精品解析：天津市伯苓高级中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题

2025～2026学年度第一学期12月份质量检测试卷 高二年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，…的第10项是(　　) A. B. C. D. 2. 双曲线：的离心率是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6. 若两个等差数列、的前项和分别为、,且，则等于 A. B. C. D. 7. 如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若，且，则此抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（，），过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，为双曲线的右焦点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ） A. 的最大项是 B. 的最小项是 C. 的最大项是 D. 的最小项是 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 数列的前项和记为，若，则_________． 11. 若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________． 12. 已知等差数列满足，则的值为______. 13. 设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为_____________． 14. 已知为等差数列，是等差数列的前项和，若，为数列的前项和，则_______． 15. 已知抛物线，倾斜角为的直线过焦点，且与在第一象限交于点M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为E，直线交C于两点，则_____________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求，； （2）设，求. 17. 如果双曲线的两个焦点分别为，，一条渐近线方程为：. （1）求该双曲线的方程； （2）过焦点，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求. 18. 已知抛物线C：（）过点. （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）求以为中点的抛物线C的弦所在直线的方程. 19. 已知数列的前n项和为，且满足，（）. （1）证明：是等差数列； （2）求. 20. 已知抛物线过点， （1）求物线的方程； （2）为坐标原点，A､B为抛物线C上异于原点的不同两点，直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2025~2026学年度第一学期12月份质量检测试卷 高二年级数学学科 本试卷分为第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟.答 卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.答卷时，考生务必 将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效祝各位考生考试顺利！ 第卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共5分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 2468 1.数列3,5,7,9，…的第10项是() 16 18 20 22 A.17 B.19 C.21 D.23 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案， 2468 2n 【详解】由题意，根据数列3’了’79“，可求得数列的通项公式0，=2n+1, 2×1020 所以数列的第10项为002×10+121，故选C. 【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出 数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力· 第1页/共20页 学科网命组卷网 2.双曲线C:9 -x2=-1 的离心率是() A.3 B.3 C.2 10 0 【答案】D 【解析】 【分析】 双曲线C: 9-2= y 化为标准方程是P- -91,则a=1,c=Va+6=+9=10,根据离心率 8e后 求解即可： y2 【详解】双曲线C:9 -x2=- 化为标准方程是2 -91,其离心率是e= +9=0 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线方程标准化，是解决本题的关键，属于较易题 3.已知点)在抛物线C:广=2r(p>0)上，则C的焦点到其准缓的距离为() 1 A.4 B.I C.1 D.2 2 【答案】B 【解析】 1,1) 【分析】由点 在抛物线上，求得参数P,焦点到其准线的距离即为P 1 【详解】由点(，)在抛物线上，易知l=2p,P= 2,故焦点到其准线的距离为2· 故选：B. ,n∈N 4.在数列{a}中，4=2，且01-a, ，则a2020=（) 第2页/共20页 6学科网 6组卷网 1 A.2 B.-1 C.2 D.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件推导出数列a,}的周期，再借助周期性计算得解 1 =1 1 an+2 ÷1、1 【详解】在数列(a,}中，neN…aa,则 1-a1-,1 a 1-a 1 -=a 02上0马，于足得数列6是周明数，质脚为3 a. 42020=a673x3+1=41=2 所以 z020=2 故选：A 5.己知等差数列{a,},4=3,4+a=10,则4-24，=（) -3 A. B.3 C.4 D.4 【答案】A 【解析】 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【详解1a,}为等差数列，六4+4=24,4-20，=-4，=-3 故选：A S.=2n+ (n∈N)a 6.若两个等差数列{an}、{,}的前n项和分别为Sn、Tn,且Tnn+2 ,则b,等于 5 31 A.2 B.3 C.5 D.17 第3页/共20页 命学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 13(a+a3) a 2a S3-2×13+1_27_9 【详解】b22b, 13(b+b3) Te 13+2=15=5 2 故选：C 7如图，过抛物线广=2pD>0) 的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线I于点C.若 BC=2BFAF=3 则此抛物线的方程为() B A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2=x 【答案】C 【解析】 【分析】分别过点，8作雅线的垂线，分别交准线于点B.D,设BF口 ,设 ，根据抛物线定义可知 BD =a ∠BCD BDIIFG 进而推断出 的值，在直角三角形中求得，进而根据 ，利用比例线段的性质 可求得P，则抛物线方程可得。 【详解】如图分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点B, E DBF=a ，设 ,则由已知得： BC=2a |BD=a∠BCD=30° ,由定义得： ,故 ACE ,1AE=3|AC=3+3a 在直角三角形 中， 第4页/共20页 学科网命组卷网 .2 AEAC .3+3a=6 从而得a=1, ·.·BD/FG 12 3 ·卫3求得P=) 2, 所以抛物线的方程为广=3x 故选：C G B C 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程.考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中 档题 x2 y2 π 8.已知双曲线示方=引(a>0,b>0),过原点作一条领斜角为3的直线分别交双曲线左、右两支 于P,2两点，F为双曲线的右焦点若PF10F 则双曲线的离心率为() A.V2+1 B.V3+1 C.2 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设直线方程为'=V3x,联立双曲线方程，可得的坐标，由PF1QF,可得00 HOFH-e, 第5页/共20页 6学科网6组卷网 再由a,b,c和e的关系式，计算可得所求值. 「x2y2 【详解】解：解：设直线方程为 联立双曲线方程口】 ，消去得： y=V3x y=V3x y (b2-3a2)x2=a2b2 a2b2 3a2b2 则=6-3d.=30, 可得100P=x2+y2=4a b2-3a2 PF⊥Q 因为 ,所uor=og=o=c, 4a2b2 所以-3a=c2=d+b, 化为B'-6db2-3a=0 解得=B±2V3a2 由2>3a,可得8=6+25d: b2 故选：B 第6页/共20页 命学科网命组卷网 0 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且n+1 4s<-1 h心n止>S”nEN）,若a,,则c） AS的最大项是8 BS的最小项是8 C.S的最大项是S, 、的最小顶是， D 【答案】D 【解析】 s<-1 【分析】由已知不等式推出公差d>0,再结合a,得出a,<0且a>0,从而判断出前n项和Sn的 Si 最小项为 nS>S,→S>0n+0S,→nS,+a>m+0S,→nm1>8. 【详解】n+l S,=na+a) 对于等差数列， 2,代入得： mH>g+a）今2a>4+a. 2 又因为1=0n+d 代入化简可得：a,+2d>4→(a+(n-1)d+2d>a→d+d>0 第7页/共20页 6学科网 命组卷网 对所有 nE N 成立，故公差d>0。 因为d>0,数列递增，故ag>a,由a, s<-1→4<0 ,且as>-a2>0: 因此：当n≤7时，4，<0，当n≥8时，a>0, 前”项和S在0，由负转正时取得最小值，即S是最小项 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分 10.数列a,}的前n项和记为，若S,=n-3n+1则4，= -1,n=1 【答案】 2n-4,n≥2 【解析】 【分折】根据，S的关系即可求解 【详解】当n≥2时，有4=8，-S=-3n+1-[（0-l-36n-)+刊=2m-4 但当n=1时，4=S=-1 不适合上式， ∫-1，n=1, 故9 2n-4,n≥2 [-1,n=1 故答案为：2n-4,n≥2 11若P4,D)为抛物线C:r=2pp>0)上一点，抛物线C的焦点为R,则PF 【答案】5 第8页/共20页 6学科网命组卷网 【解析】 P(4,1) 【分析】先把点 的坐标代入抛物线方程中求出P,再由抛物线的定义可求得 的值 【详解】由P(4,1为抛物线C:r=2mD>0)上一点，得4=2px1,可得D=8 PF=1+ 则 2 故答案为：5 12已知等差数列fa,}满足4+a,+41=2π，则cos(a+a)的值为 1 【答案】2 【解析】 2 【分析】等差数列的性质可知求4，=37，再根据4，+a,=2a6求值 一π 【详解】由等差数列的性质可知 a1+a6+a11=3a6=2π 2 ∴.a6=2π 3 4,+4=2a,-37, 4 41 ∴.cos(a+a)=cos。π= °3 2 【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型. x2 13设P为双曲线4y=l上一动点，0为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为 第9页/共20页 6学科网 命组卷网 【答案】 x2-4y2=1 【解析】 【分析】设M(,),P(,）,用M的坐标表示P的坐标，再代入双曲线方程即可得答案 【详解】设M(x),P(,%). xs 2 则 y=,即=2x, 2 %=2y x02 2-(2=1, 又=1，则 整理得x-4y2-1 即点M的轨迹方程为 x2-4y2=1 x2-4y2=1 故答案为： 14已知红为等装数列，8，是等送数列的前n项和，石4，+以=2，S,=75,乙为数列停的前n质 和，则 12 9 n--n 【答案】4 4 【解析】 S=2n- 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项公式，求得数列的通项公式a,进而求得n2”2,再利 用等差数列的前n项和公式，即可求解， 【详解]】由题底，4=0+d,4=a+5d,所以4+a,=2a+6d=2 ① 第10页/供20页 命学科网命组卷网 又Ss=15a+105d=75 ②， 联边08，解有4=-之d-】、数别的适项公食4=川-3 所以5 S.=In-5 2，n22, 即数列产是以-2为首项，为公差的等差数列， =-2n+-Dx-_9 数列 n 前n项的和为 2×2=4”-4” 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式和前项和公式的应用，其中解答中 熟记等差数列的通项公式和前项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题. 15.已知抛物 C:r=2mD>0,倾斜角为30°的直线'过焦点F,且与C在第一象限交于点M,过 1ABI_ 点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为E,直线EF交C于A,B两点，则EF| 4 【答案】3 【解析】 【分析】由抛物线的定义得出焦点F的坐标，由直线的倾斜角，得出△FME为等边三角形，且直线FE 的倾斜角为150°，由直线FE的方程与抛物线联立得出交点坐标，设A点在第二象限，由抛物线的定义即 ABI 可得出 由直线与直线AB的领斜角得出直线与直线1B关于y辅对称，则点1和点M关于'轴 对称，得出点M坐标，由△FME为等边三角形，即可得出 EF 从而求得比值. 第11页/共20页 命学科网命组卷网 F0,3 【详解】由题意知，抛物线C的焦 ，准线方程=号， 因为ME14,所以MF=ME 由直线1的倾斜角为30°，知∠FME=60°，故△FME为等边三角形， 3 易知直线FE的倾斜角为150°，所以直线FE的方程为y= 3T2, [ (x2=2py x= 3p[ x=-3p 联立抛物线与直线的方程得了 y=3x+卫，解得 少=P或33卫 3 2 y= 6 如周所际，不设4k第三限，所以(n}停】 由抛物线的定义知 由直线I与直线AB的倾斜角可知，直线I与直线AB关于y轴对称，且抛物线C关于y轴对称， 所以点A利点M关Fy袖对称，用(5n)】 又AM为等边三角形，所以EM=+号=2p, 8p 所以AB!=34 EF 2p 3' 4 故答案为：3. 第12页/供20页 6学科网列组卷网 B 三、解答题：本题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16已知为等差数列a,的前”项和，0=2.S=-252 1)求0，； 2)设7=a+a+…+a.l,求7n 【答案】(1)a,=10-2n.Sn=9n-n2 (2)7= 9n-n2,n≤5 n2-9n+40,n≥6 【解析】 【分析】（1)根据等差数列的公式得到基本量48，d=-2进而得到结果即可； (2)分两种情况n≤5时，n≥6时，分别求和即可. 【小问1详解】 设等差数列a,的公差为d,4=2 1=a+43)x21=21a=-252 2 ,得4，=-12 故7d=41-a=-12-2=-14 解得d=-2 则4=0，-3d=2+3x2=8,得4=8，d=-2 第13页/共20页 命学科网命组卷网 :an=8-2(n-1)=10-2n S.=n8+10-20-9n-2 2 【小问2详解】 :n≤5时，a.≥0，此时，a=a, 当n≤5时，Tn=S,=9n-n2 又8=9x5-52=20 n26 时， Tn=la+a+a+…+la =a1+a2+43+a4+a5-(a6+a+…+an) =S,-(Sn-S)=-Sn+2S=n2-9n+40 9n-n2,n≤5 n2-9n+40,n≥6 17如果双曲线的两个焦点分别为(-3,0)，F(3,0) 一条渐近线方程为：y=V2x (1)求该双曲线的方程： 2 (2)过焦点B,倾斜角为3的直线与该双曲线交于A,B两点，求AB. x_y-1 【答案】(1)36 (2)16V3 【解析】 【分析】(1)依题意设出双曲线方程，根据焦点坐标求得c,根据渐近线方程求得a和b的关系，进而根 第14页/共20页 命学科网命组卷网 据a,b和c的关系求得a和b,则双曲线方程可得. (2)由题意可得，可求直线解析式，直线与双曲线联立，由韦达定理可得+，即可求解 【小问1详解】 a2+b2=9 a京=1(a>0,b>0):由题意可得 设双曲线方程为x2y2 -2 [a2=3 ，解得 1b2=6 ,所以双曲线方程为 a 361 【小问2详解】 因为该直线过焦点B,倾斜角为3，所以直线的斜率为V3,所以直线1：y=V5(x-3)=V3x-3√3 x2 y2 =1 所以 36 y=V3x-33 联立可得-18x+33=0 方程-18x+3=0的判别式4=18-4×33>0 x+x2=18 设A(x,)B(x22)所以x为2=33， 所以AB=+(3VG+x了-4=2w8-4x3=16N5 18已知抛物线C:广=2pr(p>0)过点P(2,4) (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程： (2)求以0- 为中点的抛物线C的弦所在直线的方程 第15页/供20页 6学科网命组卷网 【答案】（1)广=8x,x=-2 4x+y-3=0 (2) 【解析】 P(2,4) 【分析】(1)由点 在抛物线上，代入方程待定系数即可： (2)己知弦的中点，由点差法可求弦所在直线斜率，再由点斜式方程可求. 【小问1详解】 根据抛物线C:广=2px(p>0)过点P(2,4), 16=4p 可得 解得P4 从而抛物线C的方程为”=8x 准线方程为x=-2； 【小问2详解】 设张的两端点分别为1(，)，B,少），设点，-为M, 当直线AB垂直于x轴时， 由对称性可知，AB的中点在x轴上，则不为AB的中点，不符合题意， 故直线B垂直于”轴，即 x≠x2 =8x,① 则-8x,② 由②-①得， (0y2+y)y2-)=8(x2-x) 由点M,-是AB的中点，片+=-2，代入上式得， -2y2-y)=8(x2-x) 故直线AB的斜率k=-4,且直线过M(L,-I), 第16页/共20页 命学科网命组卷网 所以弦所在直线的方程为y+1=4(x-),即4x+y-3=0 1 19.已知数列{a,}的前n项和为S,且满足4=2，a,=-2S。-S(n≥2)。 (1)证明： S. 是等差数列； 1 1 十…十 (2)求SS3 【答案】(1)证明： 11=2 因为a,=-2S,·Sn1(n≥2)，所以Sn-Sn1=-2Sn·Sn1,可得SnSn1, 1 层以--2为首项.以日=2为公的等整数列 所以数列S了是以Sa (2)2(n+1)2 【解析】 11=2 【分析】(1)先根据和项与通项关系化简条件得S。S,再根据等差数列定义证明： 1 (2)先求 Sn 通项公式，再根据等差数列求和公式得结果. 【详解】(1)略： 第17页供20页 6学科网列组卷网 11 (2)由(1)得SnS +(n-l)d=2+2(n-l)=2n 1,1， +1=2×1+2×3+…+2(2n+1)=2[1+3++(2n+] 则SS,S2l =2xa+101+2m+0=2n+l 2 【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析论证与求解能力，属中 档题 20.已知抛物线Cy=2pm>0)过点，) (1)求物线C的方程； (2②)0为坐标原点，AB为抛物线C上异于原点0的不同两点，直线OA,0B的斜率分别为，：，若 kk2=-2 求证：直线AB过定点 【答案】(1)y=x (2)证明：设点A、B的坐标分别为(，少)(2，）】 -=1 12 y吃2， 由题意有 之，得=- -=-2 2, 1 X=- ①当直线AB的斜率不存在时，此时=一y,直线AB的方程为2， ②当直线1B的斜率存在时，设直线1B的方程为 =k+m(m≠0) 第18页/供20页 学科网命组卷网 [y2=x 联立方程y=c+m,消去x后整理为y2-y+m=0: 可得%=k=-2,得k=-2m, 直线的方程为y=-2x+m,可化为-2m-》 【解析】 【分析】1)根据抛物线Cy=2p(p>0过点，)，由1=2P求解 1 (2)设点4.B的坐标分别为(，h)(,),由k6=-2,易得出=一2，当直线1B的斜率存在 [y2=x -m1 时，设直线4B的方程为y=:+m(m≠0)，联立方程y=:+m利用韦达定理由少=K=一2求 解即可·注意直线AB的斜率不存在的情况 【小问1详解】 因为抛物线Cy=2pxp>0)过点（)）， 所以1=2p,解得 所以抛物线C的方程为广=x 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线 系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求 第19页/共20页 6学科网6组卷网 定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 第20页/共20页