精品解析：重庆铜梁区2025年秋期期末考试 九年级 数学试题

2025年秋期期末考试 九年级数学试题 （全卷共6页三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．本卷中，计算结果如果是无理数，在没有特殊说明的情况下，保留根号或． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每一个小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上． 1. 的相反数是（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 2. 以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程有一个根是3，则k的值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 9 4. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 以下各点中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 数学老师推动以“四大名著中的数学问题”跨学科主题寒假阅读行动，小斌同学从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》中挑选2本作为寒假阅读内容，则挑选到《西游记》的概率是_________． 12. 若为正整数，且满足，的值是_________． 13. 某养殖专业户实行科技养殖，2025年养殖总产值为250万元，较2023年养殖的总产值净增90万元，则该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为_________． 14. 若实数m，n同时满足，，的值是________． 15. 如图，菱形中，，以为弦作恰好与相切于点，点为弧的中点，连接交于点，则的半径长度是________，的长度是________． 16. 如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，，那么称这个四位数为“丰收数”．例如四位数，各位数字互不相等且均不为，满足，，是“丰收数”．最大的“丰收数”是________；若一个“丰收数”除以余数为，则满足条件的“丰收数”的中最大值与最小值的差是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 在学习了正方形之后，“读思悟”数学学习小组进行了拓展性研究，他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作垂线．如图，在正方形中，点是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，垂足为点． 第二步：利用全等证明． 证明：四边形是正方形， _________，， ， ， ， ． 在和， ． ． 19. 2025年9月3日，我国在北京天安门广场隆重举行盛大阅兵仪式，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某区开展主题为“纪念抗战，铭记历史”的中国人民抗日战争知识竞赛．数学李老师对该区甲、乙两个初中学校的竞赛成绩进行了统计分析． 收集数据：从甲、乙学校中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分） 如下： 甲学校20名学生的竞赛成绩： 78，80，67，92，82，65，74，90，88，67，82，70，95，62，74，82，96，84，77，82． 乙学校20名学生的竞赛成绩： 92，83，66，92，90，86，80，90，82，65，90，70，96，68，77，75，90，88，90，74． 整理数据： 成绩x/分 甲学校人数 4 5 7 4 乙学校人数 3 4 5 8 分析数据： 学校 平均数 中位数 众数 甲学校 a 82 乙学校 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________． （2）结合以上数据的整理和分析，你认为哪个学校学生对抗战知识更了解一些？请说明理由．（写出一条即可） （3）若甲学校有1500名学生参加了此次知识竞赛，乙学校有1800名学生参加了此次知识竞赛，请估计这两个学校本次竞赛成绩为优秀（成绩在90分及以上为优秀）的学生总人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某区为打造非物质文化遗产，开发了A，B两种文创产品．某销售店销售这两种产品，A种产品的售价比B种产品的售价多100元/件．去年12月份，该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同，经核算，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元． （1）求该店A，B两种文创产品的销售单价各是多少元？ （2）今年开始，该店对这两种产品进行调价销售．与去年12月相比，对A种产品售价每降低10元，销售数量将增加1件，B种产品单价提高50元进行销售．截至1月20日，该店B产品销售数量已达到去年12月B产品的销量，这样，该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，该店对A种产品每件售价降低多少元？ 22. 如图，菱形中，边，对角线相交于点，，点是线段靠近点的三等分点，连接．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线方向运动到点停止，同时点以每秒个单位的速度，从点沿射线方向运动，点停止时点停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，的值为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 如图，五边形是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道，线段是连接小湖南北的一条步道，步道的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行．已知点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西方向，，测得米，米，米．（参考数据：，，） （1）计算步道的长度； （2）小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①；②． 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 24. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． （1）如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； （2）如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3），，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期末考试 九年级数学试题 （全卷共6页三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号； 3．答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．本卷中，计算结果如果是无理数，在没有特殊说明的情况下，保留根号或． 参考公式： 抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每一个小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上． 1. 的相反数是（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 以下标识图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．直接根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：图案、图案：既是轴对称图形，又是中心对称图形， 图案：是轴对称图形，不是中心对称图形； 图案：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是个． 故选：B． 3. 已知方程有一个根是3，则k的值是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵方程有一个根是3， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 4. 抛物线的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的对称轴是直线即可求解． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴对称轴为． 故选：B． 5. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 6. 以下各点中，反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积等于是解题关键．逐一验证各选项的横纵坐标乘积即可． 【详解】解：，，，， 四个点中，只有点在反比例函数的图象上． 故选：B． 7. 下列事件：①一个纸箱装有大小质地相同的10个乒乓球，其中1个黄色9个白色，随机摸出一个，摸到红色乒乓球；②翻开数学书，恰好翻到偶数页；③体育老师投篮一次，投中篮筐．其中不可能事件的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据概念逐项判断每个事件是否为必然事件即可解答． 【详解】解：①纸箱中无红色乒乓球，则摸到红色乒乓球是不可能事件； ②数学书有偶数页，则翻到偶数页是随机事件； ③投篮可能投中，投中篮筐是随机事件； 则不可能事件只有①共1个． 故选：B． 8. 如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，平行四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于点G，证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理推出，由平行四边形对边平行推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点G， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴ ， 故选：C． 9. 如图，矩形中，，，作的平分线交对角线于点，过点作交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是作适当的辅助线构造直角三角形．过点作交于点，作交于点，根据矩形的性质结合角平分线的性质证明是等腰直角三角形，得到，，在中，利用勾股定理列式解方程可得的长，进而得到的长，证明是等腰直角三角形，得到，进而根据线段和差关系即可求得的长． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，作交于点， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 即， 解得或（不合题意，故舍去）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 10. 对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和化简以及解分式方程，关键是通过递推计算前3项，发现的循环为3，再结合循环性质分别对三个说法进行验证． ①先根据迭代式推导的表达式，发现，若，则直接得，再代入迭代过程验证，判断该说法是否正确． ②利用循环为3的性质，得、，将转化为；代入和的表达式，解方程求出的值，再验证是否符合条件． ③先计算一个循环的乘积；将除以3得余数为1，确定前项的乘积为；令乘积等于2，解方程求出，进而求出的值，最后验证． 【详解】解：根据题意，，，， 可见3个为循环，即． ①若，因，故． 验证：时，，，，符合条件，①正确． ②若，因，，故． 代入表达式：，解得． 验证：时，，，和为1，符合条件，②正确． ③∵，， ∴， 解得，即，解得，验证符合条件，③正确． 综上，三个说法均正确，共3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 数学老师推动以“四大名著中的数学问题”跨学科主题寒假阅读行动，小斌同学从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》中挑选2本作为寒假阅读内容，则挑选到《西游记》的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到挑选到《西游记》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中挑选到《西游记》的结果数有6种， ∴挑选到《西游记》的概率为， 故答案为：． 12. 若为正整数，且满足，的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，找到相邻的整数是关键．通过比较完全平方数，确定在哪两个相邻的整数之间即可． 【详解】解：，且， ， ． 故答案为：． 13. 某养殖专业户实行科技养殖，2025年养殖总产值为250万元，较2023年养殖的总产值净增90万元，则该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为，根据2025年产值和净增产值求出2023年产值，利用增长模型列方程求解． 【详解】解：设该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴该专业户这两年养殖总产值的年平均增长率为， 故答案为：． 14. 若实数m，n同时满足，，的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，代数式求值，解一元一次方程，分两种情况：和，解绝对值方程求出m的值，进而求出n的值，再代入求值即可． 【详解】解：当时，∵， ∴，即，不成立； 当时，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值是， 故答案为：． 15. 如图，菱形中，，以为弦作恰好与相切于点，点为弧的中点，连接交于点，则的半径长度是________，的长度是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，根据切线的性质证明，由菱形的性质证明，，得到，根据含角直角三角形的性质，以及结合勾股定理在列式解方程即可求得半径的长度；如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点，可得，由垂径定理可得，通过勾股定理及线段之间的数量关系可得，的长，证明，可得，求得，，的长，证明，得到，在中，利用勾股定理可求得，，的长，最后根据即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， 恰好与相切于点， ，即， 四边形为菱形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， 即的半径长度是； 如图，过作交于，过作交于，连接、，设与相交于点， ， ， ， 点为弧的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 16. 如果一个四位自然数的各位数字互不相等且均不为0，满足，，那么称这个四位数为“丰收数”．例如四位数，各位数字互不相等且均不为，满足，，是“丰收数”．最大的“丰收数”是________；若一个“丰收数”除以余数为，则满足条件的“丰收数”的中最大值与最小值的差是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义的应用、整式的加减等知识点，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． ①根据题干要求即可推断出结果； ②根据除以余的条件，分析字母取值找出符合题意的最大最小“丰收数”，最后求得它们的差． 【详解】①解：∵为千位数字，且，和均为至的不相等数字， ∴故最大取，此时， ∵且和与、互异， ∴最大取，此时，数字、、、互异， ∴最大丰收数为， 故答案为：； ②解：设丰收数， ∵， ∴， ∴， ∵除以余数为，， ∴的余数和的余数相同， 设，， ∵ 是从至整数且互不相等，，为整数， ∴要使“丰收数”最大，需尽可能的大， 当时，，无符合条件的， 当时，，无符合条件的， 当时，，，最大的“丰收数”是， 要使“丰收数”最小，需尽可能的小， 当时，，，最小的“丰收数”是， ， ∴最大值与最小值的差是． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17-18小题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为． 18. 在学习了正方形之后，“读思悟”数学学习小组进行了拓展性研究，他们发现正方形的一个有趣的结论，现在你作为他们小组的同伴，请根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： 第一步：作垂线．如图，在正方形中，点是边上一点，连接．用尺规完成基本作图：过点作的垂线，交于点，垂足为点． 第二步：利用全等证明． 证明：四边形是正方形， _________，， ， ， ， ． 在和， ． ． 【答案】 如图所示，即为所求作的垂线， ；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解题的关键．以点为圆心，长为半径画弧，与相交于一点，分别以此点和点为圆心，任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点和该点作射线，交于点，垂足为点；由正方形的性质可得，，由垂直的定义可得，进而得到，证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 在和， ， ． ． 故答案为：；；． 19. 2025年9月3日，我国在北京天安门广场隆重举行盛大阅兵仪式，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．某区开展主题为“纪念抗战，铭记历史”的中国人民抗日战争知识竞赛．数学李老师对该区甲、乙两个初中学校的竞赛成绩进行了统计分析． 收集数据：从甲、乙学校中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分） 如下： 甲学校20名学生的竞赛成绩： 78，80，67，92，82，65，74，90，88，67，82，70，95，62，74，82，96，84，77，82． 乙学校20名学生的竞赛成绩： 92，83，66，92，90，86，80，90，82，65，90，70，96，68，77，75，90，88，90，74． 整理数据： 成绩x/分 甲学校人数 4 5 7 4 乙学校人数 3 4 5 8 分析数据： 学校 平均数 中位数 众数 甲学校 a 82 乙学校 b 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________． （2）结合以上数据的整理和分析，你认为哪个学校学生对抗战知识更了解一些？请说明理由．（写出一条即可） （3）若甲学校有1500名学生参加了此次知识竞赛，乙学校有1800名学生参加了此次知识竞赛，请估计这两个学校本次竞赛成绩为优秀（成绩在90分及以上为优秀）的学生总人数． 【答案】（1）81，90 （2）解：乙学校学生对抗战知识更了解一些， 理由如下：从平均数来看，乙学校学生竞赛成绩的平均数为，高于甲学校学生竞赛成绩的平均数，从中位数来看，乙学校学生竞赛成绩的中位数为，高于甲学校学生竞赛成绩的中位数，从众数来看，乙学校学生竞赛成绩的众数为90，高于甲学校学生竞赛成绩的众数， ∴乙学校学生对抗战知识更了解一些； （3）1020名 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）从平均数，中位数，众数这三个方面分析即可； （3）分别求出两个学校的优秀人数，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：将甲学校20名学生的竞赛成绩按照从低到高的顺序排列为：62，65，67，67，70，74，74，77，78，80，82，82，82，82，84，88，90，92，95，96， 一共有20个数据，则中位数为第10个和第11个数据的中位数， ∴； 乙学校20名学生的竞赛成绩中，成绩为90的人数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计这两个学校本次竞赛成绩为优秀（成绩在90分及以上为优秀）的学生总人数为1020名． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂，整式的混合运算，先把小括号内的分式通分化简，再根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后把除法变成乘法后约分化简，以及合并同类项，接着通分化简，再求出x的值，并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 某区为打造非物质文化遗产，开发了A，B两种文创产品．某销售店销售这两种产品，A种产品的售价比B种产品的售价多100元/件．去年12月份，该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同，经核算，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元． （1）求该店A，B两种文创产品的销售单价各是多少元？ （2）今年开始，该店对这两种产品进行调价销售．与去年12月相比，对A种产品售价每降低10元，销售数量将增加1件，B种产品单价提高50元进行销售．截至1月20日，该店B产品销售数量已达到去年12月B产品的销量，这样，该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，该店对A种产品每件售价降低多少元？ 【答案】（1）该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元 （2）40元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元，根据该店销售的A种产品数量与B种产品数量相同时，A产品销售总额为万元，B产品销售总额为万元建立方程求解即可； （2）设该店对A种产品每件售价降低元，则A种产品的销售量为件，再根据该店1月份前20天这两种产品的销售总额就比去年12月多1840元，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该店A种文创产品的销售单价为x元，则B种文创产品的销售单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该店A种文创产品的销售单价为400元，B种文创产品的销售单价为300元； 【小问2详解】 解：设该店对A种产品每件售价降低元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 答：该店对A种产品每件售价降低40元． 22. 如图，菱形中，边，对角线相交于点，，点是线段靠近点的三等分点，连接．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线方向运动到点停止，同时点以每秒个单位的速度，从点沿射线方向运动，点停止时点停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为，的值为． （1）直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在图给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）；； （2） 画出函数，图象如图所示： 函数的性质：当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小（不唯一）； 函数的性质：当时，随的增大而减小（不唯一）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，一次函数综合，反比例函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，，分：当时和当时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式表示出关于的函数表达式，同理根据三角形的面积公式表示出关于的函数表达式； （2）根据（1）中计算得出的函数表达式画出图象即可得解； （3）分：当时和当时两种情况，分别令，求出两函数的交点横坐标，观察图象即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，，， ，，，， 在中，， 点是线段靠近点的三等分点， ， ， ， 当时，， 当时，， ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，令，即， ，解得或（不合题意，故舍去）， 当时，令，即， ，解得（不合题意，故舍去）或， 结合图象可得，当时，的取值范围为． 23. 如图，五边形是校园内的一个小湖，五边形各边构成环湖步道，线段是连接小湖南北的一条步道，步道的中点O处因施工修建一个中心小亭而不能通行．已知点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向，点C在点D的南偏西方向，，测得米，米，米．（参考数据：，，） （1）计算步道的长度； （2）小新同学步行从A去往D处，他有两条路线可以选择：①；②． 请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到1米） 【答案】（1）步道的长度为500米 （2）线路①路程更短 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）直接运用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，可得四边形为矩形，得，，则可得的长，在中，由，可计算出，，从而可计算出线路②的的长度，再计算出线路①的的长度，进行比较即可判断． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得：（米）， ∴步道的长度为500米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵点D在点A的正北方向，点B在点A的正西方向，点C在点B的正北方向， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（米），， ∴（米）， ∵点C在点D的南偏西方向， ∴， 在中，，， ∴（米）， （米）， ∴（米）， ∵（米）， ∴， ∴线路①路程更短． 24. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最小值为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将点和代入中得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 如图，在中，将边绕点顺时针旋转得到，． （1）如图，当时，连接，，若，，，求线段的长； （2）如图，当时，过点作边上的高，在上截取，连接交于点，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； （3），，连接，若，当点与所在直线的距离最大时，作点关于的对称点，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ，证明：过点 作于点， 是边上的高， ， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， ， ，，， ， ，， ， ，，即， ，，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据旋转的性质可得，，得到四边形是矩形，从而根据矩形的性质结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）过点作于点，通过旋转的性质先证明，得到，，再证明，通过线段的等量代换即可得证； （3）点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大，从而确定点的位置，作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于，通过对称的性质，三角形内角和定理证明四边形是矩形，是等边三角形，得到，，通过勾股定理解直角三角形表示出，，，进而计算出的值，即可得到． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ， 将边绕点顺时针旋转得到，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径的半圆，当时，点与所在直线的距离最大， 根据旋转可得，此时，是等腰直角三角形， ， 作点关于的对称点，与相交于，过点作于，交于，过点作交延长线于， ，， ，， ，， ， 根据对称可得，，， ，， ，， 四边形是矩形，是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形、等边三角形的判定与性质等，解题的关键是构造合适的辅助线作直角三角形、全等三角形以得到相关结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $