精品解析：浙江省温州市泰顺县育才高级中学2025-2026学年高二上学期第十次周考数学试题

泰顺育才高中2024级高二年级第一次限时训练（A卷） 数学学科试题 本试题卷考查范围：选择性必修一～选择性必修第二册 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数求导法则计算出答案 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为，所以， 即，所以圆与圆相交. 故选：A. 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算和基本定理即可求解. 【详解】由题意， 令， 所以，解得， 所以在基底下的坐标为， 故选：A 5. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，得到，求得，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】如图所示，因为与的面积比为，可得与的面积比为， 所以，则， 又因为点的纵坐标为，可得，即，所以， 由抛物线的定义，可得. 故选：B. 7. 如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（ ） A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积， 图形4的面积， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 8. 设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（ ）. A. 507 B. 1013 C. 1519 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，结合题意与二次函数的表达式合并后由二次方程解的个数求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则第项满足， 每个二次函数满足， 变形为， 对于固定的，这是一个关于的二次方程，最多有两个整数解，因此，每个二次函数最多能覆盖两个不同的值. 所以总共2025个值需要覆盖，因此需要个，但为整数，所以需要1013个. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点（2，1） B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，则直线被圆截得的弦长为2 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，将直线方程变形为点斜式可判断；对于选项B，将圆的方程化为标准式可判断；对于选项C，通过判断直线所过定点与圆的关系可判断；对于选项D，时，直线过圆心，可判断直线被圆截得的弦长. 【详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误． 故选：AB 10. 在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则（     ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，通过向量点积判断垂直、体对角线求外接球表面积、向量平行判断平面平行、底面积与点面距计算体积，逐一验证选项. 【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， ；，. 选项A，向量，， ，故，A正确. 选项B，长方体体对角线长为， 外接球半径，表面积为，B正确. 选项C，平面内，，； 平面内，，， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面，由于，平面， 所以平面平面，C正确. 选项D，四棱锥的底面是矩形， 底面积为； ， 所以，所以， 由于，平面， 所以平面，所以到平面的距离为， 体积为，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的定义域和值域都为，且图象是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： + 0 - 0 + 设，若集合，其中，，为常数，则符合要求的集合的个数可能是（ ） A. 3 B. 27 C. 63 D. 343 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的性质，由对应取值的情况分类讨论求出的个数即可. 【详解】依题意，函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 因此对应取值可以是1个、2个或3个， 且当或时，取值只有1个； 当或时，取值只有2个； 当时，取值有3个， 若对应的个数均为1时，集合的个数为1； 若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，故A有可能； 若对应的根的个数为1，1，3， 则符合要求的集合的个数为； 若对应的根的个数为1，2，2， 则符合要求的集合的个数为； 若对应的根的个数为1，2，3， 则符合要求的集合的个数为； 若对应的根的个数为1，3，3， 则符合要求的集合的个数为； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的集合的个数为，故C有可能； 若对应的根的个数为2，3，3， 则符合要求的集合的个数为； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，故D有可能. 故选：ACD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距及方程求得，然后代入焦点在y轴上的双曲线渐近线方程求解即可 【详解】由题意可知，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 14. 已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②当与坐标轴平行时，最小值为2； ③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则； ④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①结合图形，结合相切状态求解最小值；②由，构造函数求解最小值，再证明最小值大于；③先证明若四边形为正方形，则，可知与，与关于直线对称；结合对称性分析存在正方形满足题意，进而利用坐标表达面积，结合关系式利用单调性求解范围；④设切点，，利用函数的对称性、导数求切线方程，借助切线斜率建立等量关系证明即可. 【详解】对于①： 因为与互为反函数，它们的图象关于对称， 所以的最小值就是点到直线的最小距离的2倍. 对求导得，令，解得. 此时，即曲线在点处的切线斜率为1， 切线方程为，即. 切点到直线的距离为， 即点到直线的最小距离为， 所以的最小值为，故①正确； 对于②： 当与坐标轴平行时， 若与轴平行，此时，则. 令，对其求导得， 在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； 若与轴平行，则可设，（） 则， 同理可证. 综上可知，当与坐标轴平行时，最小值不为2，故②错误； 对于③： 当四边形为正方形时， 因为与互为反函数，它们的图象关于对称. 如图，设（）， 则， 因为可由逆时针旋转得到，故，又， 可得， 且，， 故，且， 设， 设， 由， 则有；又， 联立可得（）， 由，可解得， 则由可得， ， 若，则， 所以， 可得，则，这与矛盾； 若，则， 所以， 可得，则，这与矛盾； 故，即，从而. 所以与直线平行，由此可知与，与关于直线对称； 则可设（）， 所以；； 则，可得，所以， 所以有，即. 令，（） 再令， 则，故在上单调递增， 则，所以即. 则，所以， 故在上单调递减， 由，且， 故在内有唯一零点， 即方程有唯一解，故仅存在一个这样的正方形. 且，， 且在为单调增函数， 故，故，故③正确； 对于④： 如图，由图象可知，两函数恰有两条公切线，且两公切线也关于对称. 设两公切线分别与相切的切点为，. 则点关于直线的对称点即为公切线与相切的切点， 由， 则公切线的斜率， 所以，可得， 故线段的中点在轴上，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为为等边三角形，且是的中点， 所以，又，且，，面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，取的中点为，连接，得 由（1）知：平面，所以平面， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 得，，，，所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为， 即平面与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）证明令，得，由此得, 由于，则， 两式相减得，即， 所以，即， 故数列是等比数列，其首项为，， 故数列的通项公式是. （2）. 【解析】 【分析】(1)由，可得，两式相减，可化为,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴，利用“裂项法”，即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， . 【点睛】本题主要考查递推关系求通项、等比数列的定义与通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18. 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上. （1）求、的方程； （2）在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由； （3）如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值. 【答案】（1）， （2）存在， （3）设，则，又，故，故. 显然直线斜率不为0，设的方程为，， 联立得，故，又，又，故 ，故有，故，即为定值10 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量求解即可； （2）设，进而得到，再分别代入对应的方程，联立求解即可； （3）先证明，再设的方程为，联立的方程，根据弦长公式可得关于的表达式，同理可得的表达式，再化简求得定值即可 【小问1详解】 由题，，故，又，且、相似，故，故，故 【小问2详解】 由题，，设，中点，故即，故，解得，，故 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了椭圆中设点，根据椭圆的方程化简求解的方法，同时也考查了椭圆中的定值问题，包括弦长公式等化简，属于难题 19. 已知实数，函数. （1）（i）若函数在上恰有一个零点，求实数的值； （ⅱ）当时，证明：对任意的，恒有. （2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：. 【答案】（1）（i）； （ⅱ）证明：，， 要证，即证， ， 则， 需证， 由，且， 由，则，即在上，递减，所以，即， 综上，成立，故得证. （2） 证明：由等价于，若，需证， 由上，，故时，即递减. 因为等价于， 令且，，则， 又在上递减，趋向正无穷时趋向于， 所以使，则在上，递增；在上，递减； 综上，存在极大值，结合是的两个不同零点， 所以，且， 综上，由的单调性，问题转化为证明即可. 当时，显然成立； 当时，要证，只需即可， 令且，则，故递减，则，即， 所以， 令，则在上递减且，，故使， 所以在上，递增，上，递减， 则，即. 综上，上，得证. 【解析】 【分析】（1）（i）由题设可得，根据导函数符号判断的单调性，进而求得极值，结合题设有，即可求参数值；（ⅱ）将问题转化为求证，再将其展开有，利用基本不等式、因式分解，并构造并利用导数研究单调性，即可证明结论. （2）令并研究其单调性，将问题转化为求证，然后构造，利用导数研究极值点、单调性可得，结合，将问题进一步转化为求证即，讨论、，构造中间函数结合导数研究函数值符号，即可证结论. 【小问1详解】 （i）由题设且，则上，上， 所以在上递减，在上递增，而， 要使在上恰有一个零点，只需，即. （ⅱ）略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛： （1）（ⅱ）将问题转化为，利用基本不等式、因式分解、构造函数研究单调性证明不等式； （2）利用分析法，构造结合导数研究单调性、极值，将问题转化为求证，注意分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰顺育才高中2024级高二年级第一次限时训练（A卷） 数学学科试题 本试题卷考查范围：选择性必修一～选择性必修第二册 1.全卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠，不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 4. 若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于，两点，与轴交于点，点的纵坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（ ） A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048 8. 设是由个二次函数组成的集合，对于连续的正整数，存在二次函数可重复，使得是等差数列，则的最小可能值是（ ）. A. 507 B. 1013 C. 1519 D. 2025 二、选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点（2，1） B. 圆的半径为2 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 若，则直线被圆截得的弦长为2 10. 在长方体中，，，，，分别为棱，的中点，则（     ） A. B. 该长方体的外接球表面积为 C. 平面平面 D. 四棱锥的体积为 11. 已知函数的定义域和值域都为，且图象是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： + 0 - 0 + 设，若集合，其中，，为常数，则符合要求的集合的个数可能是（ ） A. 3 B. 27 C. 63 D. 343 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为______. 13. 若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 14. 已知A，B两点在曲线上，C，D两点在曲线上，给出下列四个结论： ①的最小值为； ②当与坐标轴平行时，最小值为2； ③当四边形为正方形时，设正方形面积为S，则； ④当直线均为曲线和的公切线时，线段的中点在轴上． 其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 16. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 定义：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆相似.如图，椭圆、是两个相似的椭圆，椭圆的长半轴长是4，短半轴长是2，且的左､右焦点、都在椭圆上. （1）求、的方程； （2）在上是否存在点P满足，线段的中点在上，如有请求出P的坐标，否则请说明理由； （3）如图，若Q是上异于、的任意一点，直线与交于A､B两点，直线与交于D､E两点，求证：为定值. 19. 已知实数，函数. （1）（i）若函数在上恰有一个零点，求实数的值； （ⅱ）当时，证明：对任意的，恒有. （2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $