江苏苏州市2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

高二数学试卷 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1、本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第 12题~第14题)、解答题（第15题~第19题).本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结 束后，请将答题卡交回， 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定 位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无放.作答必须用0.5毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若直线1的一个方向向量为(3，-√5)，则1的倾斜角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2y的准线方程为 Ay=月 B月 C.y=-1 D.y=1 3.某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62,65,68,70,71,73,75,75,77,78， 79,81,82,85,87,89,90,92,95,98,则这组数据的第75百分位数是 A.87 B.88 C.89 D.90 4.在各项均为正数的等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2=2,S4=S2+12,则S。= A.511 B.512 C.1023 D.1024 5.在平面直角坐标系x0y中，圆0：x2+y2=4与圆C:x2+y2+2x+6y+8=0的公切线 条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学 生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数？问题B: 你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完 全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球 再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答问题A,摸到红球的学生如实回答问题B, 每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机尾号 为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学 生吸烟的比例约为 A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 高二数学第1页（共4页） 7已阳带比数列a的首n项和为感，若官品一贸则++ 1 a az a A.64 B.127 C.256 D.511 2 8.在平面直角坐标系0中，已知椭圆C:。+京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F,F,IFF=2,C上有一点P位于第一象限，线段PF交y轴于点M,|PM=√5， 若FM为∠FEP的角平分线，则C的离心率为 A.② B.3 C.√2-1 D.√5-1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的有 A.若{a,}的各项均为正数，则{S,}一定是递增数列 B.若{an}是常数数列，则{Sn}一定是常数数列 C.若{an}是等差数列，则{Sn}可能是等差数列 D.若{an}是等比数列，则{S}可能是等比数列 10.现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件A=“甲掷得的点数为奇数”， B=“甲掷得的点数为偶数”，C=“两人掷得的点数之和为奇数”，D=“两人掷得 的点数之和大于8”，则 A.A与B互为对立事件 B.A与C相互独立 C.C与D互斥 D.P(AC)>P(BD) 11.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线『：y2=4x的焦点为F,过点M(m,0m>1) 的直线与T交于A,B两点，直线AF,BF分别交Γ于C,D两点.记A(x,y), B(3,y2),△AFD面积为S,△BFC面积为S2,则 A.yy2=-4m B.|AB|的最小值为4 C.当m>4时，∠AOB为锐角 D. SAF-1 S2BF-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若样本数据1,2,5,8，a的平均数为5，则这组数据的极差为▲ 13.在平面直角坐标系x0y中，已知直线1：x+y-m=0与圆C:(x+2)2+0-3)2=9交 于A,B两点，AB的中点为M,则|OM|的最大值为▲ 14.在数列{an}中，已知a,=0,|a+1日a,+1(neN),则{an}的前10项和的最小值为 高二数学第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an}为等差数列，a1>0,a+a,=18,ag=a2·4· (1)若a2,am,a4成等比数列，求正整数m的值： (2)记bn=3”·an(n∈N),求数列{毡n}的前n项和Sn. 16.(15分) 某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时）， 收集到的数据分成5组：[0,0.5)，[0.5,1)，[1,1.5)，1.5,2)，[2,2.5]，得到如下频率分 布直方图： 频串/组距个 0.7 0.5 0.4 0.3 0.1 0 00.511.522.5 每日体育活动时长/小时 (1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育 活动时长的平均值x; (2)规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学 生中随机抽取一个容量为200的样本. ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数： ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在1.5,2)，[2,2.5]的学生中，采 用分层抽样的方法随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求 被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在[2,2.5]的概率. 高二数学第3页（共4页） 17.(15分) 在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C:怎+片=Q>6>0)的上顶点为D0,2) 为号，直线1与圆M:+y=8相物且与C交于A (1)求C的标准方程： (2)求证：OA⊥OB: (3)求|OA+|OB|的最小值. 18.（17分) 己知数列{a,}的前n项和为Sn，a=2,Sn=a1-n2(n∈N). (1)求a,的值： (2)判断数列{an+2n+1}是否为等比数列？说明理由，并据此求出{a}的通项公式： ③)记)令aaN),数列b的前n项和为P,若存在neN,使德 |B+P1,求实数1的最大值. 19.（17分) 如图，在平面直角坐标系0中，已知双曲线E:等若-1a>0,b>0的一条新近 线方程为y=5:， 号x,左、右焦点分别为R,R,FB非4，过万作互相垂直的两条 直线L,l,I交E的左支于A,B两点，b交E的两支于C,D两点，线段AB,CD的 中点分别为M,N,记直线AB的斜率为 k(k>O),△MNF,△WF,的面积分别为 B S1,S2 F2 (1)求E的标准方程： (2)求证： 三为定值： 3)当马≥时，求的取值范围。 D (第19题图) 高二数学第4页（共4页）江苏省苏州市2025~2026学年第一学期期末调研. 高二数学。 2026.2.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.若直线1的一个方向向量为(3，-√3)，则1的倾斜角为 ()· A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】D 【解析】由题知直线1的斜率为二√③ ,所以倾斜角a=150°，故选D 3 ,因为tana=- 3 2.在平面直角坐标系Oy中，抛物线2兰2y的准线方程为 b(). y=司 A. B.y C.y=-1 D.y=1 【答案】A· 【解析】因为抛物线x=2y焦点在y轴正半轴上，且2p=2→p=1,所以准线方程为y=- 故选A 3.某班级20名学生参加数学测验的得分如下：62,65,68,70,71,73,75,75,77,78,79,81,82,85.87,89,90,92,95,98，则 这组数据的第75百分位数是 D(). A.87 B.88 C.89 D.90. 【答案】B. 【解析】20×75%=15，第15个数为87，第16个数为89，所以第75分位数为7+89 2 =88, 故选B 4. 在各项均为正数的等比数列{a}中，Sn为其前n项和，若a2=2,S4三S2+12,则S0= A.511 B.512 C.1023 D.1024 【答案】C 【解析】由题得 /S,-S,=a+a4=12→s+a=q+g2=6→(g+3)(9-2)=0 a2=2 a2 因为等比数列{0，}各项均为正数.所以g>0,所以g=2,则a,==1,所以S0=1-20 1-2 =210-1=1023. 故选C 5.在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2+y=4与圆C:x2+y+2x+6+8=0的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【解析】圆O(0,0),半径R。=2,圆C(-1,-3),半径R。=√2 圆心距OC=√10∈(2-√2,2+√2)，所以两圆相交，有两条公切线， 故选B 6.某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查.调查中 使用了两个问题，问题A:你的手机尾号是否是偶数？问题B:你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置： 这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球 摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生如实回答问题A,摸到红球的学生如实回答问题B,每个学生只需回答 “是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共 有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为 (). A.0.15 B.0.2 C.0.25 D.0.3 【答案】A 【解析】因为摸到白球和红球的概率均为号，回答A问题“是”的学生人数为400× =100, 所以回答B问题“是”的学生人数为130-100三30，所以男大学生吸烟人数的比例约为 30 =0.15 400×号 故选A 7. 已知等比数列a}的前n项和为8，若a,=名，=器，则+++士= an A.64 B.127 C.256 D.511 【答案】B 【解析】法1因为数例{a}为等比数列，所以a·a,=aa6=ag·a=, 所以8=a+a+县卡女++过=（品+品+（合+女）+（合+）+ an+ar a2十Q6 +++1= a+ar a2十a6+1 a3十as ana7 a2"a6 a3'as a a a 1271 +8=127-8+8=127 a a 法2：S,=a1十a2十…+Q,= a」 a+a4+a4+a49+a4g2+a4g· 0 a 是++1+q+g+g)=2→+++1+g+g+g=12×8=12 64 64 所以是+++=(+++1+日 02 =Sx12 a =127 故选B 在平面直角坐标系：0y中，已知椭圆C号+ 8. + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为乃，，l到=2，C上有一 点P位于第一象限，线段PF交y轴于点M,PM=√2，若M为∠FP的角平分线，则C的离心率为 ( A. B. C.√2-1 D.W3-1 【答案】C. 【解析】法1：由角平分线性质得 PM P →MR·PE=2W2①. 又△PMR∽△PR,可得 PM_ PF P PF →P=PR·PM=(√2+M)√2② 联立①②，8=(2+MA2→(W2+M)MR=4W2÷MR=2,PA=2. ME2 所以2a=PE+PB=2W2+2,椭圆离心率e= FE 2 PE+PE =√2-1，选C 22+2 法2：设P=c,FM=FM=y,则：xy=2W2 设∠PF=0,则∠PBM=∠MR=6,SPMs+SAMEE=SPs 即号ysin0+ysin0=(g+V2)sin9=csin20, →y+V2=2 cos0=2=4W2 →y=2。 4444小4…44小44…444 则c0s0==号，故0=→6= =W2-1,选C. √2+1 14小*1+4 ⊙ M火 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知数列{a.}的前n项和为S。,则下列说法正确的有 D() A.若{an}的各项均为正数，则{S}一定是递增数列 B.若{a,}是常数数列，则{S}一定是常数数列 C.若{an}是等差数列，则{S}可能是等差数列 D.若{an}是等比数列，则{S}可能是等比数列。 【答案】AC, 10.现有一枚质地均匀的骰子，甲、乙两人各掷一次，设事件A=“甲掷得的点数为奇数”，B=“甲掷得的点数 为偶数”，C=“两人掷得的点数之和为奇数”，D=“两人掷得的点数之和太于8”，则 () A.A与B互为对立事件 B.A与C相互独立 C.C与D互斥 D.P(AC)>P(BD). 【答案】ABD, 【解析】事件A发生的概率为P)=号=号，事件B发生的假率为P(回 =方PN+PB 0= =1, A正确； 事件C发生的概率为P(C)= 36-24 事件D的基本事件有{(3,6)，(4,5t4,6(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}10种， 所以事件D发生的概率有P(D)= =5 36-18 事件AC的基本事件有{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)}9种， 所以事件AC的概率为AAO)=品=子=P()~PO,所以事件A与C独立，B正确。 对于C,比如两人掷得的点数为(3,4)，(3,6)等，所以事件C与D可能同时发生，选项C错误； 事件BD的基本事件有{(4,5)，(4,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}6种， 所以事件AC的概率为P(BD)=品=言，因为士>名，即P4AC)>P(BD),选项D正确： 故选ABD 11.在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线T:y2=4x的焦点为F,过点M(m,0)(m>1)的直线与交于A,B两 点，直线AF,BF分别交T于C,D两点.记A(C,),B(c2,2),△AFD面积为S,△BFC面积为S2,则D()· A.2=-4m B.AB的最小值为4 C.当m>4时，∠AOB为锐角 D. SAF-1 S 1BF-1 【答案】ACD, 【解析】设直线AB:c=ty+m,联立抛物线得y一4ty-4m=0,则头+=4比，=-4m,A正确；w 选项B:AB=√1+ly-2=√1+：√16t+16m=4W+1)(+m≥4Wm>4,B错误； 选项C:m>4时， OA·O元=2+hh=m2-4m>0.故∠AOB为锐角，C正确； AF-1 选项D:设C(a,),D(x,y),则h=y4=-, 如= BE-1 2 AF.DE 34 -AF-1 S BF-1' D正确； y BF.CF U2U: 1 因此，选ACD. M B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若样本数据1,2,5,8，a的平均数为5，则这组数据的极差为 【答案】8 【解析】1+2+5+8+a=5×5→a=9,所以极差为9-1=8 13.在平面直角坐标系xOy中，己知直线：x+-m=0与圆C:(x+2)2+(y-3)°=9交于A,B两点，AB的中 点为M,则IOM的最大值为 【答案】√5+√ 【解析】直线：x+my-m=0过定点D(0,1),因为M为AB中点，所以CM⊥AB,即∠CMD=90°， 所以点M在CD为直径的圆上，即点M轨迹方程为圆Ex+1扩+(y-2)}=2, 所以1OM≤OE+√2=√(-1+22+√2=5+√2，当点M,E,0共线时取等， 故OM的最大值为√5+√2 3 M 9 r 14.在数列{an}中，己知a=0,an+l=lan+1(m∈W),则{an}的前10项和的最小值为 【答案】-5 【解析】ar+1=an+1或a+1+an=-1,易得S0的最小值=-5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。 15.(13分) 己知数列{an}为等差数列，a1>0,十a,=18.as=ag (1)若a2,am,a4成等比数列，求正整数m的值： (2)记bn=3m·an(n∈N),求数列{b}的前n项和Sn 【解析】因为数列{a}为等差数列，设公差为d,由 ag+a,=18 f2a+8d=18 as=a2'a3 a1+7d=(a1+d(a1+2d)1 →d-8d+12=0→d=2或6，当d=2时，a=1,当d=6时，a1=-15,因为a1>0,所以a=-15,d=6舍去； 所以a=1,d=2,an=2m-1;w (1)若a2,am,a4成等比数列，则a,2=a2·a4=3×27=81→am=9,所以2m-1=9,解得m=5: (2)bn=3r(2m-1),则Sn=b+b2+…+bn=3+332+5.33+…+(2n-1)3①. ①×3得3S.=32+3.3+5.34++(2n-1)3m*1② ①-②得-28=3+28+3++39-(2n-131=2.30二含2-3-(2n-31=-2m-0-8-6 1-3 所以S.=(n-1)·3m+1+3 16.(15分). 某学校对高一年级全体学生进行了“每日体育活动时长”的问卷调查（单位：小时），收集到的数据分成5组： [0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5],得到如下频率分布直方图： 频率/组距 0.7 0.5 0.4 0.3 0.1 0.5 1.5 22.5 每日体育活动时长/小时 (1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值；， (2)规定：“每日体育活动时长不少于1小时”为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为 200的样本. ①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数： ②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在[1.5,2)，[2,2.5]的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取 4人，再从这4人中随机抽取2人出来访谈，求被抽取的2人中怡有1人每日体育活动时长在[2,2.5]的概率. 【解析】(1)元=0.5×(0.250.4+0.75×0.7+1.25×0.5+1.75×0.3+2.25×0.1)=1： (2)①“每日体育活动时长不少于1小时”的频率为0.5×(0.5+0.3+0.1)=0.45， 则容量为200的样本中，学生达标人数为200×0.45=90人：。 ②时长在[1.5,2)，[2,2.5]的学生的频率比为3：1，所以采用分层抽样的方法随机抽取4人中， 有3人在[1.5,2)组中，设这3人为A,B,C,有1人在[2,2.5]组中，设这一人为D 从这4人中抽取2人的事件共有{(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),CD)6种，￥ 其中恰有1人活动时长在[2,2.5]的事件有{(AD),(BD),(CD)]3种， 所以被抽取的2人中恰有1人每日体育活动时长在[2,2.5)的辰率为p=。=