精品解析：河北保定市竞秀区,保定高新技术产业开发区2025一2026学年 第一学期学业质量监测 九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知，下列说法中，错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答． 【详解】A、如果，那么（a+b）：b=（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确； B、如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确； C、由得，5a=3b，所以a≠b；又由得，ab+b=ab+a即a=b．故该选项错误； D、由得，5a=3b；又由得，5a=3b．故该选项正确. 故选C． 【点睛】本题主要考查的合分比定理和更比定理． ①合比定理：如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d （b、d≠0）； ②分比定理：如果a：b=c：d那么（a-b）：b=（c-d）：d （b、d≠0）； ③合分比定理：如果a：b=c：d那么（a+b）：（a-b）=（c+d）：（c-d） （b、d、a-b、c-d≠0）； ④更比定理：如果a：b=c：d那么a：c=b：d（a、b、c、d≠0）． 2. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故选：B． 3. 下图所示物体的影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了投影的意义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平行投影，中心投影，解答即可． 【详解】解：根据题意，得太阳光线是平行的，中心投影的光线是相交的，且交点在光源处， 故A错误，B、C、D是正确的； 故选：A． 4. 如图，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，由，得，然后代入即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 五边形的周长是五边形周长的3倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到五边形与五边形的位似比为，计算判断解答即可． 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【详解】解：由五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，得五边形与五边形的位似比为， 点的坐标为， 故，，五边形的周长是五边形周长的3倍． 故C错误， 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A. 此方程必有实数根 B. 若方程有一个根为，则另一个根为 C. 两根之积为 D. 两根之和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系． 先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为， ∴若方程有一个根为，则另一个根为， ∴选项、选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为， ∴选项的说法不正确，符合题意， 故选：． 7. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(　　) A. B. C. D. . 【答案】D 【解析】 【分析】设小正方形边长为1，先利用勾股定理求AC，再代入cosC=． 【详解】解：设小正方形边长为1，则AC=． 所以，cosC= 故选D． 【点睛】本题考核知识点：求锐角的余弦.解题关键点：利用勾股定理就出斜边． 8. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，那么剪下的三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， A. ∵，， ∴，不符合题意； B. ∵，， ∴，不符合题意； C. 无法判定相似，符合题意； D. 根据题意，得，且， ∴，不符合题意； 故选：C． 9. 下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 10. 春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉： 淇淇： 下面对两人所列方程描述正确的是（ ） A. 嘉嘉设每束鲜花售价元 B. 淇淇设每束鲜花降价元 C. 嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“”和“”都表示降价后的销售量 D. 每束鲜花售价元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量；由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量；解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，由此逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由嘉嘉方程：，其中为降价金额，表示降价后销售量； 由淇淇方程：，其中为售价，为降价金额，表示降价后销售量； 、由题意得为降价金额，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得为售价，所以该选项描述不正确，不符合题意； 、由题意得表示降价后销售量，表示降价后销售量，所以该选项描述正确，符合题意； 、解嘉嘉方程得或，对应售价元或元，销量束或束，尽量减少库存应选销量大的售价元，所以该选项描述不正确，不符合题意； 故选：． 11. 将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求出和的值，根据勾股定理求出的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形为正方形，根据边的关系可以求出且四个角都是直角，即可判断乙是否正确． 【详解】解：四边形是边长为1的正方形， ，， ，，， ， ， 同理， 四边形是菱形， 在和中， ， ， ， ， ， ， 则四边形必是正方形； 甲正确； 若四边形为正方形，则， 且， 在和中， ， ， ， 同理， 又， ， ， 同理， 即四边形菱形， ， 则四边形必是边长为1的正方形， 乙正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 抛物线（）的部分图像如图所示，已知对称轴为直线，它与轴的交点为，，其中点在和之间，以下结论正确的有（ ） ；点在和之间；；方程必有两个不相等的实数根． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据所给函数图象得出，，的正负，利用抛物线的对称性和增减性，抛物线与一元二次方程的关系即可求解，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：由图像可知，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故错误，不符合题意； ∵对称轴为直线，点在和之间， ∴与轴的交点在和之间，故正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， 根据图像可得，当时，， ∴， ∴，故错误，不符合题意； ∵， ∴方程为， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故正确，符合题意； 综上：正确， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知为锐角，若，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值． 根据为锐角，且，即可求出的度数． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故答案为：45． 14. 已知是方程的一个根，则实数c的值是 ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 15. 如图，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的应用中的高度与影长的关系，过作交于，结合矩形的性质，由影长与高度之间的关系得，即可求解． 【详解】解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， 长的竹竿竖直放置时影长， ， ， 解得， （）， 故答案为：． 16. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点，，，其中，则图中三个阴影部分的面积和为________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明，再根据全等三角形对应边相等，然后利用平行线分线段成比例定理求出，，所以，设的边为x，边上的高为h，表示出的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， 设的边为x，边上的高为h， 则，整理得， ∴， ， ， ∴三个阴影部分面积的和为：． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，解题关键是根据平行线分线段成比例定理找到线段间的关系． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 复习课上，老师展示了方程的两种解法： 解法1 解法2 方程整理得： 第一步 这里，， 第二步 ∵第三步 ∴， 第四步 整理，得 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）两种解法都不正确，解法1在第 步开始出现错误，解法2在第 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）一；四 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法及公式法可进行求解； （2）根据因式分解法及公式法可进行求解． 【小问1详解】 解：解法1在第一步开始出现错误，解法2在第四步开始出现错误； 故答案为：一；四 【小问2详解】 解： ， ，即 ∴ 或， 解得：． 18. 嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … （1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； （2）借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） （3）当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象； （2）根据反比例函数的性质即可得到答案； （3）先将拉力和分别代入反比例函数表达式，求出对应的值，再计算两个值的差，即可得到点移动的距离． 【小问1详解】 解：根据表格，可得函数图象如图所示： ； 【小问2详解】 解：根据图象可得是的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把代入可得， 所以解析式为， 【小问3详解】 当时，代入得 ， 解得． 当时，代入， ， 解得． ∴移动距离为． 19. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，为激励更多的同学了解航天知识，李老师将“太空望远镜”“宇航员”“人造卫星”“航天飞船”的图片分别贴在4张形状大小都一样的卡片上，并将卡片背面朝上放在桌子上，请同学随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的内容． （1）随机抽取1张卡片，上面印有“航天飞船”的概率为 ； （2）若嘉嘉先从4张卡片中随机抽取1张（不放回），琪琪再从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求嘉嘉、琪琪两人中恰好有一人选中“太空望远镜”的概率．（将“太空望远镜”“宇航员”“人造卫星”“航天飞船”分别记作A，B，C，D） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率，解题的关键是要注意此题是放回试验还是不放回试验． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【小问1详解】 解：∵总共有4张形状大小相同的卡片，其中只有1张印有“航天飞船”． ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：求嘉嘉、琪琪两人中恰好有一人选中“太空望远镜”的概率 我们用列表法列出所有可能的结果（嘉嘉先抽，琪琪后抽，不放回）： ∴总共有种等可能的结果， ∴恰好有一人选中“太空望远镜”（A）的情况共6种． ∴． 20. 嘉嘉借助无人机测量一条河的宽度．如图，在河边水平地面上取一点，使点，，在同一条直线上，无人机在点正上方米的处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，此时测得右岸处的俯角为． （1）求，两点之间的距离；（结果保留根号） （2）求河的宽度．（结果保留根号） 【答案】（1），两点之间距离为米； （2）河宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用解题的关键． （）由，则，又，所以，在中，，然后代入即可求解； （）过作于点，则，证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，求得（米），然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴，两点之间的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，过作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴河的宽度为米． 21. 为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： （1）当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； （2）在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ （3）若要求排队人数最晚第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 【答案】（1）； （2）排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； （3）至少应打开条检票通道． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为，然后通过二次函数的性质即可求解； （）根据题意可得，，因为要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，所以当，即，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为：， ∴， ∵， ∴当时，排队人数达到最大值，最大值是， ∴排队人数（人）在第分钟达到最大值，最大值是； 【小问3详解】 解：根据题意可得，， ∵要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少， ∴当，即， 整理得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴至少应打开条检票通道． 22. 嘉嘉和琪琪尝试用不同方法在一个矩形内作菱形． 如图，嘉嘉的方法如下： 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 如图，琪琪的方法如下： 连接； 作线段的垂直平分线，分别交，于点，； 连接，． （1）如图，由矩形的性质可以得出此时一定也是的垂直平分线．类比嘉嘉的方法，用尺规在图中补全嘉嘉的作图，求作菱形，使点在上，点在上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请根据琪琪的作图过程，将下面说明图中四边形是菱形的过程补充完整．证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ； （3）若，求琪琪所作菱形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）菱形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，菱形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （）作线段垂直平分线，分别交，于点，，作线段垂直平分线，分别交，于点，，连接，，，，则菱形即为所求； （）设直线交于点，由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线，则，由四边形为矩形，得，所以，证明，故有，从而可证四边形是平行四边形，又，从而证明四边形是菱形； （）由四边形为矩形，则，，又四边形是菱形，所以，设，则，在中，，即，解得，所以，从而求得菱形的周长为． 【小问1详解】 解：作线段垂直平分线，分别交，于点，； 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 连接，，，； 如图，菱形即为所求； 【小问2详解】 证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴菱形的周长为， ∴琪琪所作菱形的周长为． 23. 数学课上张老师将两张相似直角三角形纸片（记为），按图1放置，点C重合，点D，点E分别在，边上．已知，，． 操作实践： 固定，将绕点C逆时针旋转，记旋转角为（）． 发现问题： （1）如图1，当时， （2）如图2，当时， （3）当旋转到图3所示位置时，求的值； 解决问题： （4）旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）（3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，结合，，，，列比例式，解答即可． （2）当时，仿照①解答即可． （3）根据三角形相似的判定和性质，解答即可． （4）根据题意，分类计算线段的长即可． 本题考查的是旋转变换、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，灵活运用分类讨论的思想思考问题． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得，， ， ，，， ， ， ，， 故当时，， 故答案为：． （2）解：当时，根据题意，得，， 故， 故答案为：． （3）解：根据旋转的性质，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （4）解：当点在的延长线上时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三点共线时，如图， 根据勾股定理，得， 故， 根据题意，得， 故， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 24. 如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． （1）求抛物线表达式； （2）请直接写出抛物线停止平移后的表达式； （3）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； （4）如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）1 （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，抛物线顶点沿直线：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为，故的顶点D坐标为，结合与原点重合条件，解答即可； （3）根据题意，得，当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为1． （4）分点，分别在抛物线和上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线：经过，两点， 故， 解得， 故抛物线：的表达式为． 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线，顶点沿直线l：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为， 故的顶点D坐标为， 由的顶点D与原点重合时平移停止， 故， 解得， 抛物线停止平移后的表达式． 【小问3详解】 解：设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n． 根据顶点沿着平移，故顶点D的纵坐标为， 新抛物线的表达式为， 故点， 故， 当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为． 【小问4详解】 解：根据（2）得到抛物线停止平移后的表达式， 直线的表达式为，抛物线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 由平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G， 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 综上所述，当线段与图象G有交点时，m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期学业质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 已知，下列说法中，错误的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 下图所示物体的影子中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 五边形的周长是五边形周长的3倍 6. 已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A. 此方程必有实数根 B. 若方程有一个根为，则另一个根为 C. 两根之积为 D. 两根之和为 7. 如图，△ABC顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(　　) A. B. C. D. . 8. 如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，那么剪下的三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方程： 嘉嘉： 淇淇： 下面对两人所列方程描述正确的是（ ） A. 嘉嘉设每束鲜花售价元 B. 淇淇设每束鲜花降价元 C. 嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“”和“”都表示降价后销售量 D. 每束鲜花售价元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存 11. 将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，甲、乙两人有如下结论： 甲：若四边形是边长为1的正方形，则四边形必是正方形； 乙：若四边形为正方形，则四边形必是边长为1的正方形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确，乙不正确 B. 甲不正确，乙正确 C. 甲、乙都不正确 D. 甲、乙都正确 12. 抛物线（）的部分图像如图所示，已知对称轴为直线，它与轴的交点为，，其中点在和之间，以下结论正确的有（ ） ；点在和之间；；方程必有两个不相等的实数根． A B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知为锐角，若，则______． 14. 已知是方程的一个根，则实数c的值是 ________． 15. 如图，在某一时刻测得长竹竿竖直放置时影长，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为，留在墙上的影长，则旗杆的高度为________． 16. 如图，已知，三条对应边，，在同一条直线上，连接，分别交，，于点，，，其中，则图中三个阴影部分的面积和为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 复习课上，老师展示了方程的两种解法： 解法1 解法2 方程整理得： 第一步 这里，， 第二步 ∵第三步 ∴， 第四步 整理，得 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）两种解法都不正确，解法1在第 步开始出现错误，解法2在第 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 18. 嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具，很感兴趣，于是设计了一个模拟实验：如图，以点O为支点，在一根竖立的支架上加上一根横杆，在横杆的点B处悬挂重物D，在横杆的点A处施加竖直向下的拉力F（N）．发现若改变点A到点O的距离l（m），再对应改变施加的竖直向下的拉力F（N）的大小，就能够使得横杆处于水平状态．实验数据记录如下： 点A到点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 竖直向下的拉力F/N … 300 200 150 120 100 … （1）在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的大致图象； （2）借助（1）中图象直观判断F（N）关于l（m）的函数类型，并求出函数表达式；（不写自变量的取值范围） （3）当横杆处于水平状态，施加的拉力从150N增加到600N时，求点A移动的距离． 19. 2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，为激励更多的同学了解航天知识，李老师将“太空望远镜”“宇航员”“人造卫星”“航天飞船”的图片分别贴在4张形状大小都一样的卡片上，并将卡片背面朝上放在桌子上，请同学随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的内容． （1）随机抽取1张卡片，上面印有“航天飞船”的概率为 ； （2）若嘉嘉先从4张卡片中随机抽取1张（不放回），琪琪再从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求嘉嘉、琪琪两人中恰好有一人选中“太空望远镜”的概率．（将“太空望远镜”“宇航员”“人造卫星”“航天飞船”分别记作A，B，C，D） 20. 嘉嘉借助无人机测量一条河的宽度．如图，在河边水平地面上取一点，使点，，在同一条直线上，无人机在点正上方米的处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，此时测得右岸处的俯角为． （1）求，两点之间的距离；（结果保留根号） （2）求河的宽度．（结果保留根号） 21. 为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数（人）与检票时间（分钟）、开放检票通道数量（个）之间的关系，有以下发现： 发现：候车总人数（人）； 发现：已检票人数（人）； 发现：排队人数（人）候车总人数已检票人数． （其中，且为整数） 请你结合调配团队的发现，完成下面问题： （1）当开放条检票通道，排队人数（人）与检票时间（分钟）的函数关系式为 ； （2）在（）的条件下，排队人数（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？ （3）若要求排队人数最晚在第分钟后（包括第分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？ 22. 嘉嘉和琪琪尝试用不同方法一个矩形内作菱形． 如图，嘉嘉的方法如下： 作线段垂直平分线，分别交，于点，； 如图，琪琪的方法如下： 连接； 作线段的垂直平分线，分别交，于点，； 连接，． （1）如图，由矩形的性质可以得出此时一定也是的垂直平分线．类比嘉嘉的方法，用尺规在图中补全嘉嘉的作图，求作菱形，使点在上，点在上（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请根据琪琪的作图过程，将下面说明图中四边形是菱形的过程补充完整．证明：设直线交于点， 由作图痕迹可知直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ； （3）若，求琪琪所作菱形的周长． 23. 数学课上张老师将两张相似的直角三角形纸片（记为），按图1放置，点C重合，点D，点E分别在，边上．已知，，． 操作实践： 固定，将绕点C逆时针旋转，记旋转角为（）． 发现问题： （1）如图1，当时， （2）如图2，当时， （3）当旋转到图3所示位置时，求的值； 解决问题： （4）旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，直接写出线段的长． 24. 如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． （1）求抛物线表达式； （2）请直接写出抛物线停止平移后的表达式； （3）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； （4）如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $