精品解析：山东夏津第一中学2025～2026学年高一上学期1月月考数学试题

夏津第一中学2025-2026学年高一上学期1月份月考 数学试题 一、单选题 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 对于函数若，则函数在区间内 A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 6. 为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 有下列几个命题，其中命题不正确的是（ ） A. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为 B. 已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 若 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ） A. 筒车转动的角速度． B. 当筒车旋转50秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为 C. 当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6 D. 筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6 三、填空题 12. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 13. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为__________. 14. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 四、解答题 15. （1）计算 （2）已知，求的值 （3）若是第三象限角，且，求的值 16. 已知，函数，且. （1）求，的值； （2）设，且，求的单调递增区间. 17. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） （1）将y表示为x的函数； （2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并用定义加以证明； （3）求使成立的实数的取值范围． 19. 已知函数 （1）解不等式：； （2）求值：（i）； （ii）； （3）若满足满足，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏津第一中学2025-2026学年高一上学期1月份月考 数学试题 一、单选题 1. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用终边相同的角表达式，将拆分成的整数倍加上一个之间的角，则这个角就是与角终边相同的角. 【详解】因为， 所以与角终边相同的角是. 故选：D 2. 对于函数若，则函数在区间内 A. 一定有零点 B. 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由二次函数性质及零点存在定理可知C正确. 考点：二次函数性质、零点存在定理. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数复合函数的具体解析式求定义域即可. 【详解】因为函数，要使该函数有意义， 则解得或. 所以函数的定义域是， 故选：C. 4. 已知为第二象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 5. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可. 【详解】过点作于， 由折叠性质可得，， 所以，所以，所以， 所以劣弧的长是. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解. 6. 为了给地球减负，提高资源利用率，2025年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚。某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（ ）（参考数据：，） A. 2028年 B. 2029年 C. 2030年 D. 2031年 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设未知数并列出不等式，根据参考数据解不等式即可. 【详解】设2025年后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元， 则，即， 则， 即. 所以，即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元. 故选：D. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在研究函数的图象时，常和性质来分析，已知，则其倒数的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性排除B、C选项，再根据当时，函数值的正负排除D选项，进而得到答案即可. 【详解】已知函数的定义域为， 由于，可知为奇函数， 即得函数也为奇函数，因此图像应关于原点对称，故排除B、C选项； 又因当时，，得：，故排除D选项. 综上可得：A为正确选项. 故选：A 8. 已知函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性将转化为，再利用指数、对数函数性质比较自变量大小，结合时函数的单调性，得出、、的大小关系. 【详解】因为函数，定义域为，而且， 所以为偶函数，所以. 由指数函数与对数函数的性质可得，. 因为时，在上单调递增， 所以，所以. 故选：A 二、多选题 9. 已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 10. 有下列几个命题，其中命题不正确的是（ ） A. 已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为 B. 已知函数对任意的，都有，的图像关于对称，则 C. 函数的单调递增区间是 D. 若 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用弧长公式及扇形面积公式计算即可判断；对于B，先判断函数单调递减，由函数对称性推得，再利用函数单调性即可判断；对于C，利用函数的定义域即可排除；对于D，利用基本不等式计算即可判断. 【详解】对于A：由得，扇形面积，故A错误； 对于B：因的图象关于对称，则， 又可知，当时，函数单调递减，故，故B正确； 对于C：当时，，不满足定义域，故C错误； 对于D：因,，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AC 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ） A. 筒车转动的角速度． B. 当筒车旋转50秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为 C. 当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6 D. 筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，直接由验算即可；对于B，首先根据条件算得，将代入函数表达式验算即可；对于C，注意到，从而，由此即可判断；对于D，由，且当时，有即可判断. 【详解】对于A，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，所以筒车转动的角速度，故A错误； 对于B，注意到，且， 解得，注意到，所以， 所以， 当筒车旋转50秒时，，故B错误； 对于C，由B可知当筒车旋转50秒时，， 所以此时盛水筒对应的点与关于轴对称，这意味着盛水筒和初始点的水平距离为，故C正确； 对于D，注意到，且当时，有， 换言之，筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，运算求解，并结合单调性检验即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，即，解得或， 若，则在上单调递减，符合题意； 若，则在上单调递增，不符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 13. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的定义和复合函数的单调性，即可得出结果. 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 故答案为： 14. 设方程的根为，方程的根为，则的值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】设函数与的交点为，函数与的交点为，由反函数的性质得到， 再由方程根的定义得到，，再将其代入所求式计算即得. 【详解】由方程的根为，设函数与的交点为； 由方程的根为，设函数与的交点为； 又因为函数与函数互为反函数，所以两者图象关于对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于对称，则 得到； 由题意得到，则，； 所以. 故答案为：7 四、解答题 15. （1）计算 （2）已知，求的值 （3）若是第三象限角，且，求的值 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质计算即可得解； （2）将条件化简得到的值，利用诱导公式将原式化简并弦化切，将代入化简后的原式即可得解； （3）将条件利用和角的余弦公式展开，求出的值，将其平方并结合角的范围求出的值，将其代入展开之后的式子即可得解. 【详解】（1） ； （2）由可得. 因为，， ， ， 所以，原式可化为. 将分子分母同时除以可得， 将代入上式可得. 所以，原式的值为； （3）因为，所以， 即，将其平方可得， 即，所以. 因为是第三象限角，所以，所以. 所以 . 16. 已知，函数，且. （1）求，的值； （2）设，且，求的单调递增区间. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件列方程组可求出的值； （2）由（1）求出的解析式，再由，可得，，然后由可求出的单调增区间. 【小问1详解】 因为，， 所以，则. 因为，所以，解得，； 【小问2详解】 ，， 即. 因为，所以，所以， 所以，. 令，. 解得， 所以的单调增区间为. 17. 某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a万件与月促销费用x万元（）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是2万.已知生产该产品每月固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入5万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元.（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用） （1）将y表示为x的函数； （2）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1），. （2）月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元. 【解析】 【分析】（1）由时，，代入求得，由利润=销售收入－生产投入－促销费用，列出函数关系，即可得出结果； （2）由（1）知，利用基本不等式即可求得最大利润. 【小问1详解】 由题意知当时，，代入 则，解得，. 利润， 又因为， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知， 因为时，， 因为，当且仅当时等号成立. 所以， 故月促销费用为2万元时，该产品的月利润最大，最大为5万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性并用定义加以证明； （3）求使成立的实数的取值范围． 【答案】（1）a=0 （2）在上是增函数， 设，,且， 则； 因为，,且， 所以， 所以， 所以， 所以在上是增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数在原点处有定义即可求解； （2）根据函数单调性的证明即可求解； （3）根据函数的奇偶性进行变换并结合定义域和单调性即可求解. 【小问1详解】 定义在上的奇函数， 所以， 所以a=0， 此时，则，满足题设， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，在上是增函数， 又因为是定义在上的奇函数， 得， 所以， 即， 解得． 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数 （1）解不等式：； （2）求值：（i）； （ii）； （3）若满足满足，求 【答案】（1） （2）（i）;（ii） （3） 【解析】 【分析】（1）通过换元将对数不等式转化为二次不等式求解，结合定义域得到结果； （2）（i）化简分式后合并得到定值； （ii）利用（i）的结论，将求和项配对计算； （3）通过变量代换，将的方程转化为与方程形式一致的式子，进而推导得结果. 【小问1详解】 ，，不等式为. 设，则，，不等式化为. ，因式分解得，解得或. 代回，得；. 结合且，故，因此不等式的解为. 【小问2详解】 （i），. 则. . （ii）设，由（i）知，对任意，. 2024项共1012对，故. 【小问3详解】 满足；满足，两边除以4得. 令，则，代入得， 两边取以为底的对数得， 即，整理为. 令，则，此式与的方程一致，故，即，因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $