函数”； ④函数的图像上至少存在两对“对偶点”． 三、解答题：（共72分）） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行并使直角边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，且测点到地面的距离米，，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，若，求的面积． 21. 学校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙围建劳动实践基地．该校某数学兴趣小组设计了如下的围建方案（除围墙外，实线部分均为篱笆墙，且不浪费篱笆墙）：利用围墙和篱笆围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，且在Ⅱ区中留一个宽的水池．已知（，劳动基地的总面积（不包含水池）为， （1）设的长为x，用x的代数式表示的长为 ，表示的长为 （2）求的长是多少？ 22. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 23. 如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1， 若，求； （2）如图2， 当，且时， 求的长； （3）如图3， 延长，与的角平分线交于点交于点，当时，求 的值． 24. 如图， 二次函数 的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线，直线的函数表达式．且为二次函数图像上两点． （1）求二次函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知 P 是二次函数 图像上一点（不与点M ，N重合），且点 P 的横坐标为，作，若直线与线段分别交于点D，E 且 与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $