福建厦门大学附属科技中学2025-2026学年上学期高二期末质量检测数学试题

高二上数学期末答案 一、单选题 1.若ā=(0,0,1)，b=(1,0,0),c=(1,y,1)不能构成空间的一个基底，则y= A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【详解】因为向量α=(0,0,1)，b=(1,0,0),c=(（1y,1)不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存 在实数m,n使得c=ma+nb, m=1 即(1，y,1)=m(0,0,1)+n(1,0,0)=(n,0,m),所以}n=1,即y=0 {y=0 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+4=11,a=13,则So= A.130 B.135 C.145 D.150 【答案】C 【详解】设等差数列{a,}的公差为d,则0+a,=2a+3d=1川 a5=a+4d=13 a=1 解得： d=3’ 再由等差数列的前n项和得：So=10a,+ 024=01093=165, 2 3.若直线1：3x-4y+10=0与直线l2:mx-8y-10=0平行，则1与2之间的距离是 c.2 1 A.3 B.1 D.4 【答案】A 详解】对于山：斜率飞=4=4：对于，斜率=一心m -88’ 国为/儿，所以4X,即：mX86,因此，的方程为：6-8y-10=0,即3x-4少 两条平行直线L,之间的距离为：10-5引=10+5：15=53 V32+(-4)2 V9+16255 4.已知两圆x2+(y-2m)=1和(x-n)+y2=9恰有一条公切线，则点(m,n)所在的轨迹方程为 164 B. c.+- D.2+父=1 416 4 【答案】D 【详解】由两圆的标准方程分别为x2+(y-2m)=1和(x-n)+y2=9, 得圆心分别为(0,2)和(n,0),半径分别为1和3，又两圆恰有一条公切线，所以两圆内切， 所以V4m2+n2=3-1=2,则4m2+n2=4,即m2+n 1 4 5.已知a∈R,，则“a≤2√2”是“f(x)=lnx+x2-ax在(0，+o)上单调递增的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】函数f(x)在(0，+o)上单调递增的充要条件为∫'(x)≥0在(0，+o)上恒成立 f()=+2x-a,因此减要2xa20在0+o)上宜成立，即a2x在0)上恒成立 试卷第1页，共10页 当x>0时， +2x≥2×2x=25,当且仅当{=2x,即x=时，等号成立，所以a≤25， Vx 2 所以“a≤2√2”是“f(x)=lnx+x2-ax在(0，+o)上单调递增”的充要条件， 6.已知过点P(1,-2)且斜率为k的直线I与抛物线C:y2=-8x交于A,B两点，且P为线段AB的中 点，则直线的方程为 A.y=-2x-4B.y=-2x C.y=2x D.y=2x+2 【答案】C 【详解】设A(x,y),B(x,y2),则y+y2=-4,由 y=-8x：作差得 y=-8x2 (y,-y2)(y+y2)=-8(x-x2), 得k=-上=、-8=2，所以直线方程为y+2=2x+1》,即y=2x -x2y+》2 7.已知数列{a}满足：a,=1,对k∈N,a=a-+2,a2=2a，则aw= A.3.250-3 B.3.29-2 C.5.250-3 D.5.29-2 【答案】D 【详解】因为a2k2=akH+2=244+2,.02+2=2(a-1+2), 所以{a24+2}为公比为2的等比数列，且a2=a,+2=3则a2x+2=(a2+2)·2-1=5.2, 故a24=5.21-2.取k=50,则am=5.29-2. &已如发重线C手多-1a>b:0的六、右在点分别为片人，有P为双由线C位于签您限内的 一点，I为△FPF2的内心，PI交x轴于点D,且PI=3ID,直线PF的斜率为2√2，则双曲线C的离心 率为 B. 5 C.2 0 【答案】A 【详解】：I为△FPF的内心，I为角平分线交点， 又：Pi=3D, PE_PFP四-3， FDFDID PF+PF FD+ED PF+PF-3.PF+PFJ=66. 2c PF-PF=2a,PFl=3c+a,PF|=3c-a, 直线PE的斜率为2反，cos∠P5E=- 3 在△FPE,中，由余弦定理得(3c+a'=(3c-a)+(2c)'-2x(3c-a)x2c× 整理得e=C-5 ,选A a 3 试卷第2页，共10页 二、多选题 9.如图，在三棱柱ABC-ABC中，M,N分别是AB,B,C上的点，且BM=2AM,CN=2B,N.设 AB=a,AC=b,AA=c,若∠BAC=90,∠BAA=∠CAA=60,AB=AC=AA=1,则 A.A B.IMN 3 C.AB⊥BC D.sAnc-石 【答案】ABD 【详解】对于A,根据题意可得MN=MB+BB,+B,N,又BM=2AM,C,N=2B,N, 所以可得M=号A8+级+AC-+A+M+C-A+A+M+M+AC 2 引c+可++引-a+列-++号，即=++，可知A正编： 333 对于，由)加Mw0-, 3 所以-ga+6+d-+5++2a6+2b.c+2n-d-g3+0+1+)- 所以4专，n正， 对于C,易知AB=AA+AB,BC=BB+BC=AA-AB+AC, AB BG=(AA+AB)(AA-AB+AC)=(c+a)(c-a+b)-o-a.c+6.c+a.c-+a.b =1-分分分1+0：=0，所以成与C不套直，即c错误 对于D,由选项c可得ABBC-,且A可-(c+a-f+2ac+=1+1+1=3,即A=5: BC=(c-a+b)=d++-2ac+2bc-2a-b=1+1+1-1+1-0=3,即lBc=5; 1 所以可得cs(AB,BC） AB·BC =1,即D正确。 AB BC3x36 10.已知椭圆C:+二=1的左、右焦点分别为F、E,P为C上一点，则 1612 A.长轴长为8 B.存在点P使得∠FPE, 2 C.△FP5,内切圆半径的最大值为2 D.PE·PE的取值范围为[8,12] 【答案】ACD 【详解】a2=16,b2=12,c2=4,所以a=4,b=2√5，F(2,0),E（-2,0), 对于A,长轴长为2a=8,故A正确： 对于B,假设存在点P使得∠FPR-由题意可得 PFl+IPFJ=2a=8 IPR+IPEP=IFEP=16' 整理可得PF-8PF+24=0,因为△=64-4×24=-32<0，方程无解， 试卷第3页，共10页 故不存在点P使得∠EPE=,故B错误： 对于C,设aFPE,内切周半径为R,由S%×FF小K小-PE+|PE+FExR,即=R, 3 若P,F,5能构成三角形，则，小(0,23]，显然当，取得最大值25时，R取得最大值为25 故C 正确； 对于D,设P(k)则三+发=1，乃=12-3三，且4≤无≤4， 1612 4 P听=(-2-x)PF=(2-%-%),所以P听P听=-4+g=￡+8， 4 因为-4≤x≤4，所以P5P5,=5+8∈8,12]，故D正确， 4 11.己知数列{an}满足an1=a-2an+2,a,=a,则下列结论正确的是 A.{an}可能为常数列 B.存在a∈(0,1)，使数列{an}单调递增 C.当a=e+1时，{1n(an-1}的前2026项和为2226-1 D.当a=3时， a-1+a,1++a61<1 G-2a,aG-2a,a36-2a26 【答案】ACD 【详解】因为a1=a-2an+2,所以a1-1=(a,-1)2, 对A,若{a}为常数列，则a1-1=a。-1,所以a。-1=(a。-1)°，解得an=1或an=2,A正确； 对B,若数列{an}单调递增，则a2-a,=a2-3a,+2>0,解得a,<1或a,>2, 又a3-a2=a-3a2+2>0,解得a2<1或a2>2, 则a-2a,+2<1或a-2a+2>2,解得a,<0或a,>2, 所以，当a∈(O,l)时，数列{an}不可能单调递增，B错误； 对C,当a=e+1时，ln(a,-1)=1,又ln(an1-1)=2ln(an-1), 所以血(a-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以其前2026项和为上-2 =22026-1,C正确： 1-2 对D,因为an1=a-2an+2,所以a1-2=an(an-2), 所以觉&1-登a4-11 1 a-2aa,(a-2)a4-2a,(a-2)j 1）11 1 =1- a7-21 因为a>2,所以a4=(a-1+1>2,即。1，>0，所以1- a+1-2 a-2 <1,D正确 三、填空题 12.设函数f)的导数为f'),若f)=x2+2"0,则f"(3)= 3 【答案】7 【详解】因为f)+2对0，故f()=+2f0,敌f0-+2f0,解得f0-1,所以 f'(x)=x2-2,故f'(3)=7. 试卷第4页，共10页 13.己知数列{a}的前n项和Sn=-n2+8n,则{a}的前10项和为 【答案】52 【详解】因为S,=-m+8n,当n≥2时，a,=Sn-S1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9; 当n=1时，a,=S,=7满足上式：所以an=-2n+9,n∈N, 令an=-2n+9≥0，解得n≤4；令an=-2n+9<0,解得n≥5： 所以a+la2+a+…+ao=(a,+a2+a3+a4)-(a5+a。+…+ao) =S4-(S。-S4)=2S4-So=2×16-(-20)=52. 14.在三棱锥P-ABC中，PB=2AC,PA+PC=4,直线PB与平面PAC所成的角为 .若AC=2,则 PA的取值范围为；当AC变化时，三棱锥P-ABC体积的最大值为 【答案】(1)Q,3):(2)32 9 【详解】不妨设AC=t,由△PAC中PA+PC=4,可得0<t<4, 又由PA+PC=4>AC=1,故点P在以A,C为焦点，且2为长半轴长的椭圆上， 当P在该椭圆的上顶点P,时，△PAC的面积最大，此时PA=PC=2, 取4C的中点0，可得R0=术-A0=i6-7, Po(P) 则Sc)ACP0-6子，设点B到T面PAC的距离为h, 因为直线PB与平面PAC所成的角为子，可得h=PBsin于=V3, A 3 所以Ve=业esae-wh-ri6-Ti7, B 12 12 设x=2∈(0,16)且f(x)=16x2-x,则f'(x)=32x-32, 当e号）时f小0.河道：当得16时.0，f单调战 32 m以ws留6得台所yF网语得-号 当且仅当PA=PC=2,且AC 4N6时，等号成立，所以三棱锥P-ABC体积的最大值为 2 四、解答题 15.已知函数f(x)=xlnx. (1)求函数的图象在点x=1处的切线方程： (2)求函数的极值： 【详解】(1)f(x)=xlnx,.f'(x)=lnx+1,…1分 则f(1)=0,切点为(1,0)，…2分 切线的斜率为∫'(1)=1，… …3分 因此，y=f(x)的图象在点x=1处的切线方程为y-0=x-1,即y=x-1;…5分 试卷第5页，共10 (2)f(x)=xnx的定义域为(0，+o),由f'(x)=0得x=- …6分 列表如下： 1 0 -,+0 e f'(x) 0 f(x) 极小值 所以y=∫(x)的单调递减区间为 0,- 单调递增区间为二，+o: …10分 e 所以y=f()在x=处取得极小值， 且极小值为f …12分 无极大值.… …13分 注：本题求函数极值列表或解不等式均可 l6.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=a+an, (1)证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； 1 -,n为奇数 (2)若bn= a,an2 求数列{b}的前2n项和Tn 3a,n为偶数 【详解】(1) 当n=1时，2a=2S,=a+a,解得a1=1,…1分 当n≥2时，因为2Sn=a+an,所以2Sn1=a1+an1（n之2).…2分 相减得2an=a+an-a-an-1,即a-an-a-a1=0.…3分 所以(a。-0-1(an+0i)=0.…4分 因为{an}是正项数列，所以an+an-1>0, f所以an-an-1-1=0，…6分 故{an}是首项为1，公差为1的等差数列， ,6分 所以0n=01十(n-1)=n.…7分 (2)因为bn= 1一，n为奇数 1 a an2 则bn三 n(n+2 ,n为奇数 …… 8分 3,n为偶数 3,n为偶数 1 ,n为奇数 即bn= …………10分 3,n为偶数 所以T海=b+b+…+b=) …12分 7a=6+b+…+6=32+3++3_9x0-9）9-9 …14分 1-9 8 所以工=T+T=++9.9. …15分 试卷第6页，共10页 17.如图.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形.∠ABC=∠BCD=∠ADP=90,且 AB=PB=2,PA=2N2,BC=CD=1,E为PA中点. (I)证明：PB⊥平面ABCD: (2)已知线段PD上存在点M,使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为三，求M到直线DE的距离. B D 【详解】(1)记AB中点为G,连接BD,DG,则 四边形BCDG为正方形，且根据勾股定理得BD=AD=√2， 所以BD2+AD2=4=AB2,则∠ADB=90,所以ADL BD …1分 又因为AD⊥PD,BD∩PD=D,BD,PDC平面PDB,所以AD⊥平面PBD …3分 因为PBC平面PBD,所以AD⊥PB, ,4分 因为PB2+AB2=8=PA2,所以PB⊥AB,… …5分 又因为ABOAD=A,AB,ADC平面ABCD,所以PB⊥平面ABCD.…6分 (2)由(1)知，PB⊥平面ABCD,且∠ABC=90,所以BC,BA,BP两两相互垂直， 以B为坐标原点，以BC,BA,BP分别为x,y,轴建立如图空间直角坐标系， 则A(0,2,0),B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,1,0),P(0,0,2) 设PM=PD,∈[0,1]，则M(亿，，2-22)，…7分 则BA=(0,2,0),BM=(2,1,2-22),BC=(（1,0,0), 设平面MAB与平面MBC的法向量分别为=(x,,乙)和n,=(:,y2,), 8M-月=+2+(2-2列3-0令5=21-2，得月=(21-204).…9分 BA.n=2y=0 则 BC.n2=x2=0 BM.n2=2x2+y2+(2-22)z2=0 令=21-2，得，=(0,21-2,2).…11分 设平面MAB与平面MBC的夹角为0，B∈0,5 L21 则cos0=ks(么，西 n n2 12 m, (2-2)+5 解得1= …13分 因此DM DE=(-1,0,1), 所以M到直线DE的距离为d= DM- DM.DE √6 .…15分 DE 44 试卷第7页，共10页 18.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，直线l:2x-y-4=0经过F,过点M(4,0)的动直线2与 C相交于A,B两点. (1)求抛物线C的方程； (2)设O为坐标原点，若△ABF的面积为8√3，直线l,与y轴交于点N,证明：OM=OW: (3)若直线l,的斜率小于0，且I上任意一点到两直线AF,BF的距离相等，求直线l,的斜率. 珠 M 【详解】1)抛物线C:Y-2p(p>0)的焦点为F(号0 由题意可知，2×2-0-4=0，解得p=4, …1分 2 故抛物线C的方程为y2=8x,… …3分 (2)易知动直线l2的斜率不为0，设其方程x=y+4,A(x,y),B(x2,y2),…4分 y2=8得y-8-32=0, x=y+4 由 …5分 则△=642+128>0，y+y2=8t,yy2=-32, …6分 所以△A8F的信积为5m4-2)-小+广-4=6m+128=8F一2，…7分 由题意得，8√2+2=8√3，解得t=土1，… …9分 所以直线2的方程为x±y-4=0,则N(0,士4)，故OM=OW..…10分 (3)不妨设点A在第一象限内，则点B在第四象限内， 因为l1上任意一点到两直线AF,BF的距离相等，所以直线l平分∠AFB,…11分 结合图形可知，AR,BF的斜率都存在，则k=》, -2+2,k=五-2 书-2，+2’…12分 又直线！的斜率为2，在（上取一点E,且E位于点F的右上方， 出。-22-，2。 所以an∠AFE=tan∠BFE,则+2 1+2y 1+2y, y+2 y2+2 整理得，（(t+2)(2-4t)yy2-(8t+6)(y+y2)-16=0,…14分 由(2)得y+2=8t,yy2=-32, 所以-(t+2)(2-4)×32-(8t+6)×8t-16=0 整理得4+9-9=0，解得1=3或1=-3， …16分 4 经验证可知，1=-3，故直线，的斜率为了 1 …17分 试卷第8页，共10页 19.如果数列{an}的任意相邻三项a,a,a+1满足a-a1≤a(i≥2，i∈N),则称该数列为“凸数列 (1)已知{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a=b=1,1+a=b,+b4,a2+2=b·记cn= (①)求数列{cn}通项公式，并证明{cn}是“凸数列： ()求数列{cn}的前n项和； (2)设正项数列{dn}是“凸数列”，求证：任意n>2,n∈N,有 小品刘 其中∑4=dnm+dm1+…+dn(m<n). i=n 【详解】(1)(i)设{an}的公比为q(9>0),bn}的公差为d, [1+g2=2+4d, 由题意可得 q+2=1+2d, 解得q=3或q=-1（舍去)，d=2,…2分 因此an=3(neN),b,=2n-1(neN),故c.= 2n-1 31, …3分 2i-32i+1_42-4i-342-4i+1 2i-1 -321-2 322 3-1 =c,故数列{c}是“凸数列.…5分 35 (ii)S=c+c2+C3+.+cm+C=1 332+…+ 2n-3,2n-1 3"-2 3, =+3+5++2n-32n- 3 3- …7分 3323 3 两式相减得， 2n-1-2-2n+2 3 …9分 所以S,=3gacN) …10分 (2)记S=,=d,+d++d,则原不等式等价于 (n-1)2.S(S+d+dn)≥n(n-2)(S+d)(S+dn),…11分 因而只需证明S2+S(d,+dn)之n(n-2)d,dn,…12分 因为4d.e2eN)情u子登受s d,d 故ddn≤d2dnl≤d,dn-2≤…，… …14分 试卷第9页，共10页 而s=d+d++d=[d,+d)+(d+d)++(d+d)+(d+d】 2Vd2dn+√d,dn2+…+√dn-2d+Vdnd2≥(n-2)Wd,dn,…16分 从而S2+S(d,+dn)2(n-2)2.ddn+2(n-2)d,dn=（n2-2n)ddn, 即S2+S(d+dn)≥n(n-2)ddn,结论得证.…17分 试卷第10页，共10页姓名 班级 座号 (在此卷上答题无效) 2025-2026学年（上)厦门大学附属科技中学高二期末质量检测 数学 试 题 (考试时长：120分钟 满分：150分) 注意豪项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清 清楚。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的。 1.若ā=(0,0,1)，b=(1,0,0),c=(1,y,1)不能构成空间的一个基底，则y= A.-1 B.0 C.1 D.2 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a=11,a,=13,则S。= A.130 B.135 C.145 D.150 3.若直线l:3x-4y+10=0与直线l2:mx-8y-10=0平行，则1与12之间的距离是 A.3 B.1 D.4 4.已知两圆x2+(y-2m)=1和(x-n)+y2=9恰有一条公切线，则动点(m,n)的轨迹方程为 c.+-1 D.2+兰=I 164 416 4 5.已知a∈R,则“a≤2√2”是“f(x)=lnx+x2-ax在(0，+o)上单调递增的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设斜率为k的直线1与抛物线C:y2=-8x交于A,B两点，若P(-1,-2)为线段AB的中点，则直线1的方程为 A.y=-2x-4B.y=-2x C.y=2x D.y=2x+2 7.己知数列{an}满足：a,=1,对k∈N,a2k=a2k-1+2,a2k+1=2a2k,则a10= A.3.250-3 B.3.29-2 C.5.250-3 D.5.249-2 8.己知双曲线T的左、右焦点分别为F,F2,点P为T上位于第一象限内的一点，I为△FPF的内心，PI交x轴 于点D,且PI=3ID,直线PF的斜率为2√2，则T的离心率为 A. R C.2 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 试卷第1页，共4页 9.在三棱柱ABC-AB,C,中，M,N分别是AB,B,C上的点，且BM=2AM,C,N=2BW.设AB=a,AC=b, AA=c,若∠BAC=90,∠BAA=∠CAA=60,AB=AC=AA=1,则 3 w号 C.AB⊥BC D.cos<AB.BC>1 6 1O.已知椭圆C:+兰=1的左、右焦点分别为R、乃，P为C上一点，则 1612 A.长轴长为8 B.存在点P使得∠EPE,= 2 C.PE·PE,的取值范围为[8,12] D.△FPF内切圆半径的最大值为25 11,已知数列{an}满足an1=a-2an+2,a,=a,则 A.{a}可能为常数列 B.存在a∈(0,1)，使数列{an}单调递增 C.当a=e+1时，{n(an-1奶的前2026项和为2226-1 D.当a=3时，)+4+十0-1<1 a2-2a1a-2a2 a3026-2a2026 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 2.记函数f的导数为f(,若f0=+2f四，则f3)= l3.己知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n,则数列an}的前10项和为 14,在三棱锥PABC中，PB=21C,PA+PC=4,且直线PB与平面PAC所成的角为行若AC=2,则PA 长度的取值范围为 ·当AC变化时，三棱锥P-ABC体积的最大值为 四、解答题：本大题共6小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知函数f(x)=xnx. (1)求f(x)的图象在点x=1处的切线方程： (2)求f(x)的极值. 试卷第2页，共4页 16.(15分) 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=a+an· (1)求{an}的通项公式： 1一，n为奇数 (2)若bn= a,an2 求数列{b}的前2n项和T,n 3,n为偶数 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形.∠ABC=∠BCD=∠ADP=90,且AB=PB=2, PA=22,BC=CD=1,E为PA中点. (1)证明：PB⊥平面ABCD; (2)己知线段PD上存在点M,使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为：，求M到直线DE的距离， B 试卷第3页，共4页 18.(17分) 已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，直线l:2x-y-4=0经过F,过点M(4,0)的动直线l,与C相交 于A,B两点. (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，I,与y轴交于点N,若△ABF的面积为8√3，证明：OM=OW: (3)若l2的斜率小于0，且（上任意一点到直线AF,BF的距离相等，求l2的斜率. 19.(17分) 若数列{an}的任意相邻三项a-1,a,a1满足a-4≤a(i≥2，ieN),则称该数列为“凸数列. (1)已知{an}是正项等比数列，bn}是等差数列，且a=b=1,1+43=b+b4,a2+2=b·设bn=0n·Cn, (i)求数列{cn}的通项公式，并证明{cn}是“凸数列”： (i)求数列{cn}的前n项和； (2)设正项数列{dn}是“凸数列'，求证：任意n>2,n∈N,有 4'4 其中∑4，=dn+dmi+…+d,m<m. 试卷第4页，共4页